Regularización de la función zeta

Método de sumabilidad en física

En matemáticas y física teórica , la regularización de la función zeta es un tipo de método de regularización o sumabilidad que asigna valores finitos a sumas o productos divergentes y, en particular, se puede utilizar para definir determinantes y trazas de algunos operadores autoadjuntos . La técnica se aplica ahora comúnmente a problemas de física , pero tiene sus orígenes en los intentos de dar significados precisos a sumas mal condicionadas que aparecen en la teoría de números .

Definición

Existen varios métodos de suma diferentes llamados regularización de la función zeta para definir la suma de una serie posiblemente divergente a ₁ + a ₂ + ....

Un método es definir su suma regularizada zeta como ζ _A (−1) si esto está definido, donde la función zeta está definida para Re( s ) grande por

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

si esta suma converge, y por continuación analítica en otro lugar.

En el caso en que a _n = n , la función zeta es la función zeta de Riemann ordinaria . Este método fue utilizado por Ramanujan para "sumar" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ... a ζ(−1) = −1/12.

Hawking (1977) demostró que en el espacio plano, en el que se conocen los valores propios de los laplacianos, la función zeta correspondiente a la función de partición se puede calcular explícitamente. Considérese un campo escalar φ contenido en una gran caja de volumen V en el espacio-tiempo plano a la temperatura T  =  β ⁻¹ . La función de partición se define por una integral de trayectoria sobre todos los campos φ en el espacio euclidiano obtenida al poner τ  =  it que son cero en las paredes de la caja y que son periódicos en τ con período β . En esta situación, a partir de la función de partición, calcula la energía, la entropía y la presión de la radiación del campo  φ . En el caso de espacios planos, los valores propios que aparecen en las cantidades físicas son generalmente conocidos, mientras que en el caso del espacio curvo no se conocen: en este caso se necesitan métodos asintóticos.

Otro método define el producto infinito posiblemente divergente a ₁ a ₂ .... como exp(−ζ′ _A (0)). Ray y Singer (1971) utilizaron esto para definir el determinante de un operador autoadjunto positivo A (el laplaciano de una variedad riemanniana en su aplicación) con valores propios a ₁ , a ₂ , ...., y en este caso la función zeta es formalmente la traza de A ^{− s} . Minakshisundaram y Pleijel (1949) demostraron que si A es el laplaciano de una variedad riemanniana compacta, entonces la función zeta de Minakshisundaram–Pleijel converge y tiene una continuación analítica como una función meromórfica para todos los números complejos, y Seeley (1967) extendió esto a los operadores pseudodiferenciales elípticos A en variedades riemannianas compactas. Por lo tanto, para estos operadores se puede definir el determinante utilizando la regularización de la función zeta. Véase " torsión analítica ".

Hawking (1977) sugirió utilizar esta idea para evaluar las integrales de trayectoria en espacios-tiempos curvos. Estudió la regularización de la función zeta para calcular las funciones de partición para el gravitón térmico y los cuantos de materia en fondos curvos como el horizonte de los agujeros negros y el fondo de De Sitter utilizando la relación de la transformación inversa de Mellin con la traza del núcleo de las ecuaciones de calor .

Ejemplo

El primer ejemplo en el que está disponible la regularización de la función zeta aparece en el efecto Casimir, que se da en un espacio plano con las contribuciones en bloque del campo cuántico en tres dimensiones espaciales. En este caso debemos calcular el valor de la función zeta de Riemann en –3, que diverge explícitamente. Sin embargo, se puede continuar analíticamente hasta s = –3, donde es de esperar que no haya polos, lo que da un valor finito a la expresión. Un ejemplo detallado de esta regularización en funcionamiento se da en el artículo sobre el ejemplo detallado del efecto Casimir , donde la suma resultante es muy explícitamente la función zeta de Riemann (y donde la continuación analítica aparentemente prestidigitada elimina un infinito aditivo, dejando un número finito físicamente significativo).

Un ejemplo de regularización de la función zeta es el cálculo del valor esperado en el vacío de la energía de un campo de partículas en la teoría cuántica de campos . En términos más generales, el enfoque de la función zeta se puede utilizar para regularizar todo el tensor de energía-momento tanto en el espacio-tiempo plano como en el curvo. ^{[1] [2] [3]}

El valor no regulado de la energía se obtiene sumando la energía del punto cero de todos los modos de excitación del vacío:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

Aquí, es el componente cero del tensor de energía-momento y se entiende que la suma (que puede ser una integral) se extiende a todos los modos de energía (positivos y negativos) ; el valor absoluto nos recuerda que la energía se considera positiva. Esta suma, tal como está escrita, suele ser infinita ( es típicamente lineal en n). La suma se puede regularizar escribiéndola como ${\displaystyle T_{00}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

donde s es un parámetro, tomado como un número complejo . Para valores grandes y reales de s mayores que 4 (para el espacio tridimensional), la suma es manifiestamente finita y, por lo tanto, a menudo puede evaluarse teóricamente.

La regularización zeta es útil porque a menudo se puede utilizar de forma que se conserven las diversas simetrías del sistema físico. La regularización de la función zeta se utiliza en la teoría de campos conforme , la renormalización y para fijar la dimensión crítica del espacio-tiempo de la teoría de cuerdas .

Relación con otras regularizaciones

La regularización de la función zeta es equivalente a la regularización dimensional , véase ^[4] . Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que se puede utilizar siempre que la regularización dimensional falle, por ejemplo, si hay matrices o tensores dentro de los cálculos. ${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

Relación con la serie de Dirichlet

La regularización de la función zeta proporciona una estructura analítica a cualquier suma sobre una función aritmética f ( n ). Dichas sumas se conocen como series de Dirichlet . La forma regularizada

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

convierte las divergencias de la suma en polos simples en el plano s complejo . En los cálculos numéricos, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que es extremadamente lenta para converger. Para fines numéricos, una suma que converge más rápidamente es la regularización exponencial, dada por

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

Esto a veces se denomina transformada Z de f , donde z  = exp(− t ). La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta están relacionadas. Al expandir la suma exponencial como una serie de Laurent

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

Se encuentra que la serie zeta tiene la estructura

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

La estructura de los reguladores exponencial y zeta se relacionan mediante la transformada de Mellin . Uno puede convertirse en el otro haciendo uso de la representación integral de la función Gamma :

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

Lo que conduce a la identidad

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

relacionando los reguladores exponencial y zeta, y convirtiendo polos en el plano s en términos divergentes en la serie de Laurent.

Regularización del núcleo de calor

La suma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

A veces se denomina núcleo de calor o suma regularizada de núcleo de calor ; este nombre se deriva de la idea de que a veces se pueden entender como valores propios del núcleo de calor . En matemáticas, una suma de este tipo se conoce como serie de Dirichlet generalizada ; su uso para promediar se conoce como media abeliana . Está estrechamente relacionada con la transformada de Laplace-Stieltjes , en que ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

donde es una función escalonada , con pasos de en . Existe una serie de teoremas para la convergencia de una serie de este tipo. Por ejemplo, por el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood, si ^[5] ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

entonces la serie para converge en el semiplano y es uniformemente convergente en cada subconjunto compacto del semiplano . En casi todas las aplicaciones de la física, se tiene ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle L=0}$

Historia

Gran parte del trabajo inicial que estableció la convergencia y equivalencia de series regularizadas con los métodos de regularización de núcleo de calor y función zeta fue realizado por GH Hardy y JE Littlewood en 1916 ^[6] y se basa en la aplicación de la integral de Cahen-Mellin . El esfuerzo se realizó con el fin de obtener valores para varias sumas condicionalmente convergentes mal definidas que aparecen en la teoría de números .

En términos de aplicación como regulador en problemas físicos, antes de Hawking (1977), J. Stuart Dowker y Raymond Critchley en 1976 propusieron un método de regularización de función zeta para problemas físicos cuánticos. ^[7] Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales , aquí hay un regulador y la integral divergente depende de los números en el límite, ver renormalización . Además, a diferencia de otras regularizaciones como la regularización dimensional y la regularización analítica, la regularización zeta no tiene contratérminos y solo da resultados finitos. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$ ${\displaystyle x^{-s}}$ ${\displaystyle \zeta (s-m)}$ ${\displaystyle s\to 0}$

Véase también

• Función generadora  : serie de potencias formales; los coeficientes codifican información sobre una secuencia indexada por números naturales
• Fórmula de Perron  – Fórmula para calcular la suma de una función aritmética en la teoría analítica de números
• Renormalización  : método de física utilizado para tratar con infinitos
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯  – Serie divergente
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯  – Serie divergente
• Torsión analítica  : invariante topológico de variedades que puede distinguir variedades homotópicamente equivalentes
• Suma de Ramanujan  – Técnicas matemáticas para sumar series infinitas divergentes
• Función Minakshisundaram-Pleijel zeta
• Función zeta (operador)

Referencias

• ^ Tom M. Apostol, "Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números", "Springer-Verlag Nueva York. (Véase el capítulo 8.)"
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, "Aspectos analíticos de los campos cuánticos", World Scientific Publishing, 2003, ISBN  981-238-364-6
• ^ GH Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de números primos", Acta Mathematica , 41 (1916), págs. 119-196. (Véase, por ejemplo, el teorema 2.12)
• Hawking, SW (1977), "Regularización de la función zeta de las integrales de trayectoria en el espacio-tiempo curvo", Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133–148, Bibcode :1977CMaPh..55..133H, doi :10.1007/BF01626516, ISSN  0010-3616, MR  0524257, S2CID  121650064
• ^ V. Moretti, "Enfoque directo de función z y renormalización del tensor de tensión de un bucle en espaciotiempos curvos" , Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Algunas propiedades de las funciones propias del operador de Laplace en variedades de Riemann", Revista Canadiense de Matemáticas , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN  0008-414X, MR  0031145
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsión y el laplaciano en variedades de Riemann", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR  0295381
• "Método de función zeta para regularización", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), "Potencias complejas de un operador elíptico", en Calderón, Alberto P. (ed.), Integrales singulares (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 10, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, Sr.  0237943
• ^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976), "Lagrangiano efectivo y tensor de energía-momento en el espacio de Sitter", Physical Review D , 13 (12): 3224–3232, Bibcode :1976PhRvD..13.3224D, doi :10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ D. Fermi, L. Pizzocchero, "Regularización zeta local y el efecto Casimir escalar. Un enfoque general basado en núcleos integrales", World Scientific Publishing, ISBN 978-981-3224-99-5 (tapa dura), ISBN 978-981-3225-01-5 (libro electrónico). doi :10.1142/10570 (2017).