Función Zeta (operador)

La función zeta de un operador matemático es una función definida como ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

para aquellos valores de s donde existe esta expresión, y como una continuación analítica de esta función para otros valores de s . Aquí "tr" denota un rastro funcional .

La función zeta también puede expresarse como una función zeta espectral ^[1] en términos de los valores propios del operador por ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$.

Se utiliza para dar una definición rigurosa al determinante funcional de un operador, que viene dado por

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

La función Minakshisundaram-Pleijel zeta es un ejemplo, cuando el operador es el laplaciano de una variedad riemanniana compacta.

Una de las motivaciones más importantes de la teoría de Arakelov son las funciones zeta para operadores con el método de núcleos térmicos generalizados algebro-geométricamente. ^[2]

Ver también

• Métrica de Quillen

Referencias

1. Lapidus y van Frankenhuijsen (2006) p.23
2. Soulé, C.; con la colaboración de D. Abramovich, J.-F. Burnol y J. Kramer (1992), Conferencias sobre geometría de Arakelov , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 33, Cambridge: Cambridge University Press, págs. viii+177, ISBN 0-521-41669-8, señor  1208731

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Geometría fractal, dimensiones complejas y funciones zeta. Geometría y espectros de cuerdas fractales , Springer Monographs in Mathematics, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-33285-5, Zbl  1119.28005
• Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operadores, geometría y cuantos: métodos de geometría espectral en la teoría cuántica de campos , física teórica y matemática, Springer-Verlag , p. 98, ISBN 978-94-007-0204-2