Operador elíptico

Tipo de operador diferencial

Solución de la ecuación de Laplace definida en un anillo . El operador de Laplace es el ejemplo más famoso de operador elíptico.

En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , los operadores elípticos son operadores diferenciales que generalizan el operador de Laplace . Se definen por la condición de que los coeficientes de las derivadas de orden más alto sean positivos, lo que implica la propiedad clave de que el símbolo principal es invertible o, equivalentemente, que no existen direcciones características reales .

Los operadores elípticos son típicos de la teoría del potencial y aparecen con frecuencia en electrostática y mecánica de medios continuos . La regularidad elíptica implica que sus soluciones tienden a ser funciones suaves (si los coeficientes en el operador son suaves). Las soluciones de estado estacionario para ecuaciones hiperbólicas y parabólicas generalmente resuelven ecuaciones elípticas.

Definiciones

Sea un operador diferencial lineal de orden m en un dominio en R ⁿ dado por donde denota un multiíndice , y denota la derivada parcial de orden en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u}$$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Entonces se llama elíptica si para cada x en y cada no cero en R ⁿ , donde . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}$$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$

En muchas aplicaciones, esta condición no es lo suficientemente fuerte y, en su lugar, se puede imponer una condición de elipticidad uniforme para operadores de orden m  = 2 k : donde C es una constante positiva. Nótese que la elipticidad solo depende de los términos de orden más alto. ^[1] $${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$$

Un operador no lineal es elíptico si su linealización es; es decir, la expansión de Taylor de primer orden con respecto a u y sus derivadas sobre cualquier punto es un operador elíptico. $${\displaystyle L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)}$$

Ejemplo 1

El negativo del laplaciano en R ^d dado por es un operador elíptico uniforme. El operador de Laplace se presenta con frecuencia en electrostática. Si ρ es la densidad de carga dentro de alguna región Ω, el potencial Φ debe satisfacer la ecuación $${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$ $${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .}$$

Ejemplo 2

Dada una función matricial A ( x ) que es simétrica y definida positiva para cada x , con componentes a ^ij , el operador es elíptico. Esta es la forma más general de un operador diferencial elíptico lineal en forma de divergencia de segundo orden. El operador de Laplace se obtiene tomando A = I . Estos operadores también aparecen en electrostática en medios polarizados. $${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu}$$

Ejemplo 3

Para p un número no negativo, el p-Laplaciano es un operador elíptico no lineal definido por Un operador no lineal similar ocurre en la mecánica de glaciares . El tensor de tensión de Cauchy del hielo, según la ley de flujo de Glen , está dado por para alguna constante B. La velocidad de una capa de hielo en estado estacionario resolverá entonces el sistema elíptico no lineal donde ρ es la densidad del hielo, g es el vector de aceleración gravitacional, p es la presión y Q es un término de forzamiento. $${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).}$$ $${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}$$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$

Teoremas de regularidad elíptica

Sea L un operador elíptico de orden 2 k con coeficientes que tienen 2 k derivadas continuas. El problema de Dirichlet para L es encontrar una función u , dada una función f y algunos valores de contorno apropiados, tal que Lu = f y tal que u tenga los valores de contorno y las derivadas normales apropiadas. La teoría de existencia para operadores elípticos, utilizando la desigualdad de Gårding , el lema de Lax-Milgram y la alternativa de Fredholm , establece la condición suficiente para que exista una solución débil u en el espacio de Sobolev H ^k .

Por ejemplo, para un operador elíptico de segundo orden como en el Ejemplo 2 ,

• Hay un número γ>0 tal que para cada μ>γ , cada , existe una solución única del problema del valor en la frontera , que se basa en el lema de Lax-Milgram . ${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$ ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$
  ${\displaystyle Lu+\mu u=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$
• O bien (a) para cualquier , (1) tiene una solución única, o (b) tiene una solución , que se basa en la propiedad de los operadores compactos y la alternativa de Fredholm . ${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$ ${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$ ${\displaystyle Lu=0{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$ ${\displaystyle u\not \equiv 0}$

Esta situación es en última instancia insatisfactoria, ya que la solución débil u podría no tener suficientes derivadas para que la expresión Lu esté bien definida en el sentido clásico.

El teorema de regularidad elíptica garantiza que, siempre que f sea integrable al cuadrado, u tendrá de hecho 2k derivadas débiles integrables al cuadrado. En particular, si f es infinitamente a menudo diferenciable, entonces u también lo es .

Para L como en el Ejemplo 2 ,

• Regularidad interior : Si m es un número natural, (2) es una solución débil de (1), entonces para cualquier conjunto abierto V en U con clausura compacta, (3), donde C depende de U, V, L, m per se , lo que también se cumple si m es infinito por el teorema de incrustación de Sobolev . ${\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}$ ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$ ${\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}$ ${\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}$
• Regularidad de contorno : (2) junto con el supuesto de que indica que (3) todavía se cumple después de reemplazar V con U, es decir , que también se cumple si m es infinito. ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle C^{m+2}}$ ${\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}$

Cualquier operador diferencial que exhiba esta propiedad se denomina operador hipoelíptico ; por lo tanto, todo operador elíptico es hipoelíptico. La propiedad también significa que toda solución fundamental de un operador elíptico es infinitamente diferenciable en cualquier entorno que no contenga 0.

Como aplicación, supongamos que una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Como las ecuaciones de Cauchy-Riemann forman un operador elíptico, se deduce que es suave. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Definición general

Sea un operador diferencial (posiblemente no lineal) entre fibrados vectoriales de cualquier rango. Tome su símbolo principal con respecto a una forma unidimensional . (Básicamente, lo que estamos haciendo es reemplazar las derivadas covariantes de orden más alto por campos vectoriales ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \xi }$

Decimos que es débilmente elíptico si es un isomorfismo lineal para todo . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ ${\displaystyle \xi }$

Decimos que es (uniformemente) fuertemente elíptica si para alguna constante , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}$$

para todos y todas . ${\displaystyle \|\xi \|=1}$ ${\displaystyle v}$

La definición de elipticidad en la parte anterior del artículo es elipticidad fuerte . Aquí hay un producto interno. Observe que son campos covectoriales o uniformas, pero son elementos del fibrado vectorial sobre el que actúa. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$

El ejemplo por excelencia de un operador (fuertemente) elíptico es el laplaciano (o su negativo, según la convención). No es difícil ver que debe ser de orden par para que la elipticidad fuerte sea una opción. De lo contrario, considere simplemente sustituir ambos y su negativo. Por otro lado, un operador de primer orden débilmente elíptico, como el operador de Dirac, puede elevarse al cuadrado para convertirse en un operador fuertemente elíptico, como el laplaciano. La composición de los operadores débilmente elípticos es débilmente elíptica. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \xi }$

Sin embargo, la elipticidad débil es lo suficientemente fuerte para la alternativa de Fredholm , las estimaciones de Schauder y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Por otro lado, necesitamos una elipticidad fuerte para el principio de máximo y para garantizar que los valores propios sean discretos y que su único punto límite sea el infinito.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Espacio Sobolev
• Operador hipoelíptico
• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• Principio del máximo de Hopf
• Complejo elíptico
• Ecuación de onda ultrahiperbólica
• Operador semielíptico
• Lema de Weyl

Notas

1. Nótese que a esto a veces se le llama elipticidad estricta , y que elipticidad uniforme se usa para indicar que también existe un límite superior en el símbolo del operador. Es importante verificar las definiciones que usa el autor, ya que las convenciones pueden diferir. Véase, por ejemplo, Evans, Capítulo 6, para un uso de la primera definición, y Gilbarg y Trudinger, Capítulo 3, para un uso de la segunda.

Referencias

• Evans, LC (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 19 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, Sr.  2597943
  Reseña: Rauch, J. (2000). "Ecuaciones diferenciales parciales, por LC Evans" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Americana . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
  

• Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, Sr.  0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Operador elíptico", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Ecuaciones elípticas lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones elípticas no lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.