Desigualdad isoperimétrica

Desigualdad geométrica que establece un límite inferior para el área de superficie de un conjunto dado su volumen

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica es una desigualdad geométrica que involucra el perímetro de un conjunto y su volumen. En el espacio dimensional, la desigualdad limita por debajo el área de la superficie o perímetro de un conjunto por su volumen . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$ ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$,

donde es una esfera unitaria . La igualdad se cumple solo cuando es una esfera en . ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En un plano, es decir cuando , la desigualdad isoperimétrica relaciona el cuadrado de la circunferencia de una curva cerrada y el área de una región plana que encierra. Isoperimétrico significa literalmente "que tiene el mismo perímetro ". Específicamente en , la desigualdad isoperimétrica establece, para la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra, que ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A,}$

y esa igualdad se cumple si y sólo si la curva es un círculo.

El problema isoperimétrico consiste en determinar una figura plana de la mayor área posible cuyo límite tenga una longitud especificada. ^{[1] El} problema de Dido, estrechamente relacionado, pide una región del área máxima limitada por una línea recta y un arco curvilíneo cuyos puntos finales pertenecen a esa línea. Lleva el nombre de Dido , la legendaria fundadora y primera reina de Cartago . La solución al problema isoperimétrico viene dada por un círculo y ya se conocía en la Antigua Grecia . Sin embargo, la primera prueba matemáticamente rigurosa de este hecho se obtuvo solo en el siglo XIX. Desde entonces, se han encontrado muchas otras pruebas.

El problema isoperimétrico se ha extendido de múltiples maneras, por ejemplo, a curvas en superficies y a regiones en espacios de dimensiones superiores. Tal vez la manifestación física más conocida de la desigualdad isoperimétrica tridimensional sea la forma de una gota de agua. Es decir, una gota normalmente asumirá una forma redonda simétrica. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial fuerza a la gota a adoptar una forma que minimiza el área de superficie de la gota, es decir, una esfera redonda.

El problema isoperimétrico en el plano

Si una región no es convexa, se puede "girar" una "abolladura" en su límite para aumentar el área de la región mientras se mantiene el perímetro sin cambios.

Una forma alargada se puede hacer más redonda manteniendo fijo su perímetro y aumentando su área.

El problema isoperimétrico clásico se remonta a la antigüedad. ^[2] El problema puede enunciarse de la siguiente manera: Entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de su región encerrada? Se puede demostrar que esta pregunta es equivalente al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en el plano que encierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?

Este problema está conceptualmente relacionado con el principio de mínima acción en física , en el sentido de que puede reformularse: ¿cuál es el principio de acción que encierra la mayor área, con la mayor economía de esfuerzo? ^{[ cita requerida ]} El filósofo y científico del siglo XV, el cardenal Nicolás de Cusa , consideró que la acción rotacional , el proceso por el cual se genera un círculo , era el reflejo más directo, en el ámbito de las impresiones sensoriales, del proceso por el cual se crea el universo. El astrónomo y astrólogo alemán Johannes Kepler invocó el principio isoperimétrico al discutir la morfología del sistema solar, en Mysterium Cosmographicum ( El sagrado misterio del cosmos , 1596).

Aunque el círculo parece ser una solución obvia al problema, demostrar este hecho es bastante difícil. El primer avance hacia la solución lo realizó el geómetra suizo Jakob Steiner en 1838, utilizando un método geométrico que más tarde se denominó simetrización de Steiner . ^[3] Steiner demostró que si existía una solución, entonces debía ser el círculo. La prueba de Steiner fue completada más tarde por varios otros matemáticos.

Steiner comienza con algunas construcciones geométricas que son fáciles de entender; por ejemplo, se puede demostrar que cualquier curva cerrada que encierra una región que no es completamente convexa se puede modificar para encerrar más área, "invirtiendo" las áreas cóncavas para que se vuelvan convexas. Se puede demostrar además que cualquier curva cerrada que no sea completamente simétrica se puede "inclinar" para que encierre más área. La única forma que es perfectamente convexa y simétrica es el círculo, aunque esto, en sí mismo, no representa una prueba rigurosa del teorema isoperimétrico (ver enlaces externos).

En un avión

La solución del problema isoperimétrico se expresa habitualmente en forma de una desigualdad que relaciona la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra. La desigualdad isoperimétrica establece que

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

y que la igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo. El área de un disco de radio R es πR ² y la circunferencia del círculo es 2 πR , por lo que ambos lados de la desigualdad son iguales a 4 π ² R ² en este caso.

Se han encontrado docenas de pruebas de la desigualdad isoperimétrica. En 1902, Hurwitz publicó una prueba corta utilizando la serie de Fourier que se aplica a curvas rectificables arbitrarias (no se supone que sean suaves). E. Schmidt dio una prueba directa elegante basada en la comparación de una curva cerrada simple y suave con un círculo apropiado en 1938. Utiliza solo la fórmula de la longitud del arco , expresión para el área de una región plana del teorema de Green y la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

Para una curva cerrada dada, el cociente isoperimétrico se define como el cociente entre su área y la del círculo que tiene el mismo perímetro. Este es igual a

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

y la desigualdad isoperimétrica dice que Q ≤ 1. Equivalentemente, la relación isoperimétrica L ² / A es al menos 4 π para cada curva.

El cociente isoperimétrico de un n -gono regular es

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

Sea una curva cerrada, convexa y regular, suave. Entonces, la desigualdad isoperimétrica mejorada establece lo siguiente ${\displaystyle C}$

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

donde denotan la longitud de , el área de la región delimitada por y el área orientada de la cáustica de Wigner de , respectivamente, y la igualdad se cumple si y solo si es una curva de ancho constante . ^[4] ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

En una esfera

Sea C una curva cerrada simple sobre una esfera de radio 1. Denotemos por L la longitud de C y por A el área encerrada por C. La desigualdad isoperimétrica esférica establece que

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

y que la igualdad se cumple si y sólo si la curva es un círculo. De hecho, hay dos maneras de medir el área esférica encerrada por una curva cerrada simple, pero la desigualdad es simétrica respecto de tomar el complemento.

Esta desigualdad fue descubierta por Paul Lévy (1919) quien también la extendió a dimensiones superiores y superficies generales. ^[5]

En el caso más general de radio arbitrario R , se sabe ^[6] que

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

En el espacio euclidiano

La desigualdad isoperimétrica establece que una esfera tiene la menor área de superficie por volumen dado. Dado un conjunto acotado con área de superficie y volumen , la desigualdad isoperimétrica establece ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},}$

donde es una bola unitaria . La igualdad se cumple cuando es una bola en . Bajo restricciones adicionales en el conjunto (tales como convexidad , regularidad , borde liso ), la igualdad se cumple solo para una bola. Pero en generalidad completa la situación es más complicada. El resultado relevante de Schmidt (1949, Sect. 20.7) (para una prueba más simple véase Baebler (1957)) se clarifica en Hadwiger (1957, Sect. 5.2.5) de la siguiente manera. Un conjunto extremal consiste en una bola y una "corona" que no contribuye ni al volumen ni al área de la superficie. Es decir, la igualdad se cumple para un conjunto compacto si y solo si contiene una bola cerrada tal que y Por ejemplo, la "corona" puede ser una curva. ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$

La prueba de la desigualdad se sigue directamente de la desigualdad de Brunn-Minkowski entre un set y una pelota con radio , es decir . Llevando la desigualdad de Brunn-Minkowski a la potencia , restando de ambos lados, dividiéndolos por , y tomando el límite como (Osserman (1978); Federer (1969, §3.2.43)). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

En su generalidad completa (Federer 1969, §3.2.43), la desigualdad isoperimétrica establece que para cualquier conjunto cuyo cierre tiene una medida de Lebesgue finita ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

donde es el contenido de Minkowski ( n -1)-dimensional , L ⁿ es la medida de Lebesgue n -dimensional y ω _n es el volumen de la bola unitaria en . Si el límite de S es rectificable , entonces el contenido de Minkowski es la medida de Hausdorff ( n -1)-dimensional . ${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La desigualdad isoperimétrica n -dimensional es equivalente (para dominios suficientemente suaves) a la desigualdad de Sobolev con constante óptima: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

Para todos . ${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$

En las variedades de Hadamard

Las variedades de Hadamard son variedades completas simplemente conexas con curvatura no positiva. Por lo tanto, generalizan el espacio euclidiano , que es una variedad de Hadamard con curvatura cero. En los años 70 y principios de los 80, Thierry Aubin , Misha Gromov , Yuri Burago y Viktor Zalgaller conjeturaron que la desigualdad isoperimétrica euclidiana ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

se cumple para conjuntos acotados en variedades de Hadamard, lo que se conoce como la conjetura de Cartan-Hadamard . En dimensión 2 esto ya había sido establecido en 1926 por André Weil , que era un estudiante de Hadamard en ese momento. En dimensiones 3 y 4 la conjetura fue demostrada por Bruce Kleiner en 1992 y Chris Croke en 1984 respectivamente. ${\displaystyle S}$

En un espacio de medida métrica

La mayor parte del trabajo sobre el problema isoperimétrico se ha realizado en el contexto de regiones suaves en espacios euclidianos o, de manera más general, en variedades de Riemann . Sin embargo, el problema isoperimétrico se puede formular con mucha mayor generalidad, utilizando la noción de contenido de Minkowski . Sea un espacio de medida métrica : X es un espacio métrico con métrica d y μ es una medida de Borel en X. La medida de contorno , o contenido de Minkowski , de un subconjunto medible A de X se define como el lim inf ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

dónde

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

es la extensión ε de A .

El problema isoperimétrico en X plantea la pregunta de qué tan pequeño puede ser un valor dado de μ ( A ). Si X es el plano euclidiano con la distancia usual y la medida de Lebesgue , entonces esta pregunta generaliza el problema isoperimétrico clásico a regiones planas cuyo límite no es necesariamente suave, aunque la respuesta resulta ser la misma. ${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$

La función

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

se denomina perfil isoperimétrico del espacio de medida métrica . Los perfiles isoperimétricos se han estudiado para gráficos de Cayley de grupos discretos y para clases especiales de variedades de Riemann (donde generalmente solo se consideran regiones A con borde regular). ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$

Para gráficos

En la teoría de grafos , las desigualdades isoperimétricas son el núcleo del estudio de los grafos expansores , que son grafos dispersos que tienen fuertes propiedades de conectividad. Las construcciones expansoras han generado investigaciones en matemáticas puras y aplicadas, con varias aplicaciones en la teoría de la complejidad , el diseño de redes informáticas robustas y la teoría de códigos de corrección de errores . ^[7]

Las desigualdades isoperimétricas para grafos relacionan el tamaño de los subconjuntos de vértices con el tamaño de su límite, que suele medirse por el número de aristas que salen del subconjunto (expansión de aristas) o por el número de vértices vecinos (expansión de vértices). Para un grafo y un número , los siguientes son dos parámetros isoperimétricos estándar para grafos. ^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

• El parámetro isoperimétrico del borde: $${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• El parámetro isoperimétrico del vértice: $${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

Aquí se denota el conjunto de aristas que salen y se denota el conjunto de vértices que tienen un vecino en . El problema isoperimétrico consiste en entender cómo se comportan los parámetros y para las familias naturales de grafos. ${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi _{E}}$ ${\displaystyle \Phi _{V}}$

Ejemplo: desigualdades isoperimétricas para hipercubos

El hipercubo de dimensión 1 es el grafo cuyos vértices son todos vectores booleanos de longitud , es decir, el conjunto . Dos de estos vectores están conectados por una arista en si son iguales hasta un cambio de bit, es decir, su distancia de Hamming es exactamente uno. Las siguientes son las desigualdades isoperimétricas para el hipercubo booleano. ^[9] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q_{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{d}}$ ${\displaystyle Q_{d}}$

Desigualdad isoperimétrica de aristas

La desigualdad isoperimétrica de las aristas del hipercubo es . Este límite es estricto, como lo demuestra cada conjunto que es el conjunto de vértices de cualquier subcubo de . ${\displaystyle \Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{d}}$

Desigualdad isoperimétrica de vértice

El teorema de Harper ^[10] dice que las bolas de Hamming tienen el límite de vértice más pequeño entre todos los conjuntos de un tamaño dado. Las bolas de Hamming son conjuntos que contienen todos los puntos de peso de Hamming como máximo y ningún punto de peso de Hamming mayor que para algún entero . Este teorema implica que cualquier conjunto con ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S\subseteq V}$

${\displaystyle |S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}}$

satisface

${\displaystyle |S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.}$^[11]

Como caso especial, considere tamaños de conjuntos de la forma ${\displaystyle k=|S|}$

${\displaystyle k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}}$

para algún entero . Entonces lo anterior implica que el parámetro isoperimétrico del vértice exacto es ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.}$^[12]

Desigualdad isoperimétrica para triángulos

La desigualdad isoperimétrica para triángulos en términos de perímetro p y área T establece que ^[13]

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

con igualdad para el triángulo equilátero . Esto está implícito, a través de la desigualdad AM–GM , en una desigualdad más fuerte que también se ha llamado desigualdad isoperimétrica para triángulos: ^[14]

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Teorema de Blaschke-Lebesgue
• Problema de Chaplygin : el problema isoperimétrico es un caso de velocidad del viento cero del problema de Chaplygin
• Flujo que acorta la curva
• Gráfico expansor
• Desigualdad isoperimétrica gaussiana
• Dimensión isoperimétrica
• Punto isoperimétrico
• Lista de desigualdades triangulares
• Teorema del separador planar
• Volumen mixto

Notas

1. Blåsjö, Viktor (2005). "La evolución del problema isoperimétrico". Amer. Math. Monthly . 112 (6): 526–566. doi :10.2307/30037526. JSTOR  30037526.
2. Olmo, Carlos Beltrán, Irene (4 de enero de 2021). "Sobre mates y mitos". El País (en español) . Consultado el 14 de enero de 2021 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze , J. reine angew Math. 18 , (1838), págs. 281–296; y Gesammelte Werke vol. 2, págs. 77–91, Reimer, Berlín, (1882).
4. Zwierzyński, Michał (2016). "La desigualdad isoperimétrica mejorada y la cáustica de Wigner de óvalos planos". J. Math. Anal. Appl . 442 (2): 726–739. arXiv : 1512.06684 . doi :10.1016/j.jmaa.2016.05.016. S2CID  119708226.
5. Gromov, Mikhail; Pansu, Pierre (2006). "Apéndice C. Desigualdad isoperimétrica de Paul Levy". Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Clásicos modernos de Birkhäuser. Dordrecht: Springer. pág. 519. ISBN 9780817645830.
6. Osserman, Robert . "La desigualdad isoperimétrica". Boletín de la Sociedad Matemática Americana. 84.6 (1978) http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/S0002-9904-1978-14553-4.pdf
7. Hoory, Linial y Widgerson (2006)
8. Definiciones 4.2 y 4.3 de Hoory, Linial y Widgerson (2006)
9. Véase Bollobás (1986) y la Sección 4 en Hoory, Linial y Widgerson (2006)
10. Cfr. Calabró (2004) o Bollobás (1986)
11. Véase Líder (1991)
12. También se afirma en Hoory, Linial y Widgerson (2006)
13. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979: 147.
14. Dragutin Svrtan y Darko Veljan, "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas de triángulos", Forum Geometricorum 12, 2012, 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217.pdf

Referencias

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• Bollobás, Béla (1986). Combinatoria: sistemas de conjuntos, hipergrafos, familias de vectores y probabilidad combinatoria . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33703-8.
• Burago (2001) [1994], "Desigualdad isoperimétrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Calabro, Chris (2004). "Harper's Theorem" (PDF) . Consultado el 8 de febrero de 2011 .
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• Schmidt, Erhard (1949). "Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Hugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. II". Matemáticas. Nachr . 2 (3–4): 171–244. doi :10.1002/mana.19490020308..
• Baebler, F. (1957). "El problema isoperimétrico". Arco. Matemáticas. (Basilea) . 8 : 52–65. doi :10.1007/BF01898439. S2CID  123704157..

Enlaces externos

• Historia del problema isoperimétrico en la convergencia
• Treiberg: Varias demostraciones de la desigualdad isoperimétrica
• Teorema isoperimétrico en el corte del nudo