Colector Hadamard

En matemáticas , una variedad de Hadamard , llamada así por Jacques Hadamard —más a menudo llamada variedad de Cartan–Hadamard , por Élie Cartan— es una variedad de Riemann que es completa y simplemente conexa y tiene en todas partes una curvatura seccional no positiva . ^{[1] [2]} Por el teorema de Cartan–Hadamard todas las variedades de Cartan–Hadamard son difeomorfas al espacio euclidiano Además, del teorema de Hopf–Rinow se deduce que todos los pares de puntos en una variedad de Cartan–Hadamard pueden estar conectados por un único segmento geodésico. Por lo tanto, las variedades de Cartan–Hadamard son algunos de los parientes más cercanos de ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Ejemplos

El espacio euclidiano con su métrica habitual es una variedad de Cartan-Hadamard con curvatura seccional constante igual a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0.}$

El espacio hiperbólico de dimensión estándar es una variedad de Cartan-Hadamard con una curvatura seccional constante igual a ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle -1.}$

Propiedades

En las variedades de Cartan-Hadamard, la aplicación es un difeomorfismo para todos ${\displaystyle \exp _{p}:\operatorname {T} M_{p}\to M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Véase también

• Conjetura de Cartan-Hadamard
• Teorema de Cartan-Hadamard  : sobre la estructura de variedades riemannianas completas de curvatura seccional no positiva
• Espacio de Hadamard  : espacio métrico geodésicamente completo de curvatura no positivaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Li, Peter (2012). Análisis geométrico . Cambridge University Press. pág. 381. doi :10.1017/CBO9781139105798. ISBN . 9781107020641.
2. Lang, Serge (1989). Fundamentos de geometría diferencial, volumen 160. Springer. págs. 252-253. ISBN. 9780387985930.