Teorema de Hopf-Rinow

Da afirmaciones equivalentes sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann.

El teorema de Hopf-Rinow es un conjunto de afirmaciones sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann . Recibe su nombre en honor a Heinz Hopf y su alumno Willi Rinow , quienes lo publicaron en 1931. ^[1] Stefan Cohn-Vossen extendió parte del teorema de Hopf-Rinow al contexto de ciertos tipos de espacios métricos .

Declaración

Sea una variedad riemanniana conexa y suave. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[2] ${\displaystyle (M,g)}$

1. Los subconjuntos cerrados y acotados de son compactos ; ${\displaystyle M}$
2. ${\displaystyle M}$es un espacio métrico completo ;
3. ${\displaystyle M}$es geodésicamente completa; es decir, para cada función exponencial exp _p está definida en todo el espacio tangente ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}M.}$

Además, cualquiera de las anteriores implica que, dados dos puntos cualesquiera, existe una geodésica que minimiza la longitud que conecta estos dos puntos (las geodésicas son, en general, puntos críticos para la función de longitud y pueden ser mínimas o no). ${\displaystyle p,q\in M,}$

En el teorema de Hopf-Rinow, la primera caracterización de la completitud trata puramente de la topología de la variedad y la acotación de varios conjuntos; la segunda trata de la existencia de minimizadores para un cierto problema en el cálculo de variaciones (a saber, la minimización del funcional de longitud); la tercera trata de la naturaleza de las soluciones para un cierto sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Variaciones y generalizaciones

• El teorema de Hopf-Rinow se generaliza a espacios de longitud métrica de la siguiente manera: ^[3]
  • Si un espacio métrico de longitud es completo y localmente compacto , entonces dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora , y cualquier conjunto cerrado acotado es compacto .

De hecho, estas propiedades caracterizan la completitud de espacios métricos de longitud localmente compactos. ^[4]

• El teorema no se cumple para variedades de dimensión infinita. La esfera unitaria en un espacio de Hilbert separable puede estar dotada de la estructura de una variedad de Hilbert de tal manera que los puntos antípodas no puedan ser unidos por una geodésica que minimice su longitud. ^[5] Más tarde se observó que ni siquiera es automáticamente cierto que dos puntos estén unidos por cualquier geodésica, ya sea que minimice o no. ^[6]
• El teorema tampoco se puede generalizar a las variedades lorentzianas : el toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo (difeomorfo al toro bidimensional) que es compacto pero no completo. ^[7]

Notas

1. Hopf, H.; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen diferencialgeometrischen Fläche". Comentarios Mathematici Helvetici . 3 (1): 209–225. doi :10.1007/BF01601813.
2. do Carmo 1992, Capítulo 7; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 2.C.5; Jost 2017, Sección 1.7; Kobayashi y Nomizu 1963, Sección IV.4; Lang 1999, Sección VIII.6; O'Neill 1983, Teorema 5.21 y Proposición 5.22; Petersen 2016, Sección 5.7.1.
3. Bridson y Haefliger 1999, Proposición I.3.7; Gromov 1999, Sección 1.B.
4. Burago, Burago e Ivanov 2001, sección 2.5.3.
5. Lang 1999, págs. 226-227.
6. Atkin, CJ (1975), "El teorema de Hopf-Rinow es falso en dimensiones infinitas", The Bulletin of the London Mathematical Society , 7 (3): 261–266, doi :10.1112/blms/7.3.261, MR  0400283
7. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, sección 2.D.4; O'Neill 1983, pág. 193.

Referencias

• Burago, Dmitri ; Burago, Yuri ; Ivanov, Sergei (2001). Un curso de geometría métrica . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 33. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . doi :10.1090/gsm/033. ISBN 0-8218-2129-6.MR  1835418.Zbl 0981.51016  .​ (Fe de erratas: [1])
• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 319. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. Sr.  1744486. Zbl  0988.53001.
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría de Riemann . Matemáticas: teoría y aplicaciones. Traducido de la segunda edición portuguesa de Francis Flaherty. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8.MR  1138207.Zbl 0752.53001  .​
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría riemanniana . Universitext (Tercera ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8.MR  2088027.Zbl 1068.53001  .​
• Gromov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progress in Mathematics. Vol. 152. Traducido por Bates, Sean Michael. Con apéndices de M. Katz , P. Pansu y S. Semmes . (Basado en la edición original en francés de 1981). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-0-8176-4583-0. ISBN 0-8176-3898-9.MR  1699320.Zbl 0953.53002  .​
• Jost, Jürgen (2017). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Universitext (séptima edición de la edición original de 1995). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN . 978-3-319-61859-3.MR  3726907.Zbl 1380.53001  .​
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de geometría diferencial. Volumen I . Nueva York–Londres: John Wiley & Sons, Inc. MR  0152974. Zbl  0119.37502.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 191. Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0541-8. ISBN . 0-387-98593-X.MR  1666820.Zbl 0932.53001  .​
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1.MR  0719023.Zbl 0531.53051  .​
• Petersen, Peter (2016). Geometría de Riemann . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 171 (tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN . 978-3-319-26652-7.MR 3469435.Zbl 1417.53001  . ​

Enlaces externos

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teorema de Hopf-Rinow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Derwent, John. "Teorema de Hopf-Rinow". MathWorld .