El cálculo de Itô , que lleva el nombre de Kiyosi Itô , extiende los métodos de cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (ver proceso de Wiener ). Tiene importantes aplicaciones en finanzas matemáticas y ecuaciones diferenciales estocásticas .
El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos:
donde H es un proceso localmente integrable al cuadrado adaptado a la filtración generada por X (Revuz & Yor 1999, Capítulo IV), que es un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . El resultado de la integración es entonces otro proceso estocástico. Concretamente, la integral de 0 a cualquier t particular es una variable aleatoria , definida como un límite de una determinada secuencia de variables aleatorias. Las trayectorias del movimiento browniano no cumplen los requisitos para poder aplicar las técnicas estándar de cálculo. Entonces, siendo el integrando un proceso estocástico, la integral estocástica de Itô equivale a una integral con respecto a una función que no es diferenciable en ningún punto y tiene una variación infinita en cada intervalo de tiempo. La idea principal es que la integral se puede definir siempre que se adapte el integrando H , lo que en términos generales significa que su valor en el momento t sólo puede depender de la información disponible hasta ese momento. En términos generales, se elige una secuencia de particiones del intervalo de 0 a t y se construyen sumas de Riemann . Cada vez que calculamos una suma de Riemann, utilizamos una instancia particular del integrador. Es crucial qué punto de cada uno de los intervalos pequeños se utiliza para calcular el valor de la función. Entonces, el límite se toma en probabilidad ya que la malla de la partición va a cero. Hay que tener en cuenta numerosos detalles técnicos para demostrar que este límite existe y es independiente de la secuencia particular de particiones. Normalmente se utiliza el extremo izquierdo del intervalo.
Los resultados importantes del cálculo de Itô incluyen la fórmula de integración por partes y el lema de Itô , que es una fórmula de cambio de variables . Estas difieren de las fórmulas del cálculo estándar debido a los términos de variación cuadrática .
En finanzas matemáticas , la estrategia de evaluación de la integral descrita se conceptualiza como que primero decidimos qué hacer y luego observamos el cambio en los precios. El integrando es la cantidad de acciones que tenemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es cuánto dinero tenemos en total, incluido el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados pueden modelarse mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más a menudo, el movimiento browniano geométrico (véase Black-Scholes ). Entonces, la integral estocástica de Itô representa el beneficio de una estrategia de negociación en tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad Ht de la acción en el momento t . En esta situación, la condición de que H esté adaptado corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia comercial solo pueda hacer uso de la información disponible en cualquier momento. Esto evita la posibilidad de obtener ganancias ilimitadas a través de la clarividencia : comprar acciones justo antes de cada alza en el mercado y vender antes de cada caída. De manera similar, la condición de que H esté adaptado implica que la integral estocástica no divergirá cuando se calcule como un límite de las sumas de Riemann (Revuz y Yor 1999, Capítulo IV).
El proceso Y definido antes como
es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de tiempo t , que a veces también se escribe como Y = H · X (Rogers & Williams 2000). Alternativamente , la integral a menudo se escribe en forma diferencial dY = H dX , que es equivalente a Y − Y 0 = H · X. Como el cálculo de Itô se ocupa de procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que se da un espacio de probabilidad filtrado subyacente
El σ-álgebra representa la información disponible hasta el momento t , y un proceso X se adapta si X t es medible. Se entiende que un movimiento browniano B es un movimiento -browniano, que es simplemente un movimiento browniano estándar con las propiedades de que B t es -medible y de que B t + s − B t es independiente para todo s , t ≥ 0 (Revuz y Yor 1999).
La integral de Itô se puede definir de manera similar a la integral de Riemann-Stieltjes , es decir, como un límite en la probabilidad de las sumas de Riemann ; tal límite no existe necesariamente en el camino. Supongamos que B es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que H es un proceso continuo por la derecha ( càdlàg ), adaptado y acotado localmente. Si es una secuencia de particiones de [0, t ] con un ancho de malla igual a cero, entonces la integral Itô de H con respecto a B hasta el momento t es una variable aleatoria
Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad .
Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales , la integral es necesaria para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que está cerrada bajo los límites de las secuencias y contiene todos los procesos continuos por la izquierda adaptados. Si H es cualquier proceso predecible tal que ∫ 0 t H 2 ds < ∞ para cada t ≥ 0 entonces se puede definir la integral de H con respecto a B , y se dice que H es B -integrable. Cualquier proceso de este tipo puede aproximarse mediante una secuencia H n de procesos continuos a la izquierda, adaptados y acotados localmente, en el sentido de que
en probabilidad. Entonces, la integral de Itô es
donde, nuevamente, se puede demostrar que el límite converge en probabilidad. La integral estocástica satisface la isometría de Itô
lo cual se cumple cuando H es acotado o, más generalmente, cuando la integral del lado derecho es finita.
Un proceso de Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo,
Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B -integrable predecible, y μ sea predecible y ( Lebesgue ) integrable. Eso es,
para cada t . La integral estocástica se puede extender a tales procesos de Itô,
Esto se define para todos los integrandos predecibles y acotados localmente. De manera más general, se requiere que H σ sea B -integrable y H μ sea integrable de Lebesgue, de modo que
Estos procesos predecibles H se denominan X -integrables.
Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô . En su forma más simple, para cualquier función f dos veces continuamente diferenciable en los reales y el proceso Itô X como se describió anteriormente, establece que f ( X ) es en sí mismo un proceso Itô que satisface
Esta es la versión de cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena . Difiere del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f , que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene variación cuadrática distinta de cero .
La integral de Itô se define con respecto a una semimartingala X. Estos son procesos que se pueden descomponer como X = M + A para una martingala local M y un proceso de variación finita A. Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano , que es una martingala , y los procesos de Lévy . Para un proceso H continuo por la izquierda, acotado localmente y adaptado , la integral H · X existe y puede calcularse como un límite de sumas de Riemann. Sea π n una secuencia de particiones de [0, t ] con malla yendo a cero,
Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de procesos continuos por la izquierda es lo suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones del lema de Itô, cambios de medida mediante el teorema de Girsanov y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, es inadecuado para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales .
La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y acotados localmente, de una manera única, de modo que se cumple el teorema de convergencia dominada . Es decir, si H n → ; H y | H norte | ≤ J para un proceso J acotado localmente , entonces
en probabilidad. La unicidad de la extensión desde integrandos continuos por la izquierda hasta integrandos predecibles es el resultado del lema de clases monótonas .
En general, la integral estocástica H · X se puede definir incluso en los casos en que el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K = 1 / (1 + | H |) entonces K y KH están acotados. La asociatividad de la integración estocástica implica que H es X -integrable, con integral H · X = Y , si y sólo si Y 0 = 0 y K · Y = ( KH ) · X . El conjunto de procesos integrables en X se denota por L ( X ).
Las siguientes propiedades se pueden encontrar en trabajos como (Revuz & Yor 1999) y (Rogers & Williams 2000):
Como ocurre con el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral de Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covariación cuadrática . Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata procesos con variación cuadrática distinta de cero, lo que sólo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X e Y son semimartingalas entonces
El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes pero tiene un término de variación cuadrática adicional .
El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y utilizados con frecuencia en el cálculo estocástico. Para una semimartingala continua de n dimensiones X = ( X 1 ,..., X n ) y una función f dos veces continuamente diferenciable de R n a R , se establece que f ( X ) es una semimartingala y,
Una propiedad importante de la integral de Itô es que conserva la propiedad martingala local . Si M es una martingala local y H es un proceso predecible acotado localmente, entonces H · M también es una martingala local. Para integrandos que no están acotados localmente, hay ejemplos en los que H · M no es una martingala local. Sin embargo, esto sólo puede ocurrir cuando M no es continuo. Si M es una martingala local continua, entonces un proceso predecible H es M -integrable si y sólo si
para cada t , y H · M es siempre una martingala local.
La afirmación más general para una martingala local discontinua M es que si ( H 2 · [ M ] ) 1/2 es localmente integrable entonces H · M existe y es una martingala local.
Para integrandos acotados, la integral estocástica de Itô preserva el espacio de martingalas cuadradas integrables , que es el conjunto de martingalas càdlàg M tal que E[ M t 2 ] es finito para todo t . Para cualquier martingala cuadrada integrable M , el proceso de variación cuadrática [ M ] es integrable, y la isometría de Itô establece que
Esta igualdad se cumple de manera más general para cualquier martingala M tal que H 2 · [ M ] t es integrable. La isometría de Itô se utiliza a menudo como un paso importante en la construcción de la integral estocástica, al definir H · M como la extensión única de esta isometría desde una cierta clase de integrandos simples a todos los procesos acotados y predecibles.
Para cualquier p > 1 y un integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de p -martingalas integrables. Estas son martingalas càdlàg tales que E(| M t | p ) es finita para todo t . Sin embargo, esto no siempre es cierto en el caso en que p = 1. Hay ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a martingalas que no son martingalas en sí mismas.
El proceso máximo de un proceso càdlàg M se escribe como M* t = sup s ≤ t | M s |. Para cualquier p ≥ 1 e integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas càdlàg M tal que E[( M* t ) p ] es finito para todo t . Si p > 1 entonces esto es lo mismo que el espacio de p martingalas integrables, según las desigualdades de Doob .
Las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy establecen que, para cualquier p ≥ 1 dado, existen constantes positivas c , C que dependen de p , pero no de M o de t tales que
para todas las martingalas locales de càdlàg M . Estos se utilizan para mostrar que si ( M* t ) p es integrable y H es un proceso predecible acotado, entonces
y, en consecuencia, H · M es una martingala p -integrable. De manera más general, esta afirmación es cierta siempre que ( H 2 · [ M ]) p /2 sea integrable.
Las pruebas de que la integral de Itô está bien definida generalmente proceden observando primero integrandos muy simples, como procesos constantes por partes, continuos por la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Estos procesos simples y predecibles son combinaciones lineales de términos de la forma H t = A 1 { t > T } para tiempos de parada T y F T -variables aleatorias medibles A , para las cuales la integral es
Esto se extiende a todos los procesos simples y predecibles mediante la linealidad de H · X en H.
Para un movimiento browniano B , la propiedad de que tiene incrementos independientes con media cero y varianza Var( B t ) = t se puede utilizar para demostrar la isometría de Itô para integrandos simples y predecibles,
Por una extensión lineal continua , la integral se extiende únicamente a todos los integrandos predecibles que satisfacen
de tal manera que la isometría de Itô aún se mantiene. Luego se puede extender a todos los procesos integrables B mediante localización . Este método permite definir la integral con respecto a cualquier proceso de Itô.
Para una semimartingala general X , se puede utilizar la descomposición X = M + A en una martingala local M más un proceso de variación finita A. Entonces, se puede demostrar que la integral existe por separado con respecto a M y A y combinarse usando linealidad, H · X = H · M + H · A , para obtener la integral con respecto a X. La integral estándar de Lebesgue-Stieltjes permite definir la integración con respecto a procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral de Itô para semimartingalas se derivará de cualquier construcción para martingalas locales.
Para una martingala integrable cuadrada de càdlàg M , se puede utilizar una forma generalizada de la isometría de Itô. Primero, el teorema de descomposición de Doob-Meyer se utiliza para demostrar que existe una descomposición M 2 = N + ⟨ M ⟩ , donde N es una martingala y ⟨ M ⟩ es un proceso continuo por la derecha, creciente y predecible que comienza en cero. Esto define de forma única ⟨ M ⟩ , que se conoce como la variación cuadrática predecible de M. La isometría de Itô para martingalas cuadradas integrables es entonces
que se puede demostrar directamente para integrandos simples y predecibles. Al igual que en el caso anterior del movimiento browniano, se puede utilizar una extensión lineal continua para extender de forma única a todos los integrandos predecibles que satisfagan E [ H 2 · ⟨ M ⟩ t ] < ∞ . Este método se puede extender a todas las martingalas integrables cuadradas locales mediante localización. Finalmente, la descomposición de Doob-Meyer se puede utilizar para descomponer cualquier martingala local en la suma de una martingala integrable al cuadrado local y un proceso de variación finita, lo que permite construir la integral de Itô con respecto a cualquier semimartingala.
Existen muchas otras pruebas que aplican métodos similares pero que evitan la necesidad de utilizar el teorema de descomposición de Doob-Meyer, como el uso de la variación cuadrática [ M ] en la isometría de Itô, el uso de la medida de Doléans para las submartingales o el uso de las desigualdades Burkholder-Davis-Gundy en lugar de la isometría de Itô. Esto último se aplica directamente a las martingalas locales sin tener que abordar primero el caso de la martingala cuadrada integrable.
Existen pruebas alternativas sólo haciendo uso del hecho de que X es càdlàg, adaptado, y el conjunto { H · X t : | H | ≤ 1 es previsible simple} está acotado en probabilidad para cada vez t , que es una definición alternativa para que X sea una semimartingala. Se puede utilizar una extensión lineal continua para construir la integral para todos los integrandos continuos a la izquierda y adaptados con límites a la derecha en todas partes (procesos Caglad o L). Esto es lo suficientemente general como para poder aplicar técnicas como el lema de Itô (Protter 2004). Además, se puede utilizar una desigualdad de Khintchine para demostrar el teorema de convergencia dominada y extender la integral a integrandos generales predecibles (Bichteler 2002).
El cálculo de Itô se define ante todo como un cálculo integral como se describió anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de "derivada" con respecto al movimiento browniano:
El cálculo de Malliavin proporciona una teoría de diferenciación para variables aleatorias definidas en el espacio de Wiener , incluida una fórmula de integración por partes (Nualart 2006).
El siguiente resultado permite expresar las martingalas como integrales de Itô: si M es una martingala integrable al cuadrado en un intervalo de tiempo [0, T ] con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano B , entonces existe un proceso único integrable al cuadrado adaptado en [0, T ] tal que
casi con seguridad, y para todo t ∈ [0, T ] (Rogers & Williams 2000, Teorema 36.5). Este teorema de representación puede interpretarse formalmente diciendo que α es la "derivada temporal" de M con respecto al movimiento browniano B , ya que α es precisamente el proceso que debe integrarse hasta el tiempo t para obtener M t − M 0 , como en cálculo determinista.
En física, normalmente se utilizan ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), como las ecuaciones de Langevin , en lugar de integrales estocásticas. Aquí una ecuación diferencial estocástica de Itô (SDE) a menudo se formula mediante
¿Dónde está el ruido blanco gaussiano con
y se utiliza la convención de suma de Einstein .
Si es una función de x k , entonces se debe utilizar el lema de Itô :
Un SDE de Itô como el anterior también corresponde a un SDE de Stratonovich que dice
Las SDE ocurren con frecuencia en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido coloreado si el tiempo de correlación del término de ruido se acerca a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, consulte, por ejemplo, (Lau y Lubensky 2007).
![{\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _ {n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f5fc2b9759e287913ded34591bc8a65aa692e4)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _ {0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a265a323327ada269b8274f69f5cc32b2c5a7303)
![{\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868ff6012b1a0ebd76b097c5e19b5c8ded625075)
![{\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^ {t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04788f464478e123f2dd76c5cf218b2f29e22d93)
![{\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09761dedcd41375c04fcb14ad694b7688f3e521f)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea7c20b63849c1e82be22d8a100a87e765fe6c1)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\derecha].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05344ceb54b8ff56400197d893d6bb9cfe8c4e33)
![{\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec16b391c724561cadb8e4f492b3773b532e864)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2) }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192977d677a2dbbbef8e53111d77e6a47ff62780)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s} ^{2}\,ds\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68c94316bb6b4a630de8650583892efc2b3417c)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12b0be0680cfb887788924b6a9a0e0d81dea21)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s} ^{2}\,d\langle M\rangle _ {s}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962b677f5ae8810c10b309a2f5296a8ede3dc52d)
