Gravedad masiva

Teoría de la gravedad en la que el gravitón tiene masa distinta de cero.

En física teórica , la gravedad masiva es una teoría de la gravedad que modifica la relatividad general dotando al gravitón de una masa distinta de cero . En la teoría clásica, esto significa que las ondas gravitacionales obedecen a una ecuación de onda masiva y, por tanto, viajan a velocidades inferiores a la de la luz .

Fondo

La gravedad masiva tiene una historia larga y sinuosa, que se remonta a la década de 1930, cuando Wolfgang Pauli y Markus Fierz desarrollaron por primera vez una teoría de un campo masivo de espín-2 que se propagaba sobre un fondo plano del espacio-tiempo . Posteriormente, en la década de 1970, se comprendió que las teorías de un gravitón masivo padecían patologías peligrosas, incluido un modo fantasma y una discontinuidad con la relatividad general en el límite donde la masa del gravitón llega a cero. Si bien las soluciones a estos problemas habían existido durante algún tiempo en tres dimensiones espacio-temporales, ^{[1] [2]} no se resolvieron en cuatro dimensiones y superiores hasta el trabajo de Claudia de Rham , Gregory Gabadadze y Andrew Tolley (modelo dRGT) en 2010. .

Una de las primeras teorías de la gravedad masiva fue construida en 1965 por Ogievetsky y Polubarinov (OP). ^[3] A pesar de que el modelo OP coincide con los modelos de gravedad masiva libres de fantasmas redescubiertos en dRGT, el modelo OP ha sido casi desconocido entre los físicos contemporáneos que trabajan en gravedad masiva, quizás porque la estrategia seguida en ese modelo fue bastante diferente. de lo que se adopta generalmente en la actualidad. ^{[4] Se puede obtener} gravedad dual masiva para el modelo OP ^[5] acoplando el campo de gravitones dual al rizo de su propio tensor de energía-momento. ^{[6] [7]} Dado que la intensidad del campo simétrico mixto de la gravedad dual es comparable al tensor de curvatura extrínseco totalmente simétrico de la teoría de Galileones, el lagrangiano efectivo del modelo dual en 4-D se puede obtener a partir de la recursividad de Faddeev-LeVerrier . que es similar a la de la teoría de Galileon hasta los términos que contienen polinomios de la traza de la intensidad del campo. ^{[8] [9]} Esto también se manifiesta en la formulación dual de la teoría de Galileón. ^{[10] [11]}

El hecho de que la relatividad general se modifique a grandes distancias en la gravedad masiva proporciona una posible explicación para la expansión acelerada del Universo que no requiere ninguna energía oscura . La gravedad masiva y sus extensiones, como la gravedad bimétrica , ^[12] pueden producir soluciones cosmológicas que, de hecho, muestran una aceleración tardía de acuerdo con las observaciones. ^{[13] [14] [15]}

Las observaciones de ondas gravitacionales han obligado a que la longitud de onda Compton del gravitón sea λ _g >1,6 × 10 ¹⁶  m , que puede interpretarse como un límite en la masa del gravitón mg _<7,7 × 10 ⁻²³  eV / c ² . ^[16] También se han obtenido límites competitivos para la masa del gravitón a partir de mediciones del sistema solar realizadas por misiones espaciales como Cassini y MESSENGER , que en cambio dan la restricción λ _g >1,83 × 10 ¹⁶  m o m _g <6,76 × 10 ⁻²³  eV /c ² . ^[17]

Gravedad masiva linealizada

A nivel lineal, se puede construir una teoría de un campo masivo de espín -2 que se propaga en el espacio de Minkowski . Esto puede verse como una extensión de la gravedad linealizada de la siguiente manera. La gravedad linealizada se obtiene linealizando la relatividad general alrededor del espacio plano, donde es la masa de Planck con la constante gravitacional . Esto conduce a un término cinético en el lagrangiano que es consistente con la invariancia del difeomorfismo , así como a un acoplamiento a la materia de la forma ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathrm {Pl} }^{-1}h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu },}$

¿Dónde está el tensor tensión-energía ? Este término cinético y el acoplamiento de materia combinados no son otra cosa que la acción de Einstein-Hilbert linealizada sobre el espacio plano. ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

La gravedad masiva se obtiene sumando términos de interacción no derivados para . En el nivel lineal (es decir, de segundo orden en ), sólo hay dos términos de masa posibles: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}.}$

Fierz y Pauli ^[18] demostraron en 1939 que esto sólo propaga las cinco polarizaciones esperadas de un gravitón masivo (en comparación con dos en el caso sin masa) si los coeficientes se eligen de modo que . Cualquier otra elección desbloqueará un sexto y fantasmal grado de libertad. Un fantasma es un modo con energía cinética negativa. Su hamiltoniano no tiene límites desde abajo y, por lo tanto, es inestable para descomponerse en partículas de energías positivas y negativas arbitrariamente grandes. El término de masa de Fierz-Pauli , ${\displaystyle a=-b}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

es, por tanto, la única teoría lineal consistente de un campo masivo de espín-2.

La discontinuidad vDVZ

En la década de 1970, Hendrik van Dam y Martinus JG Veltman ^[19] e, independientemente, Valentin I. Zakharov ^[20] descubrieron una propiedad peculiar de la gravedad masiva de Fierz-Pauli: sus predicciones no se reducen uniformemente a las de la relatividad general en el límite . En particular, mientras que a escalas pequeñas (más cortas que la longitud de onda Compton de la masa del gravitón) se recupera la ley gravitacional de Newton , la curvatura de la luz es sólo tres cuartas partes del resultado que obtuvo Albert Einstein en la relatividad general. Esto se conoce como discontinuidad vDVZ . ${\displaystyle m\to 0}$

Podemos entender la curvatura de la luz más pequeña de la siguiente manera. El gravitón masivo de Fierz-Pauli, debido a la invariancia del difeomorfismo roto , propaga tres grados de libertad adicionales en comparación con el gravitón sin masa de la relatividad general linealizada. Estos tres grados de libertad se agrupan en un campo vectorial, que es irrelevante para nuestros propósitos, y un campo escalar. Este modo escalar ejerce una atracción adicional en el caso masivo en comparación con el caso sin masa. Por lo tanto, si se quiere que las mediciones de la fuerza ejercida entre masas no relativistas concuerden, la constante de acoplamiento de la teoría masiva debería ser menor que la de la teoría sin masa. Pero la curvatura de la luz es ciega al sector escalar, porque el tensor de tensión-energía de la luz no deja rastro. Por lo tanto, siempre que las dos teorías coincidan en la fuerza entre sondas no relativistas, la teoría masiva predeciría una curvatura de la luz menor que la teoría sin masa.

Proyección de Vainshtein

^{Vainshtein [21]} dos años más tarde argumentó que la discontinuidad vDVZ es un artefacto de la teoría lineal y que las predicciones de la relatividad general se recuperan de hecho a pequeñas escalas cuando se tienen en cuenta los efectos no lineales, es decir, superiores a los cuadráticos. términos en . Heurísticamente hablando, dentro de una región conocida como radio de Vainshtein , las fluctuaciones del modo escalar se vuelven no lineales y sus términos derivados de orden superior se vuelven más grandes que el término cinético canónico. Por lo tanto, la normalización canónica del escalar alrededor de este fondo conduce a un término cinético muy suprimido, que amortigua las fluctuaciones del escalar dentro del radio de Vainshtein. Debido a que la fuerza adicional mediada por el escalar es proporcional (menos) a su gradiente, esto conduce a una fuerza adicional mucho menor que la que hubiéramos calculado usando simplemente la teoría lineal de Fierz-Pauli. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Este fenómeno, conocido como cribado de Vainshtein , está en juego no sólo en la gravedad masiva, sino también en teorías relacionadas de la gravedad modificada, como la DGP y ciertas teorías del tensor escalar , donde es crucial para ocultar los efectos de la gravedad modificada en el sistema solar. . Esto permite que estas teorías coincidan con las pruebas de gravedad terrestres y del sistema solar tan bien como lo hace la relatividad general, manteniendo grandes desviaciones a distancias mayores. De esta manera, estas teorías pueden conducir a la aceleración cósmica y tener huellas observables en la estructura a gran escala del Universo sin entrar en conflicto con otras limitaciones mucho más estrictas provenientes de observaciones más cercanas.

El fantasma de Boulware-Deser

Como respuesta al modelo de gravedad de rango finito de Freund -Maheshwari-Schonberg , ^[22] y casi al mismo tiempo que se descubrieron la discontinuidad vDVZ y el mecanismo de Vainshtein, David Boulware y Stanley Deser descubrieron en 1972 que las extensiones genéricas no lineales del modelo de gravedad de Fierz-Pauli la teoría reintrodujo el peligroso modo fantasma; ^[23] Descubrieron que la sintonización que aseguraba la ausencia de este modo en el orden cuadrático generalmente se rompía en los órdenes cúbicos y superiores, reintroduciendo el fantasma en esos órdenes. Como resultado, este fantasma de Boulware-Deser estaría presente, por ejemplo, en entornos muy poco homogéneos. ${\displaystyle a=-b}$

Esto es problemático porque una teoría linealizada de la gravedad, como la de Fierz-Pauli, está bien definida por sí sola pero no puede interactuar con la materia, ya que el acoplamiento rompe la invariancia del difeomorfismo. Esto debe remediarse agregando nuevos términos en órdenes cada vez más altos, ad infinitum . Para un gravitón sin masa, este proceso converge y el resultado es bien conocido: simplemente se llega a la relatividad general. Este es el significado de la afirmación de que la relatividad general es la única teoría (salvo condiciones de dimensionalidad, localidad, etc.) de un campo de espín-2 sin masa. ${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$

Para que la gravedad masiva describa realmente la gravedad, es decir, un campo masivo de espín-2 acoplado a la materia y mediando así la fuerza gravitacional, se debe obtener de manera similar una terminación no lineal. El fantasma de Boulware-Deser presenta un serio obstáculo para tal esfuerzo. La gran mayoría de las teorías sobre campos de espín-2 masivos e interactivos sufrirán este fantasma y, por tanto, no serán viables. De hecho, hasta 2010 se creía ampliamente que todas las teorías de gravedad masiva invariantes de Lorentz poseían el fantasma de Boulware-Deser ^[24] a pesar de los esfuerzos por demostrar que tal creencia no es válida. ^[25] Vale la pena señalar que el modelo dRGT es la mejor manera de identificar y "romper" el fantasma de BD, ya que ambos se desarrollan utilizando tratamientos hamiltonianos y variables ADM . Pero para el modelo de gravedad de rango finito y el modelo de Ogievetsky y Polubarinov, resulta que necesitan el principio variacional de Noether junto con redefinir y mejorar conformemente el tensor de momento de energía como campo fuente . ^[26]

Gravedad masiva sin fantasmas

En 2010 se logró un gran avance cuando de Rham , Gabadadze y Tolley construyeron, orden por orden, una teoría de gravedad masiva con coeficientes ajustados para evitar el fantasma de Boulware-Deser empaquetando todos los operadores fantasmales (es decir, de derivadas superiores) en derivadas totales. que no contribuyen a las ecuaciones de movimiento. ^{[27] [28] Fawad Hassan y} Rachel Rosen probaron posteriormente la ausencia total del fantasma de Boulware-Deser, en todos los órdenes y más allá del límite de desacoplamiento . ^{[29] [30]}

La acción para la gravedad masiva de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT) libre de fantasmas viene dada por ^[31]

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

o equivalente,

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

Los ingredientes requieren alguna explicación. Como en la relatividad general estándar, existe un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci y un acoplamiento mínimo a la materia lagrangiana con la representación de todos los campos de materia, como los del Modelo Estándar . La nueva pieza es un término de masa, o potencial de interacción, construido cuidadosamente para evitar el fantasma de Boulware-Deser, con una fuerza de interacción que está (si los valores distintos de cero ) están estrechamente relacionados con la masa del gravitón. ${\displaystyle \ R\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \Phi _{i}\ }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ \beta _{i}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {O}}(1)\ }$

El principio de invariancia de calibre genera expresiones redundantes en cualquier teoría de campo provista de sus calibres correspondientes. Por ejemplo, en la acción Proca de giro masivo 1 , la parte masiva en el lagrangiano rompe la invariancia de calibre. Sin embargo, la invariancia se restablece introduciendo las transformaciones: se puede hacer lo mismo con la gravedad masiva siguiendo la teoría de campos efectivos de Arkani-Hamed, Georgi y Schwartz para la gravedad masiva. ^[32] La ausencia de discontinuidad vDVZ en este enfoque motivó el desarrollo de la resumen dRGT de la teoría de la gravedad masiva de la siguiente manera. ^[28] ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ m\ A_{\mu }\ A^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {U} (1)\ }$ ${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi ~.}$

El potencial de interacción se construye a partir de polinomios simétricos elementales de los valores propios de las matrices o se parametriza mediante constantes de acoplamiento adimensionales o respectivamente. Aquí está la raíz cuadrada de la matriz . Escrito en notación índice, está definido por la relación. Hemos introducido una métrica de referencia para construir el término de interacción. Hay una razón simple para esto: es imposible construir un término de interacción no trivial (es decir, no derivado) a partir de uno solo. Las únicas posibilidades son y ambas conducen a un término cosmológico constante en lugar de una interacción genuina . Físicamente, corresponde a la métrica de fondo en torno a la cual las fluctuaciones toman la forma de Fierz-Pauli. Esto significa que, por ejemplo, completar de forma no lineal la teoría de Fierz-Pauli alrededor del espacio de Minkowski dada anteriormente conducirá a una gravedad masiva dRGT, aunque la prueba de la ausencia del fantasma de Boulware-Deser es válida en general . ^[33] ${\displaystyle \ e_{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha _{i}\ }$ ${\displaystyle \beta _{i},}$ ${\displaystyle \ {\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle \ X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\nu \alpha }~.}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \ g_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \det g\ ,}$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

La métrica de referencia se transforma como un tensor métrico bajo difeomorfismo.

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

Por lo tanto y términos similares con potencias superiores, se transforma en un escalar bajo el mismo difeomorfismo. Para un cambio en las coordenadas , expandimos de tal manera que la métrica perturbada se convierte en: ${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$ ${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$ ${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

mientras que el vector potencial se transforma según el truco de Stueckelberg, de modo que el campo de Stueckelberg se define como ^[34] A partir del difeomorfismo, se puede definir otra matriz de Stueckelberg donde y tiene los mismos valores propios. ^[35] Ahora, se consideran las siguientes simetrías: ${\displaystyle \ \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} _{~b}^{a}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

tal que la métrica perturbada transformada se convierte en:

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

La forma covariante de estas transformaciones se obtiene de la siguiente manera. Si el modo helicidad-0 (o giro-0) es un indicador puro de los modos Goldstone no físicos, con ^[36] la matriz es una función tensor del tensor de covariantización. ${\displaystyle \ \pi \ }$ ${\displaystyle \ \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

de la perturbación métrica tal que el tensor es Stueckelbergizado por el campo ^[37] El modo Helicidad-0 se transforma bajo transformaciones galileanas, de ahí el nombre "Galileones". ^[38] La matriz es una función tensorial del tensor de covariantización de la perturbación métrica con componentes dados por: ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi ~.}$ ${\displaystyle \ \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

es la curvatura extrínseca. ^[39]

Curiosamente, el tensor de covariantización fue introducido originalmente por Maheshwari en un artículo de autoría individual, secuela del modelo de gravitación de rango finito de helicidad-Freund-Maheshwari-Schonberg. ^[26] En el trabajo de Maheshwari, la perturbación métrica obedece a la condición de Hilbert-Lorentz bajo la variación ${\displaystyle (2\oplus 0)}$ ${\displaystyle \ m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0\ }$

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

que se introduce en la gravedad masiva de Ogievetsky-Polubarinov, donde y están por determinar. ^[40] Es fácil notar la similitud entre el tensor en dRGT y el tensor en el trabajo de Maheshwari una vez elegido. Además, el modelo Ogievetsky-Polubarinov lo exige, lo que significa que en 4D, la variación es conforme. ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle \ q\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}\ }$ ${\displaystyle \ n=2\ }$ ${\displaystyle \ n=-{\frac {\ 1\ }{p}}\ ,}$ ${\displaystyle \ p=-{\frac {\ 1\ }{n}}=-{\frac {\ 1\ }{2}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }\ }$

Los campos masivos dRGT se dividen en dos grados de libertad de helicidad-2, dos de helicidad-1 y uno de helicidad-0 , al igual que los de la teoría masiva de Fierz-Pauli. Sin embargo, la covariantización, junto con el límite de desacoplamiento , garantizan que las simetrías de esta teoría masiva se reducen a la simetría de la relatividad general linealizada más la de la teoría masiva, mientras que la escalar se desacopla. Si se elige que no tenga divergencia, es decir, el límite de desacoplamiento de dRGT da la gravedad linealizada conocida. ^[41] Para ver cómo sucede eso, expanda los términos que contienen la acción en potencias de donde se expresa en términos de campos como cómo se expresa en términos de Los campos se reemplazan por: ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ A_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \pi \ }$ ${\displaystyle \ U(1)\ }$ ${\displaystyle \ v_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \Box \ \pi =0\ ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{a}\ }$ ${\displaystyle \ h'_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ A^{\mu }~.}$ ${\displaystyle \ h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

Entonces se deduce que en el límite de desacoplamiento , es decir, cuando tanto la gravedad masiva como lagrangiana es invariante bajo: ${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}={\mathsf {const.}}\ ,}$

1. ${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }\ ,}$como en la teoría general linealizada de la relatividad,
2. ${\displaystyle \ \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi \ ,}$como en la teoría electromagnética de Maxwell, y
3. ${\displaystyle \ \delta \pi =0~.}$

En principio, la métrica de referencia debe especificarse a mano y, por lo tanto, no existe una única teoría de gravedad masiva dRGT, ya que la teoría con una métrica de referencia plana es diferente de una con una métrica de referencia de De Sitter , etc. Alternativamente, se puede pensar en como una constante de la teoría, muy parecida a o En lugar de especificar una métrica de referencia desde el principio, se puede permitir que tenga su propia dinámica. Si el término cinético para es también Einstein-Hilbert, entonces la teoría permanece libre de fantasmas y nos quedamos con una teoría de bigravity masiva , ^[12] (o relatividad bimétrica , BR) que propaga los dos grados de libertad de un gravitón sin masa en además de los cinco de uno enorme. ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ m\ }$ ${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}~.}$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$

En la práctica, no es necesario calcular los valores propios de (o ) para obtener Se pueden escribir directamente en términos de como ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$ ${\displaystyle \ e_{n}~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

donde los corchetes indican un rastro , es la combinación antisimétrica particular de términos en cada uno de los que es responsable de hacer que el fantasma de Boulware-Deser no sea dinámico. ${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$ ${\displaystyle \ e_{n}\ }$

La elección de utilizar o , con la matriz identidad , es una convención, ya que en ambos casos el término de masa libre de fantasmas es una combinación lineal de los polinomios simétricos elementales de la matriz elegida. Se puede transformar de una base a otra, en cuyo caso los coeficientes satisfacen la relación ^[31] ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$ ${\displaystyle \ \mathbb {I} \ }$

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

Los coeficientes son de un polinomio característico que está en forma de determinante de Fredholm . También se pueden obtener utilizando el algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Gravedad masiva en el idioma vierbein.

En el marco de tétrada ortonormal 4D, tenemos las bases:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{~\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

donde el índice es para el componente espacial 3D de las coordenadas no ortonormales y el índice es para los componentes espaciales 3D de las ortonormales. El transporte paralelo requiere la conexión de espín. Por lo tanto, la curvatura extrínseca , que corresponde en el formalismo métrico, se convierte en ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

donde está la métrica espacial como en el formalismo ADM y la formulación del valor inicial . ${\displaystyle \gamma _{ij}}$

Si la tétrada se transforma conforme la curvatura extrínseca se transforma , de donde a partir de las ecuaciones de Friedmann , y (a pesar de que es controvertido ^[42] ), es decir, la curvatura extrínseca se transforma como . Esto se parece mucho a la matriz o al tensor . ${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$ ${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$ ${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$ ${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$

El dRGT se desarrolló inspirado en la aplicación de la técnica anterior al modelo DGP 5D después de considerar la deconstrucción de las teorías de gravedad de Kaluza-Klein ^{de dimensiones superiores, [43]} en las que las dimensiones adicionales se reemplazan por series de N sitios de red . de modo que la métrica de dimensiones superiores sea reemplazada por un conjunto de métricas interactivas que dependen solo de los componentes 4D. ^[39]

La presencia de una matriz de raíz cuadrada es algo incómoda y apunta a una formulación alternativa más simple en términos de vierbeins . Dividir las métricas en vierbeins como

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

y luego definir formas únicas

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\end{aligned}}}$

Los términos de interacción libre de fantasmas en la teoría de la bigravidad de Hassan-Rosen se pueden escribir simplemente como (hasta factores numéricos) ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

En términos de vierbeins, más que de métricas, podemos ver con bastante claridad el significado físico de los términos potenciales dRGT libres de fantasmas: son simplemente todas las diferentes combinaciones posibles de productos de cuña de los vierbeins de las dos métricas.

Tenga en cuenta que la gravedad masiva en las formulaciones métricas y vierbein solo son equivalentes si se cumple la condición de simetría

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

Está satisfecho. Si bien esto es cierto para la mayoría de las situaciones físicas, puede haber casos, como cuando la materia se acopla a ambas métricas o en teorías multimétricas con ciclos de interacción, en los que no es así. En estos casos, las formulaciones métrica y vierbein son teorías físicas distintas, aunque cada una propaga un gravitón masivo y saludable.

La novedad en la gravedad masiva dRGT es que es una teoría de invariancia de calibre bajo transformaciones locales de Lorentz, al suponer que la métrica de referencia es igual a la métrica de Minkowski , y de invariancia de difeomorfismo, a partir de la existencia del espaciotiempo curvo activo . Esto se demuestra reescribiendo el formalismo de Stueckelberg discutido anteriormente en el lenguaje vierbein de la siguiente manera. ^[45] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Se lee la versión 4D de las ecuaciones de campo de Einstein en 5D

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

¿Dónde está el vector normal al corte 4D? Utilizando la definición de curvatura extrínseca masiva, es sencillo ver que los términos que contienen curvaturas extrínsecas toman la forma funcional en la acción tetrádica. ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I},}$ ${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

Por lo tanto, hasta los coeficientes numéricos, la acción completa de dRGT en su forma tensorial es

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

donde las funciones toman formas similares a la del . Luego, hasta algunos coeficientes numéricos, la acción toma la forma integral ${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$ ${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

donde el primer término es la parte de Einstein-Hilbert de la acción tetrádica de Palatini y es el símbolo de Levi-Civita . ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$

Como el límite de desacoplamiento garantiza eso y al compararlo , es legítimo pensar en el tensor. Comparando esto con la definición de la forma 1, se pueden definir componentes covariantes del campo del marco , es decir , reemplazar el de tal manera que los últimos tres términos de interacción en la acción vierbein se vuelve ${\displaystyle \Box \pi =0}$ ${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}.}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a},}$ ${\displaystyle f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a},}$ ${\displaystyle e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

Esto se puede hacer porque se permite mover libremente las transformaciones de difeomorfismo al vierbein de referencia a través de las transformaciones de Lorentz . Más importante aún, las transformaciones de difeomorfismo ayudan a manifestar la dinámica de los modos helicidad-0 y helicidad-1, de ahí la facilidad de calibrarlos cuando se compara la teoría con su versión con las únicas transformaciones de calibre mientras los campos de Stueckelberg están desactivados. ${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{~b}^{a}}$ ${\displaystyle U(1)}$

Uno podría preguntarse por qué se eliminan los coeficientes y cómo garantizar que sean numéricos sin una dependencia explícita de los campos. De hecho, esto se permite porque la variación de la acción vierbein con respecto a los campos de Stueckelberg transformados localmente por Lorentz produce este buen resultado. ^[45] Además, podemos resolver explícitamente los campos invariantes de Stueckelberg de Lorentz y, al sustituirlos nuevamente en la acción de Vierbein, podemos mostrar una equivalencia total con la forma tensorial de la gravedad masiva dRGT. ^[46]

Cosmología

Si la masa del gravitón es comparable a la velocidad de Hubble , entonces a distancias cosmológicas el término de masa puede producir un efecto gravitacional repulsivo que conduce a una aceleración cósmica. Dado que, en términos generales, la simetría de difeomorfismo mejorada en el límite protege una pequeña masa de gravitón de grandes correcciones cuánticas, la elección es, de hecho, técnicamente natural . ^[47] Por lo tanto, la gravedad masiva puede proporcionar una solución al problema de la constante cosmológica : ¿por qué las correcciones cuánticas no hacen que el Universo se acelere en momentos extremadamente tempranos? ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m\sim H_{0}}$

Sin embargo, resulta que las soluciones cosmológicas planas y cerradas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker no existen en la gravedad masiva dRGT con una métrica de referencia plana. ^[13] Las soluciones abiertas y las soluciones con métricas de referencia generales sufren de inestabilidades. ^[48] ​​Por lo tanto, las cosmologías viables sólo se pueden encontrar en la gravedad masiva si se abandona el principio cosmológico de que el Universo es uniforme a grandes escalas, o si se generaliza dRGT. Por ejemplo, las soluciones cosmológicas se comportan mejor en bigravedad , ^[14] la teoría que amplía dRGT dando dinámica. Si bien estos también tienden a poseer inestabilidades, ^{[49] [50]} esas inestabilidades podrían encontrar una resolución en la dinámica no lineal (a través de un mecanismo similar a Vainshtein) o empujando la era de la inestabilidad al Universo muy temprano. ^[15] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

Gravedad masiva 3D

Existe un caso especial en tres dimensiones, donde un gravitón sin masa no propaga ningún grado de libertad. Aquí se pueden definir varias teorías libres de fantasmas sobre un gravitón masivo que se propaga en dos grados de libertad. En el caso de gravedad topológicamente masiva ^[1] se tiene la acción

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

con la masa de Planck tridimensional. Se trata de relatividad general tridimensional complementada con un término similar al de Chern-Simons construido a partir de los símbolos de Christoffel . ${\displaystyle M_{3}}$

Más recientemente se ha desarrollado una teoría denominada nueva gravedad masiva , ^[2] que se describe por la acción

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

Relación con las ondas gravitacionales

El descubrimiento de las ondas gravitacionales en 2016 ^[51] y las observaciones posteriores han generado limitaciones sobre la masa máxima de los gravitones, si es que son masivos. Después del evento GW170104 , se descubrió que la longitud de onda Compton del gravitón era al menos1,6 × 10 ¹⁶  m , o aproximadamente 1,6 años luz , correspondiente a una masa de gravitón de no más de7,7 × 10 ⁻²³  eV/c ² . ^[16] Esta relación entre longitud de onda y energía se calcula con la misma fórmula (la relación de Planck-Einstein ) que relaciona la longitud de onda electromagnética con la energía de los fotones . Sin embargo, los fotones , que sólo tienen energía y no tienen masa, se diferencian fundamentalmente de los gravitones masivos en este aspecto, ya que la longitud de onda Compton del gravitón no es igual a la longitud de onda gravitacional. En cambio, la longitud de onda de Compton del gravitón de límite inferior es aproximadamente9 × 10 ⁹ veces mayor que la longitud de onda gravitacional del evento GW170104, que fue de ~ 1.700 km. Esto se debe a que la longitud de onda de Compton está definida por la masa en reposo del gravitón y es una cantidad escalar invariante.

Ver también

• Expansión acelerada del universo  – Fenómeno cosmológico
• Alternativas a la relatividad general  – Teorías de la gravedad propuestas
• La teoría de Horndeski
• Gravedad bimétrica  : teorías de la gravedad propuestas
• modelo DGP
• Teoría escalar-tensor  : teoría de la física con escalares y tensores que describen una fuerza o interacción
• Gravitón dual

Otras lecturas

Revisar articulos

• de Rham, Claudia (2014), "Massive Gravity", Reseñas vivas en relatividad , 17 (1): 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode :2014LRR....17....7D, doi :10.12942/lrr-2014 -7, PMC  5256007 , PMID  28179850
• Hinterbichler, Kurt (2012), "Aspectos teóricos de la gravedad masiva", Reseñas de física moderna , 84 (2): 671–710, arXiv : 1105.3735 , Bibcode :2012RvMP...84..671H, doi :10.1103/RevModPhys. 84.671, S2CID  119279950

Referencias

1. Deser, Stanley; Jackiw, R.; Templeton, S. (1982). "Teorías de calibre topológicamente masivo". Anales de Física . 140 (2): 372–411. Código bibliográfico : 1982AnPhy.140..372D. doi :10.1016/0003-4916(82)90164-6.
2. Bergshoeff, Eric A.; Hohm, Olaf; Townsend, Paul K. (2009). "Gravedad masiva en tres dimensiones". Física. Rev. Lett . 102 (20): 201301. arXiv : 0901.1766 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.102t1301B. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.201301. PMID  19519014. S2CID  7800235.
3. Ogievetsky, VI; Polubarinov, IV (noviembre de 1965). "Campo interactivo del espín 2 y las ecuaciones de Einstein". Anales de Física . 35 (2): 167–208. Código bibliográfico : 1965AnPhy..35..167O. doi :10.1016/0003-4916(65)90077-1.
4. Mukohyama, Shinji; Volkov, Mikhail S. (22 de octubre de 2018). "La gravedad masiva de Ogievetsky-Polubarinov y el modo benigno Boulware-Deser". Revista de Cosmología y Física de Astropartículas . 2018 (10): 037. arXiv : 1808.04292 . Código Bib : 2018JCAP...10..037M. doi :10.1088/1475-7516/2018/10/037. ISSN  1475-7516. S2CID  119329289.
5. Ogievetsky, VI; Polubarinov, IV (1 de noviembre de 1965). "Campo interactivo del espín 2 y las ecuaciones de Einstein". Anales de Física . 35 (2): 167–208. Código bibliográfico : 1965AnPhy..35..167O. doi :10.1016/0003-4916(65)90077-1. ISSN  0003-4916.
6. Curtright, TL; Alshal, H. (1 de octubre de 2019). "Massive dual spin 2 revisado". Física Nuclear B. 948 : 114777. arXiv : 1907.11532 . Código Bib : 2019NuPhB.94814777C. doi : 10.1016/j.nuclphysb.2019.114777 . ISSN  0550-3213.
7. Alshal, H.; Curtright, TL (10 de septiembre de 2019). "Gravedad dual masiva en N dimensiones espacio-temporales". Revista de Física de Altas Energías . 2019 (9): 63. arXiv : 1907.11537 . Código Bib : 2019JHEP...09..063A. doi :10.1007/JHEP09(2019)063. ISSN  1029-8479. S2CID  198953238.
8. Nicolás, Alberto; Rattazzi, Ricardo; Trincherini, Enrico (31 de marzo de 2009). "Galileon como modificación local de la gravedad". Revisión física D. 79 (6): 064036. arXiv : 0811.2197 . Código bibliográfico : 2009PhRvD..79f4036N. doi : 10.1103/PhysRevD.79.064036. S2CID  18168398.
9. Deffayet, C.; Esposito-Farèse, G.; Vikman, A. (3 de abril de 2009). "Galileón covariante". Revisión física D. 79 (8): 084003. arXiv : 0901.1314 . Código Bib : 2009PhRvD..79h4003D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.084003. S2CID  118855364.
10. Curtright, Thomas L.; Fairlie, David B. (2012). "Una introducción a Galileon". arXiv : 1212.6972 [hep-th].
11. de Rham, Claudia; Keltner, Lucas; Tolley, Andrew J. (21 de julio de 2014). "Dualidad generalizada de Galileon". Revisión física D. 90 (2): 024050. arXiv : 1403.3690 . Código Bib : 2014PhRvD..90b4050D. doi : 10.1103/PhysRevD.90.024050. S2CID  118615285.
12. Hassan, SF; Rosen, Rachel A. (2012). "Gravedad bimétrica de gravedad masiva sin fantasmas". JHEP . 1202 (2): 126. arXiv : 1109.3515 . Código Bib : 2012JHEP...02..126H. doi :10.1007/JHEP02(2012)126. S2CID  118427524.
13. D'Amico, G.; de Rham, C.; Dubovsky, S.; Gabadadze, G.; Pirtskhalava, D.; Tolley, AJ (2011). "Cosmologías masivas". Física. Rdo . D84 (12): 124046. arXiv : 1108.5231 . Código bibliográfico : 2011PhRvD..84l4046D. doi : 10.1103/PhysRevD.84.124046. S2CID  118571397.
14. Akrami, Yashar; Koivisto, Tomi S.; Sandstad, Marit (2013). "Expansión acelerada a partir de una bigravedad libre de fantasmas: un análisis estadístico con generalidad mejorada". JHEP . 1303 (3): 099. arXiv : 1209.0457 . Código Bib : 2013JHEP...03..099A. doi :10.1007/JHEP03(2013)099. S2CID  54533200.
15. Akrami, Yashar; Hassan, SF; Könnig, Frank; Schmidt-May, Angnis; Salomón, Adam R. (2015). "La gravedad bimétrica es cosmológicamente viable". Letras de Física B. 748 : 37–44. arXiv : 1503.07521 . Código Bib : 2015PhLB..748...37A. doi :10.1016/j.physletb.2015.06.062. S2CID  118371127.
16. BP Abbott; et al. ( Colaboración científica LIGO y Colaboración Virgo ) (1 de junio de 2017). "GW170104: Observación de una coalescencia de un agujero negro binario de 50 masas solares con un corrimiento al rojo de 0,2". Cartas de revisión física . 118 (22): 221101. arXiv : 1706.01812 . Código Bib : 2017PhRvL.118v1101A. doi :10.1103/PhysRevLett.118.221101. PMID  28621973. S2CID  206291714.
17. L. Bernus; et al. (18 de octubre de 2019). "Restringir la masa del gravitón con las efemérides planetarias INPOP". Cartas de revisión física . 123 (16): 161103. arXiv : 1901.04307 . Código bibliográfico : 2019PhRvL.123p1103B. doi :10.1103/PhysRevLett.123.161103. PMID  31702347. S2CID  119427663.
18. Fierz, Markus; Pauli, Wolfgang (1939). "Sobre ecuaciones de ondas relativistas para partículas de espín arbitrario en un campo electromagnético". Proc. R. Soc. Londres. A . 173 (953): 211–232. Código bibliográfico : 1939RSPSA.173..211F. doi : 10.1098/rspa.1939.0140 .
19. van Dam, Hendrik; Veltman, Martinus JG (1970). "Yang-Mills masivos y sin masa y campos gravitacionales". Núcleo. Física. B . 22 (2): 397–411. Código bibliográfico : 1970NuPhB..22..397V. doi :10.1016/0550-3213(70)90416-5. hdl : 1874/4816 . S2CID  122034356.
20. Zakharov, Valentín I. (1970). "Teoría de la gravitación linealizada y la masa del gravitón". JETP Lett . 12 : 312. Código bibliográfico : 1970JETPL..12..312Z.
21. Vainshtein, AI (1972). "Al problema de la masa gravitacional que no desaparece". Física. Letón. B . 39 (3): 393–394. Código bibliográfico : 1972PhLB...39..393V. doi :10.1016/0370-2693(72)90147-5.
22. Freund, Peter VAMOS; Maheshwari, Amar; Schonberg, Edmond (agosto de 1969). "Gravitación de rango finito". La revista astrofísica . 157 : 857. Código bibliográfico : 1969ApJ...157..857F. doi : 10.1086/150118 . ISSN  0004-637X.
23. Boulware, David G.; Deser, Stanley (1972). "¿Puede la gravitación tener un alcance finito?" (PDF) . Física. Rev. D. 6 (12): 3368–3382. Código bibliográfico : 1972PhRvD...6.3368B. doi : 10.1103/PhysRevD.6.3368. S2CID  124214140.
24. Creminelli, Paolo; Nicolás, Alberto; Papucci, Michele; Trincherini, Enrico (2005). "Fantasmas en gravedad masiva". JHEP . 0509 (9): 003. arXiv : hep-th/0505147 . Código Bib : 2005JHEP...09..003C. doi :10.1088/1126-6708/2005/09/003. S2CID  5702596.
25. Babak, SV; Grishchuk, LP (diciembre de 2003). "GRAVEDAD DE RANGO FINITO Y SU PAPEL EN ONDAS GRAVITACIONALES, AGUJEROS NEGROS Y COSMOLOGÍA". Revista Internacional de Física Moderna D. 12 (10): 1905-1959. arXiv : gr-qc/0209006 . doi :10.1142/S0218271803004250. ISSN  0218-2718.
26. Maheshwari, A. (marzo de 1972). "Teorías del campo Spin-2 y la identidad del campo tensorial". Il Nuovo Cimento A. 8 (2): 319–330. Código Bib : 1972NCimA...8..319M. doi :10.1007/BF02732654. ISSN  0369-3546. S2CID  123767732.
27. de Rham, Claudia; Gabadadze, Gregory (2010). "Generalización de la Acción Fierz-Pauli". Revisión física D. 82 (4): 044020. arXiv : 1007.0443 . Código Bib : 2010PhRvD..82d4020D. doi : 10.1103/PhysRevD.82.044020. S2CID  119289878.
28. de Rham, Claudia; Gabadadze, Gregory; Tolley, Andrew J. (2011). "Reanudación de la gravedad masiva". Cartas de revisión física . 106 (23): 231101. arXiv : 1011.1232 . Código bibliográfico : 2011PhRvL.106w1101D. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.231101. PMID  21770493. S2CID  3564069.
29. Hassan, SF; Rosen, Rachel A. (2012). "Resolviendo el problema de los fantasmas en gravedad masiva no lineal". Cartas de revisión física . 108 (4): 041101. arXiv : 1106.3344 . Código bibliográfico : 2012PhRvL.108d1101H. doi :10.1103/PhysRevLett.108.041101. PMID  22400821. S2CID  17185069.
30. Hassan, SF; Rosen, Rachel A. (2012). "Confirmación de la restricción secundaria y ausencia de fantasma en gravedad masiva y gravedad bimétrica". Revista de Física de Altas Energías . 1204 (4): 123. arXiv : 1111.2070 . Código Bib : 2012JHEP...04..123H. doi :10.1007/JHEP04(2012)123. S2CID  54517385.
31. Hassan, SF; Rosen, Rachel A. (2011). "Sobre acciones no lineales para gravedad masiva". Revista de Física de Altas Energías . 1107 (7): 009. arXiv : 1103.6055 . Código Bib : 2011JHEP...07..009H. doi :10.1007/JHEP07(2011)009. S2CID  119240485.
32. Arkani-Hamed, Nima; Georgi, Howard; Schwartz, Matthew D. (junio de 2003). "Teoría del campo efectivo para gravitones masivos y gravedad en el espacio teórico". Anales de Física . 305 (2): 96-118. arXiv : hep-th/0210184 . Código Bib : 2003AnPhy.305...96A. doi :10.1016/S0003-4916(03)00068-X. S2CID  1367086.
33. Hassan, SF; Rosen, Raquel A.; Schmidt-May, Angnis (2012). "Gravedad masiva libre de fantasmas con una métrica de referencia general". Revista de Física de Altas Energías . 1202 (2): 026. arXiv : 1109.3230 . Código Bib : 2012JHEP...02..026H. doi :10.1007/JHEP02(2012)026. S2CID  119254994.
34. de Rham, Claudia; Gabadadze, Gregory; Tolley, Andrew J. (mayo de 2012). "Gravedad masiva libre de fantasmas en el idioma de Stückelberg". Letras de Física B. 711 (2): 190-195. arXiv : 1107.3820 . Código Bib : 2012PhLB..711..190D. doi :10.1016/j.physletb.2012.03.081. S2CID  119088565.
35. Alberte, Lasma; Khmelnitsky, Andrei (septiembre de 2013). "Gravedad masiva reducida con dos campos de Stückelberg". Revisión física D. 88 (6): 064053. arXiv : 1303.4958 . Código bibliográfico : 2013PhRvD..88f4053A. doi : 10.1103/PhysRevD.88.064053. ISSN  1550-7998. S2CID  118668426.
36. Hassan, SF; Rosen, Rachel A. (julio de 2011). "Sobre acciones no lineales para gravedad masiva". Revista de Física de Altas Energías . 2011 (7): 9. arXiv : 1103.6055 . Código Bib : 2011JHEP...07..009H. doi :10.1007/JHEP07(2011)009. ISSN  1029-8479. S2CID  119240485.
37. de Rham, Claudia; Gabadadze, Gregory; Tolley, Andrew J. (10 de junio de 2011). "Reanudación de la gravedad masiva". Cartas de revisión física . 106 (23): 231101. arXiv : 1011.1232 . Código bibliográfico : 2011PhRvL.106w1101D. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.231101 . ISSN  0031-9007. PMID  21770493.
38. de Rham, Claudia; Tolley, Andrew J. (14 de mayo de 2010). "DBI y Galileon reunidos". Revista de Cosmología y Física de Astropartículas . 2010 (5): 015. arXiv : 1003.5917 . Código Bib : 2010JCAP...05..015D. doi :10.1088/1475-7516/2010/05/015. ISSN  1475-7516. S2CID  118627727.
39. de Rham, Claudia (diciembre de 2014). "Gravedad masiva". Reseñas vivas en relatividad . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Código Bib : 2014LRR....17....7D. doi :10.12942/lrr-2014-7. ISSN  2367-3613. PMC 5256007 . PMID  28179850. 
40. Ogievetsky, VI; Polubarinov, IV (1 de noviembre de 1965). "Campo interactivo del espín 2 y las ecuaciones de Einstein". Anales de Física . 35 (2): 167–208. Código bibliográfico : 1965AnPhy..35..167O. doi :10.1016/0003-4916(65)90077-1. ISSN  0003-4916.
41. Koyama, Kazuya; Niz, Gustavo; Tasinato, Gianmassimo (diciembre de 2011). "El universo autoacelerado con vectores en gravedad masiva". Revista de Física de Altas Energías . 2011 (12): 65. arXiv : 1110.2618 . Código Bib : 2011JHEP...12..065K. doi :10.1007/JHEP12(2011)065. ISSN  1029-8479. S2CID  118329368.
42. Pitts, J. Brian (agosto de 2019). "Constante cosmológica frente a gravitones masivos: un estudio de caso sobre el excepcionalismo de la relatividad general frente al igualitarismo de la física de partículas". arXiv : 1906.02115 [física.hist-ph]. ${\displaystyle \Lambda }$
43. Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G.; Georgi, Howard (mayo de 2001). "(Des)Construcción de dimensiones". Cartas de revisión física . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th/0104005 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.4757A. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
44. Hinterbichler, Kurt; Rosen, Rachel A. (2012). "Campos interactivos de Spin-2". JHEP . 1207 (7): 047. arXiv : 1203.5783 . Código Bib : 2012JHEP...07..047H. doi :10.1007/JHEP07(2012)047. S2CID  119255545.
45. Ondo, Nicolás A.; Tolley, Andrew J. (noviembre de 2013). "Límite de desacoplamiento completo de gravedad masiva libre de fantasmas". Revista de Física de Altas Energías . 2013 (11): 59. arXiv : 1307.4769 . Código Bib : 2013JHEP...11..059O. doi :10.1007/JHEP11(2013)059. ISSN  1029-8479. S2CID  119101943.
46. Groot Nibbelink, S.; Peloso, M.; Sexton, M. (agosto de 2007). "Propiedades no lineales de la gravedad masiva vielbein". La revista física europea C. 51 (3): 741–752. arXiv : hep-th/0610169 . Código Bib : 2007EPJC...51..741G. doi :10.1140/epjc/s10052-007-0311-x. ISSN  1434-6044. S2CID  14575306.
47. de Rham, Claudia; Heisenberg, Lavinia; Ribeiro, Raquel H. (2013). "Correcciones cuánticas en gravedad masiva". Física. Rev. D. 88 (8): 084058. arXiv : 1307.7169 . Código Bib : 2013PhRvD..88h4058D. doi : 10.1103/PhysRevD.88.084058. S2CID  118328264.
48. de Felice, Antonio; Gümrükçüoğlu, A. Emir; Lin, Chunshan; Mukohyama, Shinji (2013). "Sobre la cosmología de la gravedad masiva". Clase. Gravedad cuántica . 30 (18): 184004. arXiv : 1304.0484 . Código Bib : 2013CQGra..30r4004D. doi :10.1088/0264-9381/30/18/184004. S2CID  118669165.
49. Comelli, Denis; Crisóstomi, Marco; Pilo, Luigi (2012). "Perturbaciones en la cosmología de gravedad masiva". JHEP . 1206 (6): 085. arXiv : 1202.1986 . Código Bib : 2012JHEP...06..085C. doi :10.1007/JHEP06(2012)085. S2CID  119205963.
50. Konnig, Frank; Akrami, Yashar; Amendola, Luca; Motta, Mariele; Salomón, Adam R. (2014). "Modelos cosmológicos estables e inestables en gravedad masiva bimétrica". Física. Rev. D. 90 (12): 124014. arXiv : 1407.4331 . Código Bib : 2014PhRvD..90l4014K. doi : 10.1103/PhysRevD.90.124014. S2CID  86860987.
51. BP Abbott; et al. (Colaboración científica LIGO y Colaboración Virgo) (2016). "Observación de ondas gravitacionales de una fusión de agujeros negros binarios". Física. Rev. Lett . 116 (6): 061102. arXiv : 1602.03837 . Código bibliográfico : 2016PhRvL.116f1102A. doi : 10.1103/PhysRevLett.116.061102. PMID  26918975. S2CID  124959784.