Ley de Planck

Densidad espectral de la luz emitida por un cuerpo negro

La ley de Planck describe con precisión la radiación del cuerpo negro. Aquí se muestra una familia de curvas para diferentes temperaturas. La curva clásica (negra) diverge de la intensidad observada en frecuencias altas (longitudes de onda cortas). Fórmula en unidades cgs

En física , la ley de Planck (también ley de radiación de Planck ^{[1] : 1305} ) describe la densidad espectral de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura dada T , cuando no hay flujo neto de materia o energía entre el cuerpo y su entorno. ^[2]

A finales del siglo XIX, los físicos no pudieron explicar por qué el espectro observado de la radiación del cuerpo negro , que para entonces había sido medido con precisión, divergía significativamente a frecuencias más altas de lo predicho por las teorías existentes. En 1900, el físico alemán Max Planck derivó heurísticamente una fórmula para el espectro observado al suponer que un oscilador hipotético cargado eléctricamente en una cavidad que contenía radiación de cuerpo negro solo podía cambiar su energía en un incremento mínimo, E , que era proporcional a la frecuencia de su onda electromagnética asociada . Si bien Planck originalmente consideró la hipótesis de dividir la energía en incrementos como un artificio matemático, introducido simplemente para obtener la respuesta correcta, otros físicos, incluido Albert Einstein, se basaron en su trabajo, y ahora se reconoce que la idea de Planck es de importancia fundamental para la teoría cuántica .

La ley

Cada cuerpo físico emite espontáneamente y continuamente radiación electromagnética y la radiancia espectral de un cuerpo, B _ν , describe la potencia emisiva espectral por unidad de área, por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia para frecuencias de radiación particulares. La relación dada por la ley de radiación de Planck, dada a continuación, muestra que al aumentar la temperatura, la energía radiada total de un cuerpo aumenta y el pico del espectro emitido se desplaza a longitudes de onda más cortas. ^[3] Según la ley de distribución de Planck, la densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) a una temperatura dada está dada por (unidades del SI): ^{[4] [5]} alternativamente, la ley se puede expresar para la radiancia espectral de un cuerpo para la frecuencia ν a la temperatura absoluta T (en las unidades cgs ) dadas como: ^{[6] [7] [8]} donde k _B es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz en el medio, ya sea material o vacío. Las unidades cgs de la radiancia espectral B _ν son erg · s ⁻¹ · sr ⁻¹ · cm ⁻² · Hz ⁻¹ . Los términos B y u están relacionados entre sí por un factor de ⁠ $${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ 4π/do⁠ ya que B es independiente de la dirección y la radiación viaja a una velocidad c . La radiancia espectral también se puede expresar por unidad de longitud de onda λ en lugar de por unidad de frecuencia. Además, la ley se puede expresar en otros términos, como el número de fotones emitidos a una determinada longitud de onda o la densidad de energía en un volumen de radiación.

En el límite de frecuencias bajas (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck tiende a la ley de Rayleigh-Jeans , mientras que en el límite de frecuencias altas (es decir, longitudes de onda pequeñas) tiende a la aproximación de Wien .

Max Planck desarrolló la ley en 1900 con solo constantes determinadas empíricamente, y más tarde demostró que, expresada como una distribución de energía, es la única distribución estable para la radiación en equilibrio termodinámico . ^[2] Como distribución de energía, es una de una familia de distribuciones de equilibrio térmico que incluyen la distribución de Bose-Einstein , la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Radiación de cuerpo negro

El Sol se asemeja a un radiador de cuerpo negro. Su temperatura efectiva es de aproximadamente5777 K .

Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe y emite todas las frecuencias de radiación. Cerca del equilibrio termodinámico , la radiación emitida se describe de forma precisa mediante la ley de Planck y, debido a su dependencia de la temperatura , se dice que la radiación de Planck es radiación térmica, de modo que cuanto mayor es la temperatura de un cuerpo, más radiación emite en cada longitud de onda.

La radiación de Planck tiene una intensidad máxima en una longitud de onda que depende de la temperatura del cuerpo. Por ejemplo, a temperatura ambiente (~300  K ), un cuerpo emite radiación térmica que es principalmente infrarroja e invisible. A temperaturas más altas, la cantidad de radiación infrarroja aumenta y se puede sentir como calor, y se emite más radiación visible, por lo que el cuerpo brilla visiblemente rojo. A temperaturas más altas, el cuerpo es de color amarillo brillante o blanco azulado y emite cantidades significativas de radiación de longitud de onda corta, incluidos los rayos ultravioleta e incluso los rayos X. La superficie del Sol (~6000 K ) emite grandes cantidades de radiación infrarroja y ultravioleta; su emisión alcanza su punto máximo en el espectro visible. Este cambio debido a la temperatura se denomina ley de desplazamiento de Wien .

La radiación de Planck es la mayor cantidad de radiación que cualquier cuerpo en equilibrio térmico puede emitir desde su superficie, cualquiera que sea su composición química o estructura superficial. ^[9] El paso de radiación a través de una interfaz entre medios se puede caracterizar por la emisividad de la interfaz (la relación entre la radiancia real y la radiancia de Planck teórica), generalmente denotada por el símbolo ε . En general, depende de la composición química y la estructura física, de la temperatura, de la longitud de onda, del ángulo de paso y de la polarización . ^[10] La emisividad de una interfaz natural siempre está entre ε = 0 y 1.

Un cuerpo que interactúa con otro medio que tiene ε = 1 y absorbe toda la radiación que incide sobre él se denomina cuerpo negro. La superficie de un cuerpo negro se puede modelar mediante un pequeño orificio en la pared de un gran recinto que se mantiene a una temperatura uniforme con paredes opacas que, en todas las longitudes de onda, no son perfectamente reflectantes. En equilibrio, la radiación dentro de este recinto se describe mediante la ley de Planck, al igual que la radiación que sale del pequeño orificio.

Así como la distribución de Maxwell-Boltzmann es la única distribución de energía de máxima entropía para un gas de partículas materiales en equilibrio térmico, también lo es la distribución de Planck para un gas de fotones . ^{[11] [12]} A diferencia de un gas material donde las masas y el número de partículas juegan un papel, la radiancia espectral, la presión y la densidad de energía de un gas de fotones en equilibrio térmico están completamente determinadas por la temperatura.

Si el gas de fotones no es planckiano, la segunda ley de la termodinámica garantiza que las interacciones (entre fotones y otras partículas o incluso, a temperaturas suficientemente altas, entre los propios fotones) harán que la distribución de energía de los fotones cambie y se aproxime a la distribución de Planck. En este enfoque del equilibrio termodinámico, los fotones se crean o aniquilan en la cantidad adecuada y con las energías adecuadas para llenar la cavidad con una distribución de Planck hasta que alcanzan la temperatura de equilibrio. Es como si el gas fuera una mezcla de subgases, uno para cada banda de longitudes de onda, y cada subgas finalmente alcanza la temperatura común.

La cantidad B _ν ( ν , T ) es la radiancia espectral en función de la temperatura y la frecuencia. Tiene unidades de W · m ⁻² · sr ⁻¹ · Hz ⁻¹ en el sistema SI . Una cantidad infinitesimal de potencia B _ν ( ν , T ) cos θ dA d Ω dν se irradia en la dirección descrita por el ángulo θ desde la normal a la superficie desde el área de superficie infinitesimal dA hacia un ángulo sólido infinitesimal d Ω en una banda de frecuencia infinitesimal de ancho dν centrada en la frecuencia ν . La potencia total irradiada hacia cualquier ángulo sólido es la integral de B _ν ( ν , T ) sobre esas tres cantidades, y está dada por la ley de Stefan-Boltzmann . La radiancia espectral de la radiación planckiana de un cuerpo negro tiene el mismo valor para cada dirección y ángulo de polarización, y por lo tanto se dice que el cuerpo negro es un radiador lambertiano .

Diferentes formas

La ley de Planck se puede encontrar en varias formas, dependiendo de las convenciones y preferencias de los diferentes campos científicos. Las diversas formas de la ley de radiancia espectral se resumen en la siguiente tabla. Las formas de la izquierda se encuentran con mayor frecuencia en campos experimentales , mientras que las de la derecha se encuentran con mayor frecuencia en campos teóricos .

En la formulación del ancho de banda fraccionario, , y la integración es con respecto a . ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$

La ley de Planck también se puede escribir en términos de la densidad de energía espectral ( u ) multiplicando B por ⁠4π/do⁠ : ^[17] $${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$$

Estas distribuciones representan la radiancia espectral de los cuerpos negros: la potencia emitida desde la superficie emisora, por unidad de área proyectada de la superficie emisora, por unidad de ángulo sólido , por unidad espectral (frecuencia, longitud de onda, número de onda o sus equivalentes angulares, o frecuencia fraccionaria o longitud de onda). Dado que la radiancia es isotrópica (es decir, independiente de la dirección), la potencia emitida en un ángulo con respecto a la normal es proporcional al área proyectada y, por lo tanto, al coseno de ese ángulo según la ley del coseno de Lambert , y no está polarizada .

Correspondencia entre formas de variables espectrales

Las distintas variables espectrales requieren distintas formas correspondientes de expresión de la ley. En general, no es posible realizar conversiones entre las distintas formas de la ley de Planck simplemente sustituyendo una variable por otra, porque esto no tendría en cuenta que las distintas formas tienen unidades diferentes. Las unidades de longitud de onda y frecuencia son recíprocas.

Las formas de expresión correspondientes están relacionadas porque expresan un mismo hecho físico: para un incremento espectral físico particular, se irradia un incremento de energía física particular correspondiente.

Esto es así tanto si se expresa en términos de un incremento de frecuencia, d ν , o, correspondientemente, de longitud de onda, d λ , o de ancho de banda fraccionario, d ν / ν o d λ / λ . La introducción de un signo menos puede indicar que un incremento de frecuencia corresponde a una disminución de la longitud de onda.

Para convertir las formas correspondientes de modo que expresen la misma cantidad en las mismas unidades, multiplicamos por el incremento espectral. Luego, para un incremento espectral particular, se puede escribir el incremento particular de energía física, lo que da como resultado $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$

Además, ν ( λ ) = ⁠do/la⁠ , de modo que ⁠dν/dλ⁠ = − ⁠do/lambda ²⁠ . La sustitución da la correspondencia entre las formas de frecuencia y longitud de onda, con sus diferentes dimensiones y unidades. ^{[15] [18]} En consecuencia, $${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

Evidentemente, la posición del pico de la distribución espectral de la ley de Planck depende de la elección de la variable espectral. No obstante, en cierto modo, esta fórmula significa que la forma de la distribución espectral es independiente de la temperatura, según la ley de desplazamiento de Wien, como se detalla más adelante en § Propiedades §§ Percentiles .

La forma de ancho de banda fraccionario está relacionada con las otras formas por ^[16]

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

Primera y segunda constantes de radiación

En las variantes anteriores de la ley de Planck, las variantes de longitud de onda y número de onda utilizan los términos 2 hc ² y ⁠alta comarca/k _B⁠ que comprenden solo constantes físicas. En consecuencia, estos términos pueden considerarse como constantes físicas en sí mismos, ^[19] y, por lo tanto, se denominan la primera constante de radiación c _{1 L} y la segunda constante de radiación c ₂ con

c1L = 2hc2_​​^​

y

c ₂ = ⁠alta comarca/k _B⁠ .

Utilizando las constantes de radiación, la variante de longitud de onda de la ley de Planck se puede simplificar y la variante de número de onda se puede simplificar correspondientemente. $${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

Aquí se utiliza L en lugar de B porque es el símbolo SI para radiancia espectral . La L en c _{1 L} se refiere a eso. Esta referencia es necesaria porque la ley de Planck se puede reformular para dar la excitancia radiante espectral M ( λ , T ) en lugar de la radiancia espectral L ( λ , T ) , en cuyo caso c ₁ reemplaza a c _{1 L} , con

c ₁ = 2π hc ² ,

de modo que la ley de Planck para la excitación radiante espectral se puede escribir como $${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

A medida que las técnicas de medición han mejorado, la Conferencia General de Pesas y Medidas ha revisado su estimación de c ₂ ; véase Lugar planckiano § Escala internacional de temperatura para más detalles.

Física

Congelación de osciladores de alta energía

La ley de Planck describe la distribución espectral única y característica de la radiación electromagnética en equilibrio termodinámico, cuando no hay flujo neto de materia o energía. ^[2] Su física se entiende más fácilmente considerando la radiación en una cavidad con paredes opacas rígidas. El movimiento de las paredes puede afectar la radiación. Si las paredes no son opacas, entonces el equilibrio termodinámico no está aislado. Es interesante explicar cómo se alcanza el equilibrio termodinámico. Hay dos casos principales: (a) cuando la aproximación al equilibrio termodinámico es en presencia de materia, cuando las paredes de la cavidad son imperfectamente reflectantes para cada longitud de onda o cuando las paredes son perfectamente reflectantes mientras que la cavidad contiene un pequeño cuerpo negro (este fue el caso principal considerado por Planck); o (b) cuando la aproximación al equilibrio es en ausencia de materia, cuando las paredes son perfectamente reflectantes para todas las longitudes de onda y la cavidad no contiene materia. Para la materia no encerrada en tal cavidad, la radiación térmica se puede explicar aproximadamente mediante el uso apropiado de la ley de Planck.

La física clásica condujo, a través del teorema de equipartición , a la catástrofe ultravioleta , una predicción de que la intensidad total de la radiación del cuerpo negro era infinita. Si se complementa con la suposición clásicamente injustificable de que por alguna razón la radiación es finita, la termodinámica clásica proporciona una explicación de algunos aspectos de la distribución de Planck, como la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de desplazamiento de Wien . Para el caso de la presencia de materia, la mecánica cuántica proporciona una buena explicación, como se encuentra a continuación en la sección titulada Coeficientes de Einstein. Este fue el caso considerado por Einstein, y hoy en día se utiliza para la óptica cuántica. ^{[20] [21]} Para el caso de la ausencia de materia, la teoría cuántica de campos es necesaria, porque la mecánica cuántica no relativista con números fijos de partículas no proporciona una explicación suficiente.

Fotones

La explicación teórica cuántica de la ley de Planck considera la radiación como un gas de partículas bosónicas sin masa ni carga, es decir, fotones, en equilibrio termodinámico . Los fotones se consideran portadores de la interacción electromagnética entre partículas elementales cargadas eléctricamente. El número de fotones no se conserva. Los fotones se crean o aniquilan en la cantidad adecuada y con las energías adecuadas para llenar la cavidad con la distribución de Planck. Para un gas de fotones en equilibrio termodinámico, la densidad de energía interna está completamente determinada por la temperatura; además, la presión está completamente determinada por la densidad de energía interna. Esto es diferente al caso del equilibrio termodinámico para gases materiales, para los cuales la energía interna está determinada no solo por la temperatura, sino también, independientemente, por el número respectivo de las diferentes moléculas, y nuevamente independientemente, por las características específicas de las diferentes moléculas. Para diferentes gases materiales a una temperatura dada, la presión y la densidad de energía interna pueden variar independientemente, porque diferentes moléculas pueden transportar independientemente diferentes energías de excitación.

La ley de Planck surge como un límite de la distribución de Bose-Einstein , la distribución de energía que describe a los bosones no interactivos en equilibrio termodinámico. En el caso de bosones sin masa como los fotones y los gluones , el potencial químico es cero y la distribución de Bose-Einstein se reduce a la distribución de Planck. Existe otra distribución de energía de equilibrio fundamental: la distribución de Fermi-Dirac , que describe a los fermiones , como los electrones, en equilibrio térmico. Las dos distribuciones difieren porque varios bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico, mientras que varios fermiones no pueden. A bajas densidades, el número de estados cuánticos disponibles por partícula es grande, y esta diferencia se vuelve irrelevante. En el límite de baja densidad, la distribución de Bose-Einstein y la de Fermi-Dirac se reducen cada una a la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Ley de radiación térmica de Kirchhoff

La ley de Kirchhoff sobre la radiación térmica es una explicación sucinta y breve de una situación física complicada. Lo que sigue es un esbozo introductorio de esa situación, y está muy lejos de ser un argumento físico riguroso. El objetivo aquí es únicamente resumir los principales factores físicos de la situación y las conclusiones principales.

Dependencia espectral de la radiación térmica

Existe una diferencia entre la transferencia de calor conductiva y la transferencia de calor radiactiva . La transferencia de calor radiactiva se puede filtrar para que pase solo una banda definida de frecuencias radiactivas.

Es de conocimiento general que cuanto más caliente se vuelve un cuerpo, más calor irradia en cada frecuencia.

En una cavidad de un cuerpo opaco con paredes rígidas que no son perfectamente reflectantes a ninguna frecuencia, en equilibrio termodinámico, sólo hay una temperatura, y ésta debe ser compartida en común por la radiación de todas las frecuencias.

Se pueden imaginar dos cavidades de este tipo, cada una en su propio equilibrio radiativo y termodinámico aislado. Se puede imaginar un dispositivo óptico que permita la transferencia de calor radiativo entre las dos cavidades, filtrado para pasar sólo una banda definida de frecuencias radiativas. Si los valores de las radiancias espectrales de las radiaciones en las cavidades difieren en esa banda de frecuencia, se puede esperar que el calor pase de la más caliente a la más fría. Se podría proponer utilizar esa transferencia de calor filtrada en esa banda para hacer funcionar un motor térmico. Si los dos cuerpos están a la misma temperatura, la segunda ley de la termodinámica no permite que el motor térmico funcione. Se puede inferir que para una temperatura común a los dos cuerpos, los valores de las radiancias espectrales en la banda de paso también deben ser comunes. Esto debe cumplirse para cada banda de frecuencia. ^{[22] [23] [24]} Esto le quedó claro a Balfour Stewart y más tarde a Kirchhoff. Balfour Stewart descubrió experimentalmente que, de todas las superficies, una de color negro de humo emitía la mayor cantidad de radiación térmica para cada calidad de radiación, a juzgar por varios filtros.

Pensando teóricamente, Kirchhoff fue un poco más allá y señaló que esto implicaba que la radiancia espectral, como función de la frecuencia radiativa, de cualquier cavidad de este tipo en equilibrio termodinámico debe ser una función única y universal de la temperatura. Postuló un cuerpo negro ideal que interactúa con su entorno de tal manera que absorbe toda la radiación que cae sobre él. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación del interior de un cuerpo de este tipo pasaría sin impedimentos, directamente a su entorno sin reflexión en la interfaz. En equilibrio termodinámico, la radiación térmica emitida por un cuerpo de este tipo tendría esa radiancia espectral universal única en función de la temperatura. Esta idea es la raíz de la ley de la radiación térmica de Kirchhoff.

Relación entre absortividad y emisividad

Se puede imaginar un pequeño cuerpo material esférico homogéneo etiquetado X a una temperatura T _X , que se encuentra en un campo de radiación dentro de una gran cavidad con paredes de material etiquetado Y a una temperatura T _Y . El cuerpo X emite su propia radiación térmica. A una frecuencia particular ν , la radiación emitida desde una sección transversal particular a través del centro de X en un sentido en una dirección normal a esa sección transversal puede denotarse I _{ν , X} ( T _X ) , característicamente para el material de X . A esa frecuencia ν , la potencia radiativa de las paredes en esa sección transversal en el sentido opuesto en esa dirección puede denotarse I _{ν , Y} ( T _Y ) , para la temperatura de la pared T _Y . Para el material de X , definiendo la absortividad α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) como la fracción de esa radiación incidente absorbida por X , esa energía incidente es absorbida a una tasa α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) I _{ν , Y} ( T _Y ) .

La tasa q ( ν , T _X , T _Y ) de acumulación de energía en un sentido en la sección transversal del cuerpo puede entonces expresarse $${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$$

La idea fundamental de Kirchhoff, mencionada justo arriba, fue que, en equilibrio termodinámico a temperatura T , existe una distribución radiativa universal única, hoy denominada B _ν ( T ) , que es independiente de las características químicas de los materiales X e Y , lo que conduce a una comprensión muy valiosa del equilibrio de intercambio radiativo de cualquier cuerpo, como sigue.

Cuando hay equilibrio termodinámico a temperatura T , la radiación de la cavidad desde las paredes tiene ese valor universal único, de modo que I _{ν , Y} ( T _Y ) = B _ν ( T ) . Además, se puede definir la emisividad ε _{ν , X} ( T _X ) del material del cuerpo X de modo que en equilibrio termodinámico a temperatura T _X = T , se tiene I _{ν , X} ( T _X ) = I _{ν , X} ( T ) = ε _{ν , X} ( T ) B _ν ( T ) .

Cuando prevalece el equilibrio térmico a temperatura T = T _X = T _Y , la tasa de acumulación de energía se desvanece, de modo que q ( ν , T _X , T _Y ) = 0 . De ello se deduce que en el equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y , $${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$$

Kirchhoff señaló que se deduce que en el equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y , $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$$

Introduciendo la notación especial α _{ν , X} ( T ) para la absortividad del material X en equilibrio termodinámico a temperatura T (justificado por un descubrimiento de Einstein, como se indica a continuación), se tiene además la igualdad en equilibrio termodinámico. $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$$

La igualdad de absortividad y emisividad que se demuestra aquí es específica del equilibrio termodinámico a temperatura T y, en general, no se espera que se mantenga cuando no se dan las condiciones de equilibrio termodinámico. La emisividad y la absortividad son propiedades independientes de las moléculas del material, pero dependen de manera diferente de las distribuciones de estados de excitación molecular en cada ocasión, debido a un fenómeno conocido como "emisión estimulada", que fue descubierto por Einstein. En ocasiones en que el material está en equilibrio termodinámico o en un estado conocido como equilibrio termodinámico local, la emisividad y la absortividad se vuelven iguales. Una radiación incidente muy fuerte u otros factores pueden alterar el equilibrio termodinámico o el equilibrio termodinámico local. El equilibrio termodinámico local en un gas significa que las colisiones moleculares superan con creces la emisión y absorción de luz a la hora de determinar las distribuciones de estados de excitación molecular.

Kirchhoff señaló que no conocía el carácter preciso de B _ν ( T ) , pero creía que era importante averiguarlo. Cuatro décadas después de que Kirchhoff descubriera los principios generales de su existencia y carácter, la contribución de Planck fue determinar la expresión matemática precisa de esa distribución de equilibrio B _ν ( T ) .

Cuerpo negro

En física, se considera un cuerpo negro ideal, aquí denominado B , definido como aquel que absorbe completamente toda la radiación electromagnética que incide sobre él en cada frecuencia ν (de ahí el término "negro"). Según la ley de radiación térmica de Kirchhoff, esto implica que, para cada frecuencia ν , en equilibrio termodinámico a temperatura T , se tiene α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , de modo que la radiación térmica de un cuerpo negro siempre es igual a la cantidad total especificada por la ley de Planck. Ningún cuerpo físico puede emitir radiación térmica que exceda la de un cuerpo negro, ya que si estuviera en equilibrio con un campo de radiación, estaría emitiendo más energía de la que incidía sobre él.

Aunque no existen materiales perfectamente negros, en la práctica se puede aproximar con precisión una superficie negra. ^[2] En cuanto a su interior material, un cuerpo de materia condensada, líquido, sólido o plasma, con una interfaz definida con su entorno, es completamente negro a la radiación si es completamente opaco. Esto significa que absorbe toda la radiación que penetra en la interfaz del cuerpo con su entorno y entra en el cuerpo. Esto no es demasiado difícil de lograr en la práctica. Por otro lado, una interfaz perfectamente negra no se encuentra en la naturaleza. Una interfaz perfectamente negra no refleja radiación, pero transmite todo lo que cae sobre ella, desde ambos lados. La mejor manera práctica de hacer una interfaz efectivamente negra es simular una "interfaz" mediante un pequeño orificio en la pared de una gran cavidad en un cuerpo rígido completamente opaco de material que no refleja perfectamente a ninguna frecuencia, con sus paredes a una temperatura controlada. Más allá de estos requisitos, el material componente de las paredes no tiene restricciones. La radiación que entra en el orificio casi no tiene posibilidad de escapar de la cavidad sin ser absorbida por múltiples impactos con sus paredes. ^[25]

Ley del coseno de Lambert

Como explicó Planck, ^[26] un cuerpo radiante tiene un interior constituido por materia y una interfaz con su medio material vecino contiguo, que suele ser el medio desde el que se observa la radiación procedente de la superficie del cuerpo. La interfaz no está compuesta de materia física, sino que es una concepción teórica, una superficie matemática bidimensional, una propiedad conjunta de los dos medios contiguos, que en sentido estricto no pertenece a ninguno de ellos por separado. Una interfaz de este tipo no puede absorber ni emitir, porque no está compuesta de materia física; pero es el lugar de reflexión y transmisión de la radiación, porque es una superficie de discontinuidad de propiedades ópticas. La reflexión y transmisión de la radiación en la interfaz obedecen al principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz .

En cualquier punto del interior de un cuerpo negro situado en el interior de una cavidad en equilibrio termodinámico a temperatura T la radiación es homogénea, isótropa y no polarizada. Un cuerpo negro absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él y no refleja ninguna. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación procedente del interior de un cuerpo negro no se refleja en su superficie, sino que se transmite íntegramente a su exterior. Debido a la isotropía de la radiación en el interior del cuerpo, la radiancia espectral de la radiación transmitida desde su interior hacia su exterior a través de su superficie es independiente de la dirección. ^[27]

Esto se expresa diciendo que la radiación de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico obedece la ley del coseno de Lambert. ^{[28] [29]} Esto significa que el flujo espectral d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) desde un elemento infinitesimal dado de área dA de la superficie emisora ​​real del cuerpo negro, detectado desde una dirección dada que forma un ángulo θ con la normal a la superficie emisora ​​real en dA , en un elemento de ángulo sólido de detección d Ω centrado en la dirección indicada por θ , en un elemento de ancho de banda de frecuencia dν , se puede representar como ^[30] donde L ⁰ ( dA , dν ) denota el flujo, por unidad de área por unidad de frecuencia por unidad de ángulo sólido, que el área dA mostraría si se midiera en su dirección normal θ = 0 . $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$

El factor cos θ está presente porque el área a la que se refiere directamente la radiancia espectral es la proyección, de la superficie de emisión real, sobre un plano perpendicular a la dirección indicada por θ . Esta es la razón del nombre de ley del coseno .

Teniendo en cuenta la independencia de la dirección de la radiancia espectral de la radiación de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico, se tiene L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Así, la ley del coseno de Lambert expresa la independencia de la dirección de la radiancia espectral B _ν ( T ) de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico.

Ley de Stefan-Boltzmann

La potencia total emitida por unidad de área en la superficie de un cuerpo negro ( P ) se puede encontrar integrando el flujo espectral del cuerpo negro encontrado a partir de la ley de Lambert sobre todas las frecuencias y sobre los ángulos sólidos correspondientes a un hemisferio ( h ) por encima de la superficie. $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

El ángulo sólido infinitesimal se puede expresar en coordenadas polares esféricas : De modo que: donde se conoce como la constante de Stefan-Boltzmann . ^[31] $${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$ $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$

Transferencia radiativa

La ecuación de transferencia radiativa describe la forma en que la radiación se ve afectada a medida que viaja a través de un medio material. Para el caso especial en el que el medio material está en equilibrio termodinámico en las proximidades de un punto del medio, la ley de Planck es de especial importancia.

Para simplificar, podemos considerar el estado estacionario lineal, sin dispersión . La ecuación de transferencia radiativa establece que para un haz de luz que recorre una pequeña distancia d s , la energía se conserva: el cambio en la radiancia (espectral) de ese haz ( I _ν ) es igual a la cantidad eliminada por el medio material más la cantidad ganada del medio material. Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, estas dos contribuciones serán iguales. El medio material tendrá un cierto coeficiente de emisión y coeficiente de absorción .

El coeficiente de absorción α es el cambio fraccionario en la intensidad del haz de luz a medida que recorre la distancia d s , y tiene unidades de longitud ⁻¹ . Se compone de dos partes, la disminución debido a la absorción y el aumento debido a la emisión estimulada . La emisión estimulada es la emisión del cuerpo material que es causada por y es proporcional a la radiación entrante. Se incluye en el término de absorción porque, al igual que la absorción, es proporcional a la intensidad de la radiación entrante. Dado que la cantidad de absorción generalmente variará linealmente como la densidad ρ del material, podemos definir un "coeficiente de absorción de masa" κ _ν = ⁠alfa/ρ⁠ que es una propiedad del propio material. El cambio en la intensidad de un haz de luz debido a la absorción a medida que recorre una pequeña distancia d s será entonces ^[7] $${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

El "coeficiente de emisión de masa" j _ν es igual a la radiancia por unidad de volumen de un elemento de volumen pequeño dividida por su masa (ya que, al igual que el coeficiente de absorción de masa, la emisión es proporcional a la masa emisora) y tiene unidades de potencia ⋅ ángulo sólido ⁻¹ ⋅ frecuencia ⁻¹ ⋅ densidad ⁻¹ . Al igual que el coeficiente de absorción de masa, también es una propiedad del propio material. El cambio en un haz de luz a medida que atraviesa una pequeña distancia d s será entonces ^[32] $${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

La ecuación de transferencia radiativa será entonces la suma de estas dos contribuciones: ^[33] $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, entonces la radiación será homogénea (independiente de la posición) de modo que dI _ν = 0 y: que es otro enunciado de la ley de Kirchhoff, que relaciona dos propiedades materiales del medio, y que produce la ecuación de transferencia radiativa en un punto alrededor del cual el medio está en equilibrio termodinámico: $${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$ $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

Coeficientes de Einstein

El principio de equilibrio detallado establece que, en el equilibrio termodinámico, cada proceso elemental se equilibra mediante su proceso inverso.

En 1916, Albert Einstein aplicó este principio a nivel atómico al caso de un átomo que irradia y absorbe radiación debido a transiciones entre dos niveles de energía particulares, ^[34] lo que proporcionó una visión más profunda de la ecuación de transferencia radiativa y la ley de Kirchhoff para este tipo de radiación. Si el nivel 1 es el nivel de energía inferior con energía E ₁ , y el nivel 2 es el nivel de energía superior con energía E ₂ , entonces la frecuencia ν de la radiación irradiada o absorbida estará determinada por la condición de frecuencia de Bohr: ^{[35] [36]} $${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Si n ₁ y n ₂ son las densidades numéricas del átomo en los estados 1 y 2 respectivamente, entonces la tasa de cambio de estas densidades en el tiempo se deberá a tres procesos:

Emisión espontánea

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Emisión estimulada

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Fotoabsorción

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

donde u _ν es la densidad de energía espectral del campo de radiación. Los tres parámetros A ₂₁ , B ₂₁ y B ₁₂ , conocidos como coeficientes de Einstein, están asociados con la frecuencia del fotón ν producida por la transición entre dos niveles (estados) de energía. Como resultado, cada línea en un espectro tiene su propio conjunto de coeficientes asociados. Cuando los átomos y el campo de radiación están en equilibrio, la radiancia estará dada por la ley de Planck y, por el principio de equilibrio detallado, la suma de estas tasas debe ser cero: $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Como los átomos también están en equilibrio, las poblaciones de los dos niveles están relacionadas por el factor de Boltzmann : donde g ₁ y g ₂ son las multiplicidades de los respectivos niveles de energía. Combinando las dos ecuaciones anteriores con el requisito de que sean válidas a cualquier temperatura se obtienen dos relaciones entre los coeficientes de Einstein: de modo que el conocimiento de un coeficiente dará lugar a los otros dos. $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$ $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$

Para el caso de absorción y emisión isotrópicas, el coeficiente de emisión ( j _ν ) y el coeficiente de absorción ( κ _ν ) definidos en la sección de transferencia radiativa anterior, se pueden expresar en términos de los coeficientes de Einstein. Las relaciones entre los coeficientes de Einstein darán como resultado la expresión de la ley de Kirchhoff expresada en la sección de transferencia radiativa anterior, es decir que $${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Estos coeficientes se aplican tanto a los átomos como a las moléculas.

Propiedades

Picos

Las distribuciones B _ν , B _ω , B _ν̃ y B _k alcanzan un pico en una energía de fotón de ^[37] donde W es la función W de Lambert y e es el número de Euler . $${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

Sin embargo, la distribución B _λ alcanza un pico en una energía diferente ^[37] La ​​razón de esto es que, como se mencionó anteriormente, no se puede pasar de (por ejemplo) B _ν a B _λ simplemente sustituyendo ν por λ . Además, también se debe multiplicar por , lo que desplaza el pico de la distribución a energías más altas. Estos picos son la energía modal de un fotón, cuando se agrupan utilizando contenedores de igual tamaño de frecuencia o longitud de onda, respectivamente. Dividiendo hc ( $${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$14 387 .770 μm·K ) por esta expresión de energía se obtiene la longitud de onda del pico.

La radiancia espectral en estos picos viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 1.896\times 10^{-19}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot Hz\cdot sr} }}\times (T/\mathrm {K} )^{3}\\\end{aligned}}}$

con y con ${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{sr}}}}\times ~(T/{\text{K}})^{5}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Mientras tanto, la energía promedio de un fotón de un cuerpo negro es donde es la función zeta de Riemann . $${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\displaystyle \zeta }$

Aproximaciones

Gráficos logarítmicos de radiancia vs. frecuencia para la ley de Planck (verde), en comparación con la ley de Rayleigh-Jeans (rojo) y la aproximación de Wien (azul) para un cuerpo negro a una temperatura de 8 mK .

En el límite de frecuencias bajas (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck se convierte en la ley de Rayleigh-Jeans ^{[38] [39] [40]} o $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

La radiancia aumenta con el cuadrado de la frecuencia, lo que ilustra la catástrofe ultravioleta . En el límite de las frecuencias altas (es decir, las longitudes de onda pequeñas), la ley de Planck tiende a la aproximación de Wien : ^{[40] [41] [42]} o $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Percentiles

La ley de desplazamiento de Wien en su forma más fuerte establece que la forma de la ley de Planck es independiente de la temperatura. Por lo tanto, es posible enumerar los puntos percentiles de la radiación total, así como los picos de longitud de onda y frecuencia, en una forma que da la longitud de onda λ cuando se divide por la temperatura T . ^[43] La segunda columna de la siguiente tabla enumera los valores correspondientes de λT , es decir, aquellos valores de x para los cuales la longitud de onda λ es ⁠incógnita/yo⁠ micrómetros en el punto de percentil de radiancia dado por la entrada correspondiente en la primera columna.

Es decir, el 0,01% de la radiación está en una longitud de onda inferior a ⁠910/yo⁠  μm, 20% por debajo ⁠2676/yo⁠ μm , etc. Los picos de longitud de onda y frecuencia están en negrita y ocurren en el 25,0% y el 64,6% respectivamente. El punto del 41,8% es el pico neutral en longitud de onda-frecuencia (es decir, el pico en potencia por unidad de cambio en el logaritmo de longitud de onda o frecuencia). Estos son los puntos en los que funciona la respectiva ley de Planck .1/lambda ⁵⁠ , ν ³ y ⁠el ²/lambda ²⁠ , respectivamente, dividido por exp ( ⁠hν/k _B T⁠ ) ​​− 1 alcanzan sus máximos. La brecha mucho más pequeña en la relación de longitudes de onda entre 0,1% y 0,01% (1110 es 22% más que 910) que entre 99,9% y 99,99% (113374 es 120% más que 51613) refleja la descomposición exponencial de la energía en longitudes de onda cortas (extremo izquierdo) y la descomposición polinómica en longitudes de onda largas.

El pico que se debe utilizar depende de la aplicación. La opción convencional es el pico de longitud de onda al 25,0% dado por la ley de desplazamiento de Wien en su forma débil. Para algunos propósitos, la mediana o el punto del 50% que divide la radiación total en dos mitades puede ser más adecuado. Este último está más cerca del pico de frecuencia que del pico de longitud de onda porque la radiancia cae exponencialmente en longitudes de onda cortas y solo polinómicamente en longitudes de onda largas. El pico neutro ocurre en una longitud de onda más corta que la mediana por la misma razón.

Espectro solar comparado con el cuerpo negro a 5775 K

Comparación con el espectro solar

La radiación solar puede compararse con la radiación de un cuerpo negro a unos 5778 K (pero véase el gráfico). La tabla de la derecha muestra cómo se distribuye la radiación de un cuerpo negro a esta temperatura, y también cómo se distribuye la luz solar a modo de comparación. También se muestra, a modo de comparación, un planeta modelado como un cuerpo negro, que irradia a una temperatura nominal de 288 K (15 °C), como valor representativo de la temperatura altamente variable de la Tierra. Sus longitudes de onda son más de veinte veces las del Sol, tabuladas en la tercera columna en micrómetros (miles de nanómetros).

Es decir, solo el 1% de la radiación del Sol está en longitudes de onda más cortas que 296 nm, y solo el 1% en longitudes de onda más largas que 3728 nm. Expresado en micrómetros, esto pone el 98% de la radiación del Sol en el rango de 0,296 a 3,728 μm. El 98% correspondiente de energía irradiada desde un planeta a 288 K está entre 5,03 y 79,5 μm, muy por encima del rango de la radiación solar (o por debajo si se expresa en términos de frecuencias ν = ⁠do/la⁠ en lugar de longitudes de onda λ ).

Una consecuencia de esta diferencia de más de un orden de magnitud en la longitud de onda entre la radiación solar y la planetaria es que es fácil construir filtros diseñados para dejar pasar una y bloquear la otra. Por ejemplo, las ventanas fabricadas con vidrio ordinario o plástico transparente dejan pasar al menos el 80% de la radiación solar entrante de 5778 K, que está por debajo de 1,2 μm de longitud de onda, mientras que bloquean más del 99% de la radiación térmica saliente de 288 K a partir de 5 μm, longitudes de onda en las que la mayoría de los tipos de vidrio y plástico de espesor adecuado para la construcción son efectivamente opacos.

La radiación del Sol es la que llega a la parte superior de la atmósfera (TOA). Como se puede leer en la tabla, la radiación por debajo de los 400 nm, o ultravioleta , es de alrededor del 8%, mientras que la de más de 700 nm, o infrarroja , comienza en torno al 48% y, por tanto, supone el 52% del total. Por tanto, solo el 40% de la insolación de la TOA es visible para el ojo humano. La atmósfera desplaza estos porcentajes sustancialmente a favor de la luz visible, ya que absorbe la mayor parte de la radiación ultravioleta y cantidades significativas de infrarrojas.

Derivaciones

Gas fotónico

Consideremos un cubo de lado L con paredes conductoras llenas de radiación electromagnética en equilibrio térmico a temperatura T . Si hay un pequeño agujero en una de las paredes, la radiación emitida por el agujero será característica de un cuerpo negro perfecto . Primero calcularemos la densidad de energía espectral dentro de la cavidad y luego determinaremos la radiancia espectral de la radiación emitida.

En las paredes del cubo, la componente paralela del campo eléctrico y la componente ortogonal del campo magnético deben desaparecer. De manera análoga a la función de onda de una partícula en una caja , se encuentra que los campos son superposiciones de funciones periódicas. Las tres longitudes de onda λ ₁ , λ ₂ y λ ₃ , en las tres direcciones ortogonales a las paredes pueden ser: donde los n _i son números enteros positivos. Para cada conjunto de números enteros n _i hay dos soluciones linealmente independientes (conocidas como modos). Los dos modos para cada conjunto de estos n _i corresponden a los dos estados de polarización del fotón que tiene un espín de 1. Según la teoría cuántica, la energía total de un modo está dada por: $${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$

El número r puede interpretarse como el número de fotones en el modo. Para r = 0 la energía del modo no es cero. Esta energía de vacío del campo electromagnético es responsable del efecto Casimir . A continuación calcularemos la energía interna de la caja a temperatura absoluta T.

Según la mecánica estadística , la distribución de probabilidad de equilibrio sobre los niveles de energía de un modo particular está dada por: donde usamos la temperatura recíproca El denominador Z ( β ) , es la función de partición de un solo modo. Hace que P _r esté correctamente normalizado y se puede evaluar como con $${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$ $${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$ $${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$

siendo la energía de un solo fotón. La energía promedio en un modo se puede obtener a partir de la función de partición : Esta fórmula, aparte del primer término de energía de vacío, es un caso especial de la fórmula general para partículas que obedecen la estadística de Bose-Einstein . Como no hay restricción en el número total de fotones, el potencial químico es cero. $${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$

Si medimos la energía relativa al estado fundamental, la energía total en la caja se obtiene sumando ⟨ E ⟩ − ⁠mi/2⁠ sobre todos los estados de fotón único permitidos. Esto se puede hacer exactamente en el límite termodinámico a medida que L se acerca al infinito. En este límite, ε se vuelve continua y luego podemos integrar ⟨ E ⟩ − ⁠mi/2⁠ sobre este parámetro. Para calcular la energía en la caja de esta manera, necesitamos evaluar cuántos estados de fotones hay en un rango de energía dado. Si escribimos el número total de estados de fotón individuales con energías entre ε y ε + dε como g ( ε ) dε , donde g ( ε ) es la densidad de estados (que se evalúa a continuación), entonces la energía total está dada por

Para calcular la densidad de estados reescribimos la ecuación ( 2 ) de la siguiente manera: donde n es la norma del vector n = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) . $${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$

Para cada vector n con componentes enteros mayores o iguales a cero, hay dos estados de fotones. Esto significa que el número de estados de fotones en una determinada región del espacio n es el doble del volumen de esa región. Un rango de energía de dε corresponde a una capa de espesor dn = ⁠2 litros/alta comarca⁠ d ε en el espacio n . Debido a que los componentes de n tienen que ser positivos, esta capa abarca un octante de una esfera. El número de estados de fotones g ( ε ) dε , en un rango de energía dε , está dado por:Insertando esto en la ecuación. ( 3 ) y dividiendo por el volumen V = L ³ da la densidad de energía totaldonde la densidad de energía espectral dependiente de la frecuencia u _ν ( T ) está dada porDado que la radiación es la misma en todas las direcciones y se propaga a la velocidad de la luz, la radiancia espectral de la radiación que sale del pequeño agujero eslo que produce la ley de PlanckOtras formas de la ley se pueden obtener por cambio de variables en la integral de energía total. La derivación anterior se basa en Brehm & Mullin 1989. $${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$ $${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$

Aproximación dipolar y coeficientes de Einstein

Para el caso no degenerado, los coeficientes A y B se pueden calcular utilizando la aproximación dipolar en la teoría de perturbación dependiente del tiempo en mecánica cuántica. El cálculo de A también requiere una segunda cuantificación, ya que la teoría semiclásica no puede explicar la emisión espontánea que no llega a cero cuando el campo perturbador llega a cero. Las tasas de transición calculadas son (en unidades del SI): ^{[45] [46] [47]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Tenga en cuenta que la fórmula de la velocidad de transición depende del operador del momento dipolar. Para aproximaciones de orden superior, implica el momento cuadrupolar y otros términos similares. Los coeficientes A y B (que corresponden a la distribución de energía de frecuencia angular) son, por lo tanto:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

donde los coeficientes A y B satisfacen las razones dadas para el caso no degenerado: ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$y . ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Otra razón útil es la de la distribución de Maxwell, que dice que el número de partículas en un nivel de energía es proporcional al exponente de . Matemáticamente: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta E}$

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

donde y son el número de niveles de energía ocupados de y respectivamente, donde . Entonces, utilizando: ${\displaystyle N_{a}}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle E_{a}}$ ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Resolviendo para la condición de equilibrio y utilizando las razones derivadas, obtenemos la Ley de Planck: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

Historia

Balfour Stewart

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes de emisión y absorción de radiación térmica de placas pulidas de varias sustancias, en comparación con los poderes de superficies de negro de humo , a la misma temperatura. ^[9] Stewart eligió superficies de negro de humo como referencia debido a varios hallazgos experimentales previos, especialmente los de Pierre Prevost y de John Leslie . Escribió: "El negro de humo, que absorbe todos los rayos que caen sobre él y, por lo tanto, posee el mayor poder de absorción posible, poseerá también el mayor poder de radiación posible".

Stewart midió la potencia radiada con una termopila y un galvanómetro sensible leído con un microscopio. Se interesó en la radiación térmica selectiva, que investigó con placas de sustancias que irradiaban y absorbían selectivamente para diferentes calidades de radiación en lugar de hacerlo de manera máxima para todas las calidades de radiación. Habló de los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse y que obedecían al principio de reciprocidad de Helmholtz (aunque no utilizó un epónimo para ello). En este artículo no mencionó que las cualidades de los rayos pudieran describirse por sus longitudes de onda, ni utilizó aparatos de resolución espectral como prismas o rejillas de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Realizó sus mediciones en un entorno a temperatura ambiente y rápidamente para captar sus cuerpos en una condición cercana al equilibrio térmico en el que habían sido preparados calentándolos hasta el equilibrio con agua hirviendo. Sus mediciones confirmaron que las sustancias que emiten y absorben selectivamente respetan el principio de igualdad selectiva de emisión y absorción en el equilibrio térmico.

Stewart ofreció una prueba teórica de que esto debería ser así por separado para cada calidad seleccionada de radiación térmica, pero sus matemáticas no eran rigurosamente válidas. Según el historiador DM Siegel: "No era un practicante de las técnicas más sofisticadas de la física matemática del siglo XIX; ni siquiera hizo uso de la notación funcional al tratar con distribuciones espectrales". ^[48] No hizo mención de la termodinámica en este artículo, aunque sí se refirió a la conservación de la vis viva . Propuso que sus mediciones implicaban que la radiación era absorbida y emitida por partículas de materia a lo largo de las profundidades de los medios en los que se propagaba. Aplicó el principio de reciprocidad de Helmholtz para explicar los procesos de interfaz material como distintos de los procesos en el material interior. Concluyó que sus experimentos mostraban que, en el interior de un recinto en equilibrio térmico, el calor radiante, reflejado y emitido combinado, que salía de cualquier parte de la superficie, independientemente de su sustancia, era el mismo que habría salido de esa misma porción de la superficie si hubiera estado compuesta de negro de humo. No mencionó la posibilidad de paredes perfectamente reflectantes; en particular, señaló que los metales físicos reales muy pulidos absorben muy ligeramente.

Gustav Kirchhoff

En 1859, sin conocer el trabajo de Stewart, Gustav Robert Kirchhoff informó de la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción y emisión de luz visible resueltas espectralmente. De importancia para la física térmica, también observó que las líneas brillantes o las líneas oscuras eran evidentes dependiendo de la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbedor. ^[49]

Kirchhoff pasó luego a considerar cuerpos que emiten y absorben radiación térmica, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a temperatura T.

Aquí se utiliza una notación diferente a la de Kirchhoff. Aquí, la potencia de emisión E ( T , i ) denota una cantidad adimensional, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado por el índice i a la temperatura T . La razón de absorción total a ( T , i ) de ese cuerpo es adimensional, la razón entre la radiación absorbida y la radiación incidente en la cavidad a la temperatura T . (A diferencia de la de Balfour Stewart, la definición de razón de absorción de Kirchhoff no se refería en particular a una superficie de humo negro como fuente de la radiación incidente). Por lo tanto, la razón ⁠mi ( t , i )/una ( T , yo )⁠ de la relación entre la potencia de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión, porque a ( T , i ) es adimensional. También aquí la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a la temperatura T se denota por E ( λ , T , i ) y la relación de absorción específica de la longitud de onda por a ( λ , T , i ) . Nuevamente, la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )La relación entre la potencia de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe realizado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio o ley general para el que ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de las potencias de radiación. ^[50] Su prueba teórica fue y todavía es considerada inválida por algunos escritores. ^{[48] [51]} Sin embargo, su principio ha perdurado: era que para rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación específica de la longitud de onda de la potencia de emisión a la relación de absorción tiene un mismo valor común para todos los cuerpos que emiten y absorben a esa longitud de onda. En símbolos, la ley establecía que la relación específica de la longitud de onda ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ tiene un mismo valor para todos los cuerpos, es decir, para todos los valores del índice i . En este informe no se hizo mención de los cuerpos negros.

En 1860, aún sin conocer las mediciones de Stewart para calidades seleccionadas de radiación, Kirchhoff señaló que desde hacía mucho tiempo se había establecido experimentalmente que para la radiación térmica total, de calidad no seleccionada, emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la relación de radiación total dimensionadami ( t , i )/una ( T , yo )⁠ , tiene un mismo valor común a todos los cuerpos, es decir, para cada valor del índice material i . ^[52] Nuevamente sin mediciones de potencias radiativas u otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció entonces una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la relación específica de la longitud de onda ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ en equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y sigue siendo considerada inválida por algunos autores. ^{[48] [51]}

Pero lo más importante es que se basaba en un nuevo postulado teórico de los "cuerpos perfectamente negros" , razón por la cual se habla de la ley de Kirchhoff. Estos cuerpos negros mostraban una absorción completa en su superficie más superficial, infinitamente delgada. Correspondían a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos de negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros más realistas considerados posteriormente por Planck. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y absorbían sólo por el material en su interior; sus interfaces con los medios contiguos eran sólo superficies matemáticas, capaces no de absorción ni de emisión, sino sólo de reflexión y transmisión con refracción. ^[53]

La prueba de Kirchhoff consideró un cuerpo arbitrario no ideal denominado i así como varios cuerpos negros perfectos denominados BB . Requería que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a temperatura T . Su prueba pretendía mostrar que la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ era independiente de la naturaleza del cuerpo no ideal, por parcialmente transparente o parcialmente reflectante que fuera.

Su prueba argumentó primero que para la longitud de onda λ y a la temperatura T , en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Su prueba señaló que la razón de absorción específica de longitud de onda adimensional a ( λ , T , BB) de un cuerpo perfectamente negro es por definición exactamente 1. Entonces, para un cuerpo perfectamente negro, la razón específica de longitud de onda de potencia emisiva a razón de absorción ⁠E ( λ , T , BB)/a ( λ , T , BB)⁠ es de nuevo simplemente E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró, sucesivamente, el equilibrio térmico con el cuerpo no ideal arbitrario, y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, colocados en su cavidad en equilibrio a temperatura T . Argumentó que los flujos de radiación térmica deben ser los mismos en cada caso. Por tanto, argumentó que en el equilibrio térmico la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ era igual a E ( λ , T , BB) , que ahora puede denotarse B _λ ( λ , T ) , una función continua, dependiente solo de λ a temperatura fija T , y una función creciente de T a longitud de onda fija λ , a bajas temperaturas que se desvanece para longitudes de onda visibles pero no para longitudes de onda más largas, con valores positivos para longitudes de onda visibles a temperaturas más altas, que no depende de la naturaleza i del cuerpo arbitrario no ideal. (Los factores geométricos, tomados en cuenta detalladamente por Kirchhoff, se han ignorado en lo anterior).

Así, la ley de Kirchhoff de la radiación térmica puede enunciarse de la siguiente manera: Para cualquier material, que irradie y absorba en equilibrio termodinámico a cualquier temperatura dada T , para cada longitud de onda λ , la relación entre la potencia emisiva y la potencia absorbente tiene un valor universal, que es característico de un cuerpo negro perfecto, y es una potencia emisiva que aquí representamos por B _λ ( λ , T ) . (Para nuestra notación B _λ ( λ , T ) , la notación original de Kirchhoff era simplemente e .) ^{[7] [52] [54] [55] [56] [57]}

Kirchhoff anunció que la determinación de la función B _λ ( λ , T ) era un problema de la mayor importancia, aunque reconoció que habría dificultades experimentales que superar. Supuso que, como otras funciones que no dependen de las propiedades de los cuerpos individuales, sería una función simple. Esa función B _λ ( λ , T ) se ha llamado ocasionalmente "función de Kirchhoff (de emisión, universal)", ^{[58] [59] [60] [61]} aunque su forma matemática precisa no se conocería hasta cuarenta años después, hasta que fue descubierta por Planck en 1900. La prueba teórica del principio de universalidad de Kirchhoff fue elaborada y debatida por varios físicos durante la misma época y posteriormente. ^[51] Kirchhoff afirmó más tarde, en 1860, que su prueba teórica era mejor que la de Balfour Stewart, y en algunos aspectos así era. ^[48] ​​El artículo de Kirchhoff de 1860 no mencionaba la segunda ley de la termodinámica y, por supuesto, no mencionaba el concepto de entropía, que en ese momento no había sido establecido. En un relato más meditado publicado en un libro en 1862, Kirchhoff mencionó la conexión de su ley con el "principio de Carnot", que es una forma de la segunda ley. ^[62]

Según Helge Kragh, "la teoría cuántica debe su origen al estudio de la radiación térmica, en particular a la radiación del "cuerpo negro" que Robert Kirchhoff había definido por primera vez en 1859-1860". ^[63]

Ingredientes empíricos y teóricos para la inducción científica de la ley de Planck

En 1860, Kirchhoff predijo dificultades experimentales para la determinación empírica de la función que describía la dependencia del espectro del cuerpo negro en función únicamente de la temperatura y la longitud de onda. Y así resultó. Fueron necesarios unos cuarenta años de desarrollo de métodos mejorados de medición de la radiación electromagnética para obtener un resultado fiable. ^[64]

En 1865, John Tyndall describió la radiación de filamentos calentados eléctricamente y de arcos de carbono como visible e invisible. ^[65] Tyndall descompuso espectralmente la radiación mediante el uso de un prisma de sal de roca, que dejaba pasar calor y rayos visibles, y midió la intensidad de la radiación por medio de una termopila. ^{[66] [67]}

En 1880, André-Prosper-Paul Crova publicó un diagrama de la apariencia tridimensional del gráfico de la intensidad de la radiación térmica en función de la longitud de onda y la temperatura. ^[68] Determinó la variable espectral mediante el uso de prismas. Analizó la superficie a través de lo que llamó curvas "isotérmicas", secciones para una sola temperatura, con una variable espectral en la abscisa y una variable de potencia en la ordenada. Trazó curvas suaves a través de sus puntos de datos experimentales. Tenían un pico en un valor espectral característico de la temperatura y caían a ambos lados de este hacia el eje horizontal. ^{[69] [70]} Tales secciones espectrales se muestran ampliamente incluso hoy en día.

En una serie de artículos de 1881 a 1886, Langley informó sobre mediciones del espectro de la radiación térmica, utilizando rejillas de difracción y prismas, y los detectores más sensibles que pudo construir. Informó que había una intensidad máxima que aumentaba con la temperatura, que la forma del espectro no era simétrica con respecto al pico, que había una fuerte caída de la intensidad cuando la longitud de onda era más corta que un valor de corte aproximado para cada temperatura, que la longitud de onda de corte aproximada disminuía con el aumento de la temperatura y que la longitud de onda de la intensidad máxima disminuía con la temperatura, de modo que la intensidad aumentaba fuertemente con la temperatura para longitudes de onda cortas que eran más largas que el valor de corte aproximado para la temperatura. ^[71]

Después de leer Langley, en 1888, el físico ruso VA Michelson publicó una consideración de la idea de que la función de radiación desconocida de Kirchhoff podría explicarse físicamente y enunciarse matemáticamente en términos de "irregularidad completa de las vibraciones de ... átomos". ^{[72] [73]} En ese momento, Planck no estaba estudiando la radiación de cerca y no creía ni en los átomos ni en la física estadística. ^[74] Michelson produjo una fórmula para el espectro de temperatura: donde I _λ denota la intensidad radiativa específica en la longitud de onda λ y la temperatura θ , y donde B ₁ y c son constantes empíricas. $${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$

En 1898, Otto Lummer y Ferdinand Kurlbaum publicaron un relato de su fuente de radiación de cavidad. ^[75] Su diseño se ha utilizado prácticamente sin cambios para las mediciones de radiación hasta el día de hoy. Era una caja de platino, dividida por diafragmas, con su interior ennegrecido con óxido de hierro. Fue un ingrediente importante para las mediciones progresivamente mejoradas que llevaron al descubrimiento de la ley de Planck. ^[76] Una versión descrita en 1901 tenía su interior ennegrecido con una mezcla de óxidos de cromo, níquel y cobalto. ^[77]

La importancia de la fuente de radiación de cavidad de Lummer y Kurlbaum fue que era una fuente de radiación de cuerpo negro accesible experimentalmente, a diferencia de la radiación de un cuerpo sólido incandescente simplemente expuesto, que había sido la aproximación experimental más cercana disponible a la radiación de cuerpo negro en un rango adecuado de temperaturas. Los cuerpos sólidos incandescentes simplemente expuestos, que se habían utilizado antes, emitían radiación con desviaciones del espectro de cuerpo negro que hacían imposible encontrar el verdadero espectro de cuerpo negro a partir de experimentos. ^{[78] [79]}

Las opiniones de Planck antes de los hechos empíricos lo llevaron a encontrar su ley final.

Planck dirigió por primera vez su atención al problema de la radiación del cuerpo negro en 1897. ^[80] El progreso teórico y empírico permitió a Lummer y Pringsheim escribir en 1899 que la evidencia experimental disponible era aproximadamente consistente con la ley de intensidad específica Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT} donde C y c denotan constantes empíricamente mensurables, y donde λ y T denotan longitud de onda y temperatura respectivamente. ^{[81] [82]} Por razones teóricas, Planck en ese momento aceptó esta formulación, que tiene un límite efectivo para las longitudes de onda cortas. ^{[83] [84] [85]}

Gustav Kirchhoff fue el profesor de Max Planck y supuso que había una ley universal para la radiación del cuerpo negro y esto se llamó "el desafío de Kirchhoff". ^[86] Planck, un teórico, creía que Wilhelm Wien había descubierto esta ley y Planck amplió el trabajo de Wien presentándolo en 1899 en la reunión de la Sociedad Alemana de Física. Los experimentalistas Otto Lummer , Ferdinand Kurlbaum , Ernst Pringsheim Sr. y Heinrich Rubens hicieron experimentos que parecían apoyar la ley de Wien, especialmente en longitudes de onda cortas de frecuencia más alta, que Planck respaldó tan plenamente en la Sociedad Alemana de Física que comenzó a llamarse la Ley de Wien-Planck. ^[87] Sin embargo, en septiembre de 1900, los experimentalistas habían demostrado más allá de toda duda que la ley de Wien-Planck fallaba en las longitudes de onda más largas. Presentarían sus datos el 19 de octubre. Planck fue informado por su amigo Rubens y rápidamente creó una fórmula en unos pocos días. ^[88] En junio de ese mismo año, Lord Rayleigh había creado una fórmula que funcionaría para longitudes de onda cortas de frecuencias más bajas basándose en la teoría ampliamente aceptada de equipartición . ^[89] Así que Planck presentó una fórmula que combinaba tanto la Ley de Rayleigh (o una teoría de equipartición similar) como la Ley de Wien, que se ponderaría con una u otra ley dependiendo de la longitud de onda para que coincidiera con los datos experimentales. Sin embargo, aunque esta ecuación funcionaba, el propio Planck dijo que a menos que pudiera explicar la fórmula derivada de una "intuición afortunada" en una de "verdadero significado" en física, no tenía verdadero significado. ^[90] Planck explicó que a partir de entonces siguió el trabajo más duro de su vida. Planck no creía en los átomos, ni pensaba que la segunda ley de la termodinámica debería ser estadística porque la probabilidad no proporciona una respuesta absoluta, y la ley de entropía de Boltzmann se basaba en la hipótesis de los átomos y era estadística. Pero Planck no pudo encontrar una manera de conciliar su ecuación de cuerpo negro con leyes continuas como las ecuaciones de onda de Maxwell. Así, en lo que Planck llamó "un acto de desesperación", ^[91] recurrió a la ley atómica de la entropía de Boltzmann, ya que era la única que hacía que su ecuación funcionara. Por lo tanto, utilizó la constante de Boltzmann k y su nueva constante h para explicar la ley de radiación del cuerpo negro, que se hizo ampliamente conocida a través de su artículo publicado. ^{[92] [93]}

Encontrar la ley empírica

Max Planck produjo su ley el 19 de octubre de 1900 ^{[94] [95]} como una mejora de la aproximación de Wien , publicada en 1896 por Wilhelm Wien , que se ajustaba a los datos experimentales en longitudes de onda cortas (altas frecuencias) pero se desviaba de ella en longitudes de onda largas (bajas frecuencias). ^[41] En junio de 1900, basándose en consideraciones teóricas heurísticas , Rayleigh había sugerido una fórmula ^[96] que propuso que podría comprobarse experimentalmente. La sugerencia era que la función universal de Stewart-Kirchhoff podría ser de la forma c ₁ Tλ ⁻⁴ exp(– ⁠c2_​/lambda⁠ ) ​​. Esta no era la célebre fórmula de Rayleigh-Jeans 8π k _B Tλ ⁻⁴ , que no surgió hasta 1905, ^[38] aunque sí se redujo a esta última para longitudes de onda largas, que son las relevantes aquí. Según Klein, ^[80] se puede especular que es probable que Planck hubiera visto esta sugerencia aunque no la mencionó en sus artículos de 1900 y 1901. Planck habría estado al tanto de varias otras fórmulas propuestas que se habían ofrecido. ^{[64] [97]} El 7 de octubre de 1900, Rubens le dijo a Planck que en el dominio complementario (longitud de onda larga, baja frecuencia), y solo allí, la fórmula de Rayleigh de 1900 se ajustaba bien a los datos observados. ^[97]

Para longitudes de onda largas, la fórmula heurística de Rayleigh de 1900 significaba aproximadamente que la energía era proporcional a la temperatura, U _λ = const. T . ^{[80] [97] [98]} Se sabe que ⁠es/dU _λ⁠ = ⁠1/yo⁠ y esto conduce a ⁠es/dU _λ⁠ = ⁠constante./U _λ⁠ y de allí a ⁠d2s^​​/dU _λ2^​⁠ = − ⁠constante./U _λ2^​⁠ para longitudes de onda largas. Pero para longitudes de onda cortas, la fórmula de Wien conduce a ⁠1/yo⁠ = − const. ln U _λ + const. y de ahí a ⁠d2s^​​/dU _λ2^​⁠ = − ⁠constante./U _λ⁠ para longitudes de onda cortas. Planck quizás juntó estas dos fórmulas heurísticas, para longitudes de onda largas y cortas, ^{[97] [99]} para producir una fórmula ^[94] $${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

Esto llevó a Planck a la fórmula donde Planck utilizó los símbolos C y c para denotar constantes de ajuste empírico. $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$

Planck envió este resultado a Rubens, quien lo comparó con los datos de observación de él y Kurlbaum y descubrió que se ajustaba a todas las longitudes de onda notablemente bien. El 19 de octubre de 1900, Rubens y Kurlbaum informaron brevemente sobre el ajuste de los datos, ^[100] y Planck agregó una breve presentación para dar un esbozo teórico que explicara su fórmula. ^[94] En una semana, Rubens y Kurlbaum dieron un informe más completo de sus mediciones que confirmaban la ley de Planck. Su técnica para la resolución espectral de la radiación de longitud de onda más larga se llamó el método de rayos residuales. Los rayos se reflejaban repetidamente desde superficies de cristal pulidas, y los rayos que llegaban a todo el proceso eran "residuales", y eran de longitudes de onda reflejadas preferentemente por cristales de materiales adecuadamente específicos. ^{[101] [102] [103]}

Tratando de encontrar una explicación física de la ley

Una vez que Planck descubrió la función empíricamente adecuada, construyó una derivación física de esta ley. Su pensamiento giraba en torno a la entropía en lugar de centrarse directamente en la temperatura. Planck consideró una cavidad con paredes perfectamente reflectantes; dentro de la cavidad, hay un número finito de cuerpos oscilatorios resonantes distintos pero constituidos de manera idéntica de magnitud definida, con varios de estos osciladores en cada una de las frecuencias características finitas. Estos osciladores hipotéticos eran para Planck sondas de investigación teóricas puramente imaginarias, y dijo de ellos que tales osciladores no necesitan "realmente existir en algún lugar de la naturaleza, siempre que su existencia y sus propiedades sean consistentes con las leyes de la termodinámica y la electrodinámica". ^[104] Planck no atribuyó ningún significado físico definido a su hipótesis de osciladores resonantes, sino que la propuso como un dispositivo matemático que le permitió derivar una única expresión para el espectro del cuerpo negro que coincidía con los datos empíricos en todas las longitudes de onda. ^[105] Mencionó tentativamente la posible conexión de tales osciladores con los átomos . En cierto sentido, los osciladores correspondían a la mota de carbono de Planck; el tamaño de la mota podía ser pequeño independientemente del tamaño de la cavidad, siempre que la mota transdujera efectivamente la energía entre los modos de longitud de onda radiativa. ^[97]

Planck, siguiendo en parte un método heurístico de cálculo iniciado por Boltzmann para las moléculas de gas, consideró las posibles formas de distribuir la energía electromagnética sobre los diferentes modos de sus osciladores materiales cargados hipotéticos. Esta aceptación del enfoque probabilístico, siguiendo a Boltzmann, para Planck fue un cambio radical con respecto a su posición anterior, que hasta entonces se había opuesto deliberadamente a ese pensamiento propuesto por Boltzmann. ^[106] En palabras de Planck, "consideré la [hipótesis cuántica] como una suposición puramente formal, y no le di mucha importancia, excepto en esto: que había obtenido un resultado positivo bajo cualquier circunstancia y a cualquier costo". ^[107] Heurísticamente, Boltzmann había distribuido la energía en cuantos arbitrarios meramente matemáticos ϵ , que había procedido a hacer tender a cero en magnitud, porque la magnitud finita ϵ había servido solo para permitir un conteo definido con el fin de realizar un cálculo matemático de probabilidades, y no tenía significado físico. Refiriéndose a una nueva constante universal de la naturaleza, h , ^[108] Planck supuso que, en los diversos osciladores de cada una de las finitas frecuencias características, la energía total se distribuía a cada uno en un múltiplo entero de una unidad física definida de energía, ϵ , característica de la respectiva frecuencia característica. ^{[95] [109] [110] [111]} Su nueva constante universal de la naturaleza, h , ahora se conoce como la constante de Planck .

Planck explicó además ^[95] que la respectiva unidad definida, ϵ , de energía debería ser proporcional a la respectiva frecuencia de oscilación característica ν del oscilador hipotético, y en 1901 expresó esto con la constante de proporcionalidad h : ^{[112] [113]} $${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Planck no propuso que la luz que se propaga en el espacio libre esté cuantizada. ^{[114] [115] [116]} La idea de la cuantización del campo electromagnético libre se desarrolló más tarde y finalmente se incorporó a lo que ahora conocemos como teoría cuántica de campos . ^[117]

En 1906, Planck reconoció que sus resonadores imaginarios, al tener dinámica lineal, no proporcionaban una explicación física para la transducción de energía entre frecuencias. ^{[118] [119]} La física actual explica la transducción entre frecuencias en presencia de átomos por su excitabilidad cuántica, siguiendo a Einstein. Planck creía que en una cavidad con paredes perfectamente reflectantes y sin materia presente, el campo electromagnético no puede intercambiar energía entre componentes de frecuencia. ^[120] Esto se debe a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell . ^[121] La teoría cuántica de campos actual predice que, en ausencia de materia, el campo electromagnético obedece a ecuaciones no lineales y en ese sentido sí interactúa consigo mismo. ^{[122] [123]} Tal interacción en ausencia de materia aún no se ha medido directamente porque requeriría intensidades muy altas y detectores muy sensibles y de bajo ruido, que todavía están en proceso de construcción. ^{[122] [124]} Planck creía que un campo sin interacciones no obedece ni viola el principio clásico de equipartición de energía, ^{[125] [126]} y en cambio permanece exactamente como estaba cuando se introdujo, en lugar de evolucionar hacia un campo de cuerpo negro. ^[127] Por lo tanto, la linealidad de sus suposiciones mecánicas impidió a Planck tener una explicación mecánica de la maximización de la entropía del campo de radiación térmica en equilibrio termodinámico. Por eso tuvo que recurrir a los argumentos probabilísticos de Boltzmann. ^{[128] [129]}

La ley de Planck puede considerarse como el cumplimiento de la predicción de Gustav Kirchhoff de que su ley de radiación térmica era de la máxima importancia. En su presentación madura de su propia ley, Planck ofreció una prueba teórica completa y detallada de la ley de Kirchhoff, ^[130] cuya prueba teórica hasta entonces había sido objeto de debate, en parte porque se decía que se basaba en objetos teóricos no físicos, como la superficie negra infinitamente delgada y perfectamente absorbente de Kirchhoff. ^[131]

Eventos subsiguientes

No fue hasta cinco años después de que Planck hiciera su suposición heurística de elementos abstractos de energía o de acción que Albert Einstein concibió la existencia real de cuantos de luz en 1905 ^[132] como una explicación revolucionaria de la radiación del cuerpo negro, de la fotoluminiscencia, del efecto fotoeléctrico y de la ionización de los gases por la luz ultravioleta. En 1905, "Einstein creía que la teoría de Planck no podía concordar con la idea de los cuantos de luz, un error que corrigió en 1906". ^[133] Contrariamente a las creencias de Planck de la época, Einstein propuso un modelo y una fórmula según los cuales la luz se emitía, absorbía y propagaba en el espacio libre en cuantos de energía localizados en puntos del espacio. ^[132] Como introducción a su razonamiento, Einstein recapituló el modelo de Planck de osciladores eléctricos materiales resonantes hipotéticos como fuentes y sumideros de radiación, pero luego ofreció un nuevo argumento, desconectado de ese modelo, pero basado en parte en un argumento termodinámico de Wien, en el que la fórmula de Planck ϵ = hν no jugó ningún papel. ^[134] Einstein dio el contenido de energía de tales cuantos en la forma ⁠Rβν/norte⁠ . De esta manera, Einstein contradecía la teoría ondulatoria de la luz sostenida por Planck. En 1910, criticando un manuscrito que le había enviado Planck, sabiendo que Planck era un firme partidario de la teoría de la relatividad especial de Einstein, Einstein le escribió a Planck: "A mí me parece absurdo tener energía distribuida continuamente en el espacio sin suponer la existencia de un éter". ^[135]

Según Thomas Kuhn , no fue hasta 1908 que Planck aceptó más o menos parte de los argumentos de Einstein a favor de la discreción física como algo distinto de la discreción matemática abstracta en la física de la radiación térmica. Todavía en 1908, considerando la propuesta de Einstein de propagación cuántica, Planck opinó que tal paso revolucionario era quizás innecesario. ^[136] Hasta entonces, Planck había sido consistente en pensar que la discreción de los cuantos de acción no se encontraba ni en sus osciladores resonantes ni en la propagación de la radiación térmica. Kuhn escribió que, en los artículos anteriores de Planck y en su monografía de 1906, ^[137] no hay "mención de discontinuidad, [ni] de una restricción en la energía del oscilador, [ni de] ninguna fórmula como U = nhν ". Kuhn señaló que su estudio de los artículos de Planck de 1900 y 1901, y de su monografía de 1906, ^[137] lo había llevado a conclusiones "heréticas", contrarias a las suposiciones generalizadas de otros que vieron los escritos de Planck solo desde la perspectiva de puntos de vista posteriores, anacrónicos. ^[138] Las conclusiones de Kuhn, que encuentran un período hasta 1908, cuando Planck sostuvo consistentemente su "primera teoría", han sido aceptadas por otros historiadores. ^[139]

En la segunda edición de su monografía, en 1912, Planck sostuvo su desacuerdo con la propuesta de Einstein sobre los cuantos de luz. Propuso con cierto detalle que la absorción de luz por sus resonadores materiales virtuales podría ser continua, produciéndose a una tasa constante en equilibrio, a diferencia de la absorción cuántica. Sólo la emisión era cuántica. ^{[121] [140]} A esta teoría se la ha llamado en ocasiones la "segunda teoría" de Planck. ^[141]

No fue hasta 1919 que Planck, en la tercera edición de su monografía, aceptó más o menos su "tercera teoría", según la cual tanto la emisión como la absorción de la luz eran cuánticas. ^[142]

El colorido término " catástrofe ultravioleta " fue dado por Paul Ehrenfest en 1911 al resultado paradójico de que la energía total en la cavidad tiende al infinito cuando el teorema de equipartición de la mecánica estadística clásica se aplica (erróneamente) a la radiación del cuerpo negro. ^{[143] [144]} Pero esto no había sido parte del pensamiento de Planck, porque no había tratado de aplicar la doctrina de equipartición: cuando hizo su descubrimiento en 1900, no había notado ningún tipo de "catástrofe". ^{[83] [84] [ 85] [80] [145]} Fue notado por primera vez por Lord Rayleigh en 1900, ^{[96] [146] [147]} y luego en 1901 ^[148] por Sir James Jeans ; y más tarde, en 1905, por Einstein cuando quiso apoyar la idea de que la luz se propaga como paquetes discretos, más tarde llamados 'fotones', y por Rayleigh ^[39] y por Jeans. ^{[38] [149] [150] [151]}

En 1913, Bohr dio otra fórmula con un significado físico diferente a la cantidad hν . ^{[34] [35] [36] [152] [153] [154]} En contraste con las fórmulas de Planck y Einstein, la fórmula de Bohr se refería explícita y categóricamente a los niveles de energía de los átomos. La fórmula de Bohr era W _{τ 2} − W _{τ 1} = hν donde W _{τ 2} y W _{τ 1} denotan los niveles de energía de los estados cuánticos de un átomo, con números cuánticos τ ₂ y τ ₁ . El símbolo ν denota la frecuencia de un cuanto de radiación que puede emitirse o absorberse cuando el átomo pasa entre esos dos estados cuánticos. En contraste con el modelo de Planck, la frecuencia no tiene una relación inmediata con las frecuencias que podrían describir esos estados cuánticos en sí. ${\displaystyle \nu }$

Más tarde, en 1924, Satyendra Nath Bose desarrolló la teoría de la mecánica estadística de los fotones, que permitió una derivación teórica de la ley de Planck. ^[155] La palabra real "fotón" fue inventada aún más tarde, por GN Lewis en 1926, ^[156] quien creyó erróneamente que los fotones se conservaban, contrariamente a las estadísticas de Bose-Einstein; sin embargo, la palabra "fotón" fue adoptada para expresar el postulado de Einstein de la naturaleza de paquetes de la propagación de la luz. En un campo electromagnético aislado en el vacío en un recipiente con paredes perfectamente reflectantes, como fue considerado por Planck, de hecho los fotones se conservarían de acuerdo con el modelo de Einstein de 1905, pero Lewis se refería a un campo de fotones considerado como un sistema cerrado con respecto a la materia ponderable pero abierto al intercambio de energía electromagnética con un sistema circundante de materia ponderable, e imaginó erróneamente que aún los fotones se conservaban, siendo almacenados dentro de los átomos.

En última instancia, la ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro contribuyó al concepto de Einstein de cuantos de luz portadores de momento lineal, ^{[34] [132]} que se convirtió en la base fundamental para el desarrollo de la mecánica cuántica .

La linealidad antes mencionada de los supuestos mecánicos de Planck, que no permitían interacciones energéticas entre los componentes de frecuencia, fue reemplazada en 1925 por la mecánica cuántica original de Heisenberg. En su artículo presentado el 29 de julio de 1925, la teoría de Heisenberg explicaba la fórmula de Bohr de 1913 antes mencionada. Admitía osciladores no lineales como modelos de estados cuánticos atómicos, permitiendo la interacción energética entre sus propios componentes de frecuencia de Fourier internos discretos múltiples, en las ocasiones de emisión o absorción de cuantos de radiación. La frecuencia de un cuanto de radiación era la de un acoplamiento definido entre estados cuánticos oscilatorios metaestables atómicos internos. ^{[157] [158]} En ese momento, Heisenberg no sabía nada de álgebra matricial, pero Max Born leyó el manuscrito del artículo de Heisenberg y reconoció el carácter matricial de la teoría de Heisenberg. Luego, Born y Jordan publicaron una teoría matricial explícita de la mecánica cuántica, basada en la mecánica cuántica original de Heisenberg, pero en una forma claramente diferente de ella; es la teoría matricial de Born y Jordan la que hoy se llama mecánica matricial. [ ^{159] [160] [161]} La explicación de Heisenberg de los osciladores de Planck, como efectos no lineales aparentes como modos de Fourier de procesos transitorios de emisión o absorción de radiación, mostró por qué los osciladores de Planck, vistos como objetos físicos duraderos como podrían ser concebidos por la física clásica, no daban una explicación adecuada de los fenómenos.

Hoy en día, como expresión de la energía de un cuanto de luz, a menudo se encuentra la fórmula E = ħω , donde ħ = ⁠yo/2π⁠ , y ω = 2π ν denota frecuencia angular, ^{[162] [163] [164] [165] [166]} y con menos frecuencia la fórmula equivalente E = hν . ^{[165] [166] [167] [168] [169]} Esta afirmación sobre un cuanto de luz realmente existente y que se propaga, basada en la de Einstein, tiene un significado físico diferente del de la afirmación anterior de Planck ϵ = hν sobre las unidades de energía abstractas que se distribuirán entre sus hipotéticos osciladores materiales resonantes.

Un artículo de Helge Kragh publicado en Physics World da cuenta de esta historia. ^[111]

Véase también

• Emisividad
• Resplandor
• Ecuación de Sakuma-Hattori

Referencias

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Enlaces externos

• Resumen de la radiación
• Radiación de un cuerpo negro: simulación interactiva para jugar con la ley de Planck
• Artículo de Scienceworld sobre la Ley de Planck