Duplicación de fermiones

Poner fermiones en una red con simetría quiral da como resultado más fermiones de los esperados

En la teoría de campos reticulares , la duplicación de fermiones ocurre cuando se colocan ingenuamente campos fermiónicos en una red , lo que resulta en más estados fermiónicos de los esperados. Para los fermiones de Dirac ingenuamente discretizados en dimensiones euclidianas , cada campo fermiónico da como resultado especies de fermiones idénticas , denominadas sabores diferentes del fermión. El problema de la duplicación de fermiones está estrechamente vinculado a la invariancia quiral mediante el teorema de Nielsen-Ninomiya . La mayoría de las estrategias utilizadas para resolver el problema requieren el uso de fermiones modificados que se reducen al fermión de Dirac sólo en el límite continuo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

Discretización ingenua de fermiones

Para simplificar, consideraremos una teoría de cuatro dimensiones de un fermión libre, aunque el problema de duplicación de fermiones permanece en dimensiones arbitrarias e incluso si se incluyen interacciones . La teoría del campo reticular generalmente se lleva a cabo en el espacio-tiempo euclidiano al que se llega desde el espacio-tiempo de Minkowski después de una rotación de Wick , donde la acción continua de Dirac toma la forma

${\displaystyle S_{F}[\psi ,{\bar {\psi }}]=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(x)(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi (x).}$

Esto se discretiza introduciendo una red con espaciado de red y puntos indexados por un vector de números enteros . La integral se convierte en una suma de todos los puntos de la red, mientras que los campos fermiónicos se reemplazan por variables de Grassmann de cuatro componentes en cada sitio de la red indicado por y . La discretización derivada utilizada es la discretización derivada simétrica , siendo los vectores vectores unitarios en la dirección. Estos pasos dan la ingenua acción del fermión libre ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle S_{F}^{L}[\psi ,{\bar {\psi }}]=a^{4}\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

Esta acción se reduce a la acción continua de Dirac en el límite del continuo, por lo que se espera que sea una teoría de un solo fermión. Sin embargo, en cambio, describe dieciséis fermiones idénticos, y se dice que cada fermión tiene un sabor diferente, de manera análoga a cómo las partículas tienen diferentes sabores en la física de partículas . Los quince fermiones adicionales a menudo se denominan duplicadores. Este contenido extendido de partículas se puede ver analizando las simetrías o las funciones de correlación de la teoría de la red.

Duplicar la simetría

La acción ingenua de los fermiones posee una nueva simetría de intercambio de sabores que no se encuentra en la teoría del continuo que actúa sobre los campos de fermiones como ^[2]

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}_{n}S_{A}^{\dagger }e^{in\cdot \pi _{A}},}$

donde los vectores son los dieciséis vectores con entradas distintas de cero especificadas por . Por ejemplo, , , y . La estructura de Dirac en la simetría está igualmente definida por los índices de as donde y ; por ejemplo con . ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{0}=(0,0,0,0)}$ ${\displaystyle \pi _{2}=(0,\pi ,0,0)}$ ${\displaystyle \pi _{14}=(\pi ,0,0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{1234}=(\pi ,\pi ,\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S_{A}=S_{\nu _{1}}S_{\nu _{2}}S_{\nu _{3}}S_{\nu _{4}}}$ ${\displaystyle S_{0}=I}$ ${\displaystyle S_{\nu }=i\gamma _{5}\gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle S_{14}=(i\gamma _{5}\gamma _{1})(i\gamma _{5}\gamma _{4})}$

La presencia de estas dieciséis transformaciones de simetría implica la existencia de dieciséis estados de fermiones idénticos en lugar de solo uno. Comenzando con un campo de fermiones , la simetría lo asigna a otro campo . La transformación de Fourier muestra que su impulso se ha desplazado a medida que . Por lo tanto, un fermión con impulso cerca del centro de la zona de Brillouin se asigna a una de sus esquinas, mientras que uno de los fermiones de las esquinas reemplaza al fermión central, lo que muestra que la transformación actúa para intercambiar los gustos de los fermiones. Dado que se trata de una simetría de la acción, los diferentes gustos deben ser físicamente indistinguibles entre sí. Aquí el momento de Brillouin para pequeño no es el momento físico de la partícula, sino que lo es . En cambio, actúa más bien como un número cuántico adicional que especifica el sabor de un fermión. ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle \psi '_{n}=e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n}}$ ${\displaystyle p^{\mu }\rightarrow p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle k^{\mu }=p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle \pi _{A}^{\mu }}$

El término es responsable de cambiar la representación de las matrices de los duplicadores a , lo que tiene el efecto de cambiar los signos de las matrices como . Dado que cualquier cambio de signo da como resultado un conjunto de matrices que aún satisfacen el álgebra de Dirac , las matrices resultantes forman una representación válida. También es el término que entra en la función de onda de los duplicadores dados por y , donde y son las soluciones habituales de la ecuación de Dirac con impulso . ^[3] ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }^{(A)}=S_{A}^{\dagger }\gamma _{\mu }S_{A}}$ ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4})\rightarrow (\pm \gamma _{1},\pm \gamma _{2},\pm \gamma _{3},\pm \gamma _{4})}$ ${\displaystyle S_{A}^{\dagger }u({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle S_{A}^{\dagger }v({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

Relación de propagador y dispersión.

En la teoría del continuo, el propagador de Dirac tiene un solo polo ya que la teoría describe solo una partícula. Sin embargo, calcular el propagador a partir de la acción ingenua produce

${\displaystyle S(p)={\frac {m-ia^{-1}\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin(p^{\mu }a)}{m^{2}+a^{-2}\sum _{\mu }\sin(p^{\mu }a)^{2}}},}$

para un fermión con impulso . ^[4] Para momentos bajos, esto todavía tiene el polo esperado en , pero hay quince polos adicionales cuando . Cada una de ellas es una nueva especie de fermión cuya duplicación surge porque la función tiene dos polos en el rango . Esto contrasta con lo que sucede cuando se discretizan partículas de diferentes espines . Por ejemplo, los escalares adquieren propagadores que toman una forma similar excepto con , que solo tiene un polo en el rango de momento y, por lo tanto, la teoría no sufre un problema de duplicación. ^[5] ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)\approx p^{\mu }a}$ ${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)}$ ${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)}$ ${\displaystyle p^{\mu }\in [-\pi /a,\pi /a]}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a/2)}$

Comparación entre las relaciones de dispersión del continuo y de la red de un fermión libre, teniendo este último un duplicador en el límite de la zona de Brillouin.

La necesidad de duplicar los fermiones se puede deducir del hecho de que el propagador de fermiones sin masa es impar alrededor del origen . ^[6] Es decir, en el límite del continuo es proporcional a , lo que aún debe ser el caso en la red en el límite de momento pequeño. Pero dado que cualquier teoría de red local que pueda construirse debe tener un propagador que sea continuo y periódico , debe cruzar el eje cero al menos una vez más, que es exactamente lo que ocurre en las esquinas de la zona de Brillouin donde se encuentra el ingenuo propagador de fermiones. Esto contrasta con el propagador bosónico que es cuadrático alrededor del origen y por lo tanto no tiene ese problema. Se puede evitar la duplicación si se utiliza un propagador discontinuo, pero esto da como resultado una teoría no local. ${\displaystyle \gamma _{\mu }p^{\mu }}$ ${\displaystyle ap_{\mu }=\pi _{A}^{\mu }}$

La presencia de duplicadores también se refleja en la relación de dispersión de fermiones . Dado que se trata de una relación entre la energía del fermión y su momento, es necesario realizar una transformación de Wick inversa , donde la relación de dispersión surge del polo del propagador ^[7] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

${\displaystyle \sinh \omega ({\boldsymbol {p}})={\sqrt {m^{2}+\sum _{j=1}^{3}\sin ^{2}p_{j}}}.}$

Los ceros de esta relación de dispersión son mínimos de energía locales alrededor de los cuales las excitaciones corresponden a diferentes especies de partículas. Lo anterior tiene ocho especies diferentes que surgen debido a la duplicación en las tres direcciones espaciales. Los ocho duplicadores restantes se producen debido a otra duplicación en la dirección temporal euclidiana, que parece haberse perdido. Pero esto se debe a una aplicación ingenua de la transformación inversa de Wick. La teoría tiene una obstrucción que no permite el reemplazo simple y en cambio requiere realizar la integración completa del contorno . Hacer esto para el propagador del espacio de posición da como resultado dos términos separados, cada uno de los cuales tiene la misma relación de dispersión de ocho especies de fermiones, dando un total de dieciséis. ^[8] La obstrucción entre las teorías ingenuas de la red de fermiones de Minkowski y Euclidiana se produce porque la duplicación no se produce en la dirección temporal de Minkowski, por lo que las dos teorías difieren en su contenido de partículas. ${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

Resoluciones a la duplicación de fermiones

La duplicación de fermiones es una consecuencia de un teorema prohibido en la teoría de campos reticulares conocido como teorema de Nielsen-Ninomiya. Afirma que cualquier teoría fermiónica bilineal local, hermitiana , traslacionalmente invariante y de dimensión uniforme siempre tiene el mismo número de fermiones de Weyl zurdos y diestros , generando fermiones adicionales cuando faltan. ^[9] El teorema no dice cuántos duplicadores surgirán, pero sin romper los supuestos del teorema, siempre habrá al menos un duplicador, siendo la ingenua discretización quince. Una consecuencia del teorema es que la anomalía quiral no se puede simular con teorías quiralmente invariantes, ya que desaparece trivialmente.

La simulación de teorías de campos reticulares con duplicación de fermiones conduce a resultados incorrectos debido a los duplicadores, por lo que se han desarrollado muchas estrategias para superar este problema. Si bien los duplicadores pueden ignorarse en una teoría libre ya que allí los diferentes gustos se desacoplan, no pueden ignorarse en una teoría interactiva donde las interacciones mezclan diferentes gustos, ya que el impulso se conserva solo hasta el módulo . Por ejemplo, dos fermiones gustativos pueden dispersarse mediante el intercambio de un bosón calibre altamente virtual para producir dos fermiones gustativos sin violar la conservación del momento. Por lo tanto, para superar el problema de la duplicación de fermiones, se deben violar uno o más supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya, lo que da lugar a multitud de propuestas de resolución: ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$

• Fermión de la pared del dominio : viola explícitamente la simetría quiral, aumenta la dimensionalidad espacial. ^{[10] [11]}
• Fermión de Ginsparg-Wilson : viola explícitamente la simetría quiral. ^[12]
• Fermión superpuesto : viola explícitamente la simetría quiral (tipo de fermión de Ginsparg-Wilson). ^{[13] [14]}
• Fermión de red perfecta: formulación no local. ^[15]
• Fermión SLAC: formulación no local. ^[dieciséis]
• Stacey Fermion: formulación no local. ^[17]
• Fermión escalonado (fermión de Kogut-Susskind): viola explícitamente la invariancia traslacional, reduce el número de duplicadores. ^[18]
• Generación de masa simétrica: este enfoque va más allá del modelo bilineal de fermiones e introduce efectos de interacción no perturbativos. ^{[19] [20]} Una realización basada en el modelo de Eichten-Preskill ^[21] comienza a partir de un modelo de fermiones simétrico vectorial donde los fermiones quirales y los fermiones espejo se realizan en dos paredes de dominio. La separación del fermión espejo mediante generación de masa simétrica da como resultado fermiones quirales de baja energía sin duplicación de fermiones. ^{[22] [23]}
• Fermión de masa torcida : viola explícitamente la simetría quiral (tipo de fermión de Wilson). ^[24]
• Fermión de Wilson : viola explícitamente la simetría quiral. ^[25]

Cada una de estas formulaciones de fermiones tiene sus propias ventajas y desventajas. ^[26] Se diferencian en la velocidad a la que pueden simularse, la facilidad de su implementación y la presencia o ausencia de configuraciones excepcionales. Algunos de ellos tienen una simetría quiral residual que permite simular anomalías axiales. También pueden diferir en la cantidad de duplicadores que eliminan, y algunos consisten en un doblete o un cuarteto de fermiones. Por esta razón se utilizan diferentes formulaciones de fermiones para diferentes problemas.

Discretización derivada

Otra posible solución, aunque poco práctica, al problema de la duplicación es adoptar una discretización derivada diferente de la diferencia simétrica.

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x-a{\hat {\mu }})}{2a}},}$

utilizado en la acción ingenua del fermión. En su lugar, es posible utilizar la diferencia directa

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x)}{a}},}$

o discretizaciones de diferencia hacia atrás. El efecto de las discretizaciones derivadas sobre la duplicación se ve considerando el problema de juguete unidimensional de encontrar las soluciones propias de . ^[27] En el continuo esta ecuación diferencial tiene una única solución. Sin embargo, la implementación de la derivada en diferencias simétricas conduce a la presencia de dos soluciones propias distintas, mientras que una derivada en diferencias hacia adelante o hacia atrás tiene una solución propia. Este efecto se traslada a la acción de los fermiones, donde la duplicación de fermiones está ausente con discretizaciones hacia adelante o hacia atrás. ${\displaystyle -i\partial _{x}f(x)=\lambda f(x)}$

La razón de esta disparidad en el contenido de partículas es que la derivada de diferencia simétrica mantiene la propiedad de hermiticidad del operador continuo, mientras que las discretizaciones hacia adelante y hacia atrás no. Estas últimas discretizaciones conducen a acciones no hermitianas, rompiendo los supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya y evitando así el problema de la duplicación de fermiones. El desarrollo de una teoría de interacción con una discretización derivada no hermitiana conduce a una teoría con contribuciones no covariantes a la autoenergía del fermión y la función de vértice , lo que hace que la teoría no sea renormalizable y sea difícil trabajar con ella. ^[28] Por esta razón, esta solución al problema de duplicación de fermiones generalmente no se implementa. ${\displaystyle i\partial _{\mu }}$

Ver también

• Fonones acústicos y ópticos : un fenómeno similar en cristales en estado sólido

Referencias

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