conjetura abc

El producto de distintos factores primos de a,b,c, donde c es a+b, rara vez es mucho menor que c

El matemático Joseph Oesterlé

El matemático David Masser.

La conjetura abc (también conocida como conjetura de Oesterlé-Masser ) es una conjetura de la teoría de números que surgió de una discusión entre Joseph Oesterlé y David Masser en 1985. ^{[1] [2]} Se expresa en términos de tres números enteros positivos y (de ahí el nombre) que son primos relativos y satisfacen . La conjetura esencialmente establece que el producto de los distintos factores primos de normalmente no es mucho menor que . Varias conjeturas y teoremas famosos de la teoría de números se derivarían inmediatamente de la conjetura abc o de sus versiones. El matemático Dorian Goldfeld describió la conjetura abc como "el problema sin resolver más importante del análisis diofántico ". ^[3] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle c}$

La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser de comprender la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas , ^[4] que involucra más estructuras geométricas en su enunciado que la conjetura abc . Se demostró que la conjetura abc era equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. ^[1]

Se han realizado varios intentos de demostrar la conjetura abc , pero actualmente ninguno es aceptado por la comunidad matemática dominante y la conjetura todavía se considera no probada. ^{[5] [6]}

Formulaciones

Antes de plantear la conjetura, se debe introducir la noción de radical de un número entero : para un número entero positivo , el radical de , denotado por , es el producto de los distintos factores primos de . Por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rad}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2}$

${\displaystyle {\text{rad}}(17)=17}$

${\displaystyle {\text{rad}}(18)={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6}$

${\displaystyle {\text{rad}}(1000000)={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10}$

Si a , b y c son coprimos ^{[notas 1]} enteros positivos tales que a + b = c , resulta que "normalmente" . La conjetura abc se ocupa de las excepciones. En concreto, señala que: ${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$

Para cada número real positivo ε , existen sólo un número finito de tripletas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c , tales que ^[7]

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Una formulación equivalente es:

Para cada número real positivo ε , existe una constante K _ε tal que para todos los triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c : ^[7]

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

De manera equivalente (usando la notación o pequeña ):

Para todos los triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c , rad( abc ) es al menos c ^{1- o (1)} .

Una cuarta formulación equivalente de la conjetura involucra la cualidad q ( a , b , c ) del triple ( a , b , c ), que se define como

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

Por ejemplo:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1,426565...

Un triplete típico ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c < rad( abc ), es decir, q ( a , b , c ) < 1. Triples con q > 1 como en el El segundo ejemplo es bastante especial, consiste en números divisibles por potencias altas de números primos pequeños . La cuarta formulación es:

Para cada número real positivo ε , existen sólo un número finito de tripletas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1 + ε .

Mientras que se sabe que hay infinitos tripletes ( a , b , c ) de enteros coprimos positivos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1, la conjetura predice que sólo un número finito de ellos tienen q > 1.01 o q > 1.001 o incluso q > 1.0001, etc. En particular, si la conjetura es cierta, entonces debe existir una tripleta ( a , b , c ) que alcance la máxima calidad posible q ( a , b , c ).

Ejemplos de triples con radical pequeño.

La condición de que ε > 0 es necesaria ya que existen infinitas tripletas a , b , c con c > rad( abc ). Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

El número entero b es divisible por 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

A partir de este hecho se realiza el siguiente cálculo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&=2{\tfrac {b}{3}}\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Al reemplazar el exponente 6 n con otros exponentes que obliguen a b a tener factores cuadrados más grandes, la relación entre el radical y c puede hacerse arbitrariamente pequeña. Específicamente, sea p > 2 un primo y considere

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Ahora bien, se puede afirmar de manera plausible que b es divisible por p ² :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

El último paso utiliza el hecho de que p ² divide 2 ^{p ( p −1)}  − 1. Esto se desprende del pequeño teorema de Fermat , que muestra que, para p  > 2, 2 ^{p −1}  =  pk  + 1 para algún entero k . Elevando ambos lados a la potencia de p se muestra que 2 ^{p ( p −1)}  =  p ² (...) + 1.

Y ahora con un cálculo similar al anterior, se obtienen los siguientes resultados:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

A continuación se proporciona una lista de los triples de mayor calidad (triples con un radical particularmente pequeño en relación con c ); la calidad más alta, 1,6299, fue encontrada por Eric Reyssat (Lando y Zvonkin 2004, p. 137) para

a = 2,

b = 3 ¹⁰ ·109 =6 436 341 ,

c = 23 ⁵ =6 436 343 ,

rad( abc ) =15 042 .

Algunas consecuencias

La conjetura abc tiene una gran cantidad de consecuencias. Estos incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales se han probado por separado solo desde que se expresó la conjetura) como conjeturas para las cuales proporciona una prueba condicional . Las consecuencias incluyen:

• Teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de números algebraicos . ^{[8] [7]}
• La conjetura de Mordell (ya probada en general por Gerd Faltings ). ^[9]
• Como equivalente, la conjetura de Vojta en dimensión 1. ^[10]
• La conjetura de Erdős-Woods permite un número finito de contraejemplos. ^[11]
• La existencia de infinitos números primos distintos de Wieferich en cada base b > 1. ^[12]
• La forma débil de la conjetura de Marshall Hall sobre la separación entre cuadrados y cubos de números enteros. ^[13]
• El último teorema de Fermat tiene una demostración famosa por su dificultad realizada por Andrew Wiles . Sin embargo, se deduce fácilmente, al menos para , de una forma efectiva de una versión débil de la conjetura abc . La conjetura abc dice que el límite superior del conjunto de todas las cualidades (definido anteriormente) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que existe un límite superior finito para las cualidades. La conjetura de que 2 es un límite superior es suficiente para una prueba muy breve del último teorema de Fermat para . ^[14] ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• La conjetura de Fermat-Catalan , una generalización del último teorema de Fermat sobre potencias que son sumas de potencias. ^[15]
• La función L L ( s , χ _d ) formada con el símbolo de Legendre no tiene cero de Siegel , dada una versión uniforme de la conjetura abc en campos numéricos , no solo la conjetura abc formulada anteriormente para enteros racionales. ^[dieciséis]
• Un polinomio P ( x ) tiene sólo un número finito de potencias perfectas para todos los números enteros x si P tiene al menos tres ceros simples . ^[17]
• Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones de y ^m = x ⁿ + k (el teorema de Tijdeman responde al caso k = 1), y la conjetura de Pillai (1931) sobre el número de soluciones de Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Como equivalente, la conjetura de Granville-Langevin, que si f es una forma binaria libre de cuadrados de grado n > 2, entonces para cada β real > 2 hay una constante C ( f , β ) tal que para todos los enteros coprimos x , y , el radical de f ( x , y ) excede C · max{| x |, | y |} ^{norte − β} . ^[18]
• Como equivalente, la conjetura de Szpiro modificada , que produciría una cota de rad( abc ) ^{1,2+ ε} . ^[1]
• Dąbrowski (1996) ha demostrado que la conjetura abc implica que la ecuación diofántica n ! + A = k ² tiene sólo un número finito de soluciones para cualquier entero A dado .
• Hay ~ c _f N enteros positivos n ≤ N para los cuales f ( n )/B' no tiene cuadrados, siendo c _f > 0 una constante positiva definida como: ^[19]
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• La conjetura de Beal , una generalización del último teorema de Fermat que propone que si A , B , C , x , y y z son enteros positivos con A ^x + B ^y = C ^z y x , y , z > 2, entonces A , B y C tienen un factor primo común. La conjetura abc implicaría que sólo hay un número finito de contraejemplos.
• Conjetura de Lang , límite inferior para la altura de un punto racional sin torsión de una curva elíptica.
• Una solución negativa al problema de Erdős-Ulam en conjuntos densos de puntos euclidianos con distancias racionales. ^[20]
• Una versión eficaz del teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas algebraicas. ^[21]

Resultados teóricos

La conjetura de abc implica que c puede estar acotado arriba por una función casi lineal del radical de abc . Se conocen límites que son exponenciales . En concreto, se han acreditado los siguientes límites:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$(Stewart y Tijdeman 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$(Stewart y Yu 1991), y

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$(Stewart y Yu 2001).

En estos límites, K ₁ y K ₃ son constantes que no dependen de a , b o c , y K ₂ es una constante que depende de ε (de una manera efectivamente computable ) pero no de a , b o c . Los límites se aplican a cualquier triplete para el cual c > 2.

También hay resultados teóricos que proporcionan un límite inferior a la mejor forma posible de la conjetura abc . En particular, Stewart y Tijdeman (1986) demostraron que hay infinitos tripletes ( a , b , c ) de enteros coprimos con a + b = c y

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

para todo k < 4. Van Frankenhuysen (2000) mejoró la constante k a k = 6,068.

Resultados computacionales

En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto científico holandés Kennislink, lanzaron el proyecto ABC@Home , un sistema de computación en red cuyo objetivo es descubrir triples adicionales a , b , c con rad( abc ) < C . Aunque ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc , se espera que los patrones en los ternas descubiertos por este proyecto conduzcan a conocimientos sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.

Hasta mayo de 2014, ABC@Home había encontrado 23,8 millones de triples. ^[23]

Nota: la calidad q ( a , b , c ) del triple ( a , b , c ) está definida arriba.

Formas refinadas, generalizaciones y declaraciones relacionadas.

La conjetura abc es un análogo entero del teorema de Mason-Stothers para polinomios.

Un fortalecimiento, propuesto por Baker (1998), establece que en la conjetura abc se puede reemplazar rad( abc ) por

ε ^{− ω} rad( abc ),

donde ω es el número total de primos distintos que dividen a , b y c . ^[25]

Andrew Granville notó que el mínimo de la función over ocurre cuando ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Esto inspiró a Baker (2004) a proponer una forma más precisa de la conjetura abc , a saber:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

siendo κ una constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales encontró que un valor de era admisible para κ . Esta versión se llama " conjetura abc explícita ". ${\displaystyle 6/5}$

Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían límites superiores a c de la forma

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

donde Ω( n ) es el número total de factores primos de n , y

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

donde Θ( n ) es el número de números enteros hasta n divisibles sólo por primos que dividen a n .

Robert, Stewart & Tenenbaum (2014) propusieron una desigualdad más precisa basada en Robert & Tenenbaum (2013). Sea k = rad ( abc ). Conjeturaron que existe una constante C ₁ tal que

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se cumple mientras que hay una constante C ₂ tal que

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se mantiene infinitamente a menudo.

Browkin y Brzeziński (1994) formularon la conjetura n , una versión de la conjetura abc que involucra n > 2 enteros.

Pruebas reclamadas

Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se descubrió que era incorrecta. ^[26]

Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha reclamado una prueba de la conjetura de Szpiro y, por tanto, de la conjetura abc . ^[27] Publicó una serie de cuatro preimpresiones que desarrollan una nueva teoría que llamó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT), que luego se aplica para probar la conjetura abc . ^[28] Los artículos no han sido ampliamente aceptados por la comunidad matemática como prueba de abc . ^[29] Esto no se debe sólo a su extensión y a la dificultad de entenderlos, ^[30] sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como un vacío por algunos otros expertos. ^[31] Aunque algunos matemáticos han avalado la exactitud de la prueba ^[32] y han intentado comunicar su comprensión a través de talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de teoría de números en general. ^{[33] [34]}

En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. ^{[35] [36]} Si bien no resolvieron las diferencias, las enfocaron más claramente. Scholze y Stix escribieron un informe afirmando y explicando un error en la lógica de la prueba y afirmando que la brecha resultante era "tan grave que... pequeñas modificaciones no rescatarán la estrategia de prueba"; ^[31] Mochizuki afirmó que entendieron mal aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas. ^{[37] [38] [39]}

El 3 de abril de 2020, dos matemáticos del instituto de investigación de Kioto donde trabaja Mochizuki anunciaron que su supuesta prueba se publicaría en Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas , la revista del instituto. Mochizuki es el editor jefe de la revista, pero se abstuvo de revisar el artículo. ^[5] El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel , además de ser descrito por Nature como "poco probable que traslade a muchos investigadores al campo de Mochizuki". ^[5] En marzo de 2021, la prueba de Mochizuki se publicó en RIMS. ^[40]

La ambigüedad sobre el estado de la prueba persiste incluso en 2023, y no muestra signos de disminuir: una parte de la comunidad matemática intenta realizar trabajos adicionales sobre el método utilizado y otra parte niega cualquier valor a la prueba. ^[41]

Ver también

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas.

Notas

1. Cuando a + b = c , cualquier factor común de dos de los valores es necesariamente compartido por el tercero. Por lo tanto, la coprimalidad de a , b , c implica coprimalidad por pares de a , b , c . Entonces en este caso, no importa qué concepto usemos.

Referencias

1. Oesterlé 1988.
2. Masero 1985.
3. Goldfeld 1996.
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5. Castelvecchi, Davide (9 de abril de 2020). "Se publicará la prueba matemática de que la teoría de números sacudidos". Naturaleza . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID  32246118. S2CID  214786566.
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20. Pasten, Hector (2017), "Definibilidad de las órbitas de Frobenius y un resultado en conjuntos de distancias racionales", Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi :10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
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23. "Datos recopilados hasta el momento", ABC@Home , archivado desde el original el 15 de mayo de 2014 , consultado el 30 de abril de 2014
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25. Bombieri y Gubler (2006), pág. 404.
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Fuentes

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enlaces externos

• ABC@home Proyecto de informática distribuida denominado ABC@Home .
• Tan fácil como el ABC: explicación detallada y fácil de seguir de Brian Hayes.
• Weisstein, Eric W. "Conjetura abc". MundoMatemático .
• Página de inicio de la conjetura ABC de Abderrahmane Nitaj
• Página web de ABC Triples de Bart de Smit
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• El ABC de la teoría de números por Noam D. Elkies
• Preguntas sobre el número de Barry Mazur
• Filosofía detrás del trabajo de Mochizuki sobre la conjetura ABC en MathOverflow
• Página wiki del proyecto ABC Conjecture Polymath que enlaza con varias fuentes de comentarios sobre los artículos de Mochizuki.
• abc Conjetura Númerofilo video
• Noticias sobre IUT por Mochizuki