Cargar densidad

Carga eléctrica por unidad de longitud, área o volumen.

En electromagnetismo , la densidad de carga es la cantidad de carga eléctrica por unidad de longitud , superficie o volumen . La densidad de carga volumétrica (simbolizada por la letra griega ρ) es la cantidad de carga por unidad de volumen, medida en el sistema SI en culombios por metro cúbico (C⋅m ⁻³ ), en cualquier punto de un volumen. ^{[1] [2] [3]} La densidad de carga superficial (σ) es la cantidad de carga por unidad de área, medida en culombios por metro cuadrado (C⋅m ⁻² ), en cualquier punto de una distribución de carga superficial en un plano bidimensional. superficie. La densidad de carga lineal (λ) es la cantidad de carga por unidad de longitud, medida en culombios por metro (C⋅m ⁻¹ ), en cualquier punto de una distribución de carga lineal. La densidad de carga puede ser positiva o negativa, ya que la carga eléctrica puede ser positiva o negativa.

Al igual que la densidad de masa , la densidad de carga puede variar según la posición. En la teoría electromagnética clásica, la densidad de carga se idealiza como una función escalar continua de la posición , como un fluido, y , y generalmente se consideran distribuciones de carga continuas , aunque todas las distribuciones de carga reales están formadas por partículas cargadas discretas. Debido a la conservación de la carga eléctrica , la densidad de carga en cualquier volumen solo puede cambiar si una corriente eléctrica de carga fluye dentro o fuera del volumen. Esto se expresa mediante una ecuación de continuidad que vincula la tasa de cambio de la densidad de carga y la densidad de corriente . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Dado que toda la carga es transportada por partículas subatómicas , que pueden idealizarse como puntos, el concepto de distribución de carga continua es una aproximación, que se vuelve inexacta en escalas de longitud pequeñas. Una distribución de carga se compone en última instancia de partículas cargadas individuales separadas por regiones que no contienen carga. ^[4] Por ejemplo, la carga en un objeto metálico cargado eléctricamente está formada por electrones de conducción que se mueven aleatoriamente en la red cristalina del metal . La electricidad estática es causada por cargas superficiales que consisten en electrones e iones cerca de la superficie de los objetos, y la carga espacial en un tubo de vacío está compuesta por una nube de electrones libres que se mueven aleatoriamente en el espacio. La densidad de portadores de carga en un conductor es igual al número de portadores de carga móviles ( electrones , iones , etc.) por unidad de volumen. La densidad de carga en cualquier punto es igual a la densidad del portador de carga multiplicada por la carga elemental de las partículas. Sin embargo, debido a que la carga elemental de un electrón es tan pequeña (1,6⋅10 ⁻¹⁹ C) y hay tantos de ellos en un volumen macroscópico (hay alrededor de 10 ²² electrones de conducción en un centímetro cúbico de cobre), la aproximación continua es muy preciso cuando se aplica a volúmenes macroscópicos, e incluso a volúmenes microscópicos por encima del nivel nanométrico.

A escalas aún más pequeñas, de átomos y moléculas, debido al principio de incertidumbre de la mecánica cuántica , una partícula cargada no tiene una posición precisa sino que está representada por una distribución de probabilidad , por lo que la carga de una partícula individual no está concentrada en un punto sino está "manchado" en el espacio y actúa como una verdadera distribución de carga continua. ^[4] Este es el significado de "distribución de carga" y "densidad de carga" utilizados en química y enlaces químicos . Un electrón está representado por una función de onda cuyo cuadrado es proporcional a la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto del espacio, por lo que es proporcional a la densidad de carga del electrón en cualquier punto. En los átomos y moléculas la carga de los electrones se distribuye en nubes llamadas orbitales que rodean al átomo o molécula, y son responsables de los enlaces químicos . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Definiciones

Cargas continuas

Distribución continua de carga. La densidad de carga volumétrica ρ es la cantidad de carga por unidad de volumen (tridimensional), la densidad de carga superficial σ es la cantidad por unidad de superficie (círculo) con unidad normal hacia afuera n̂ , d es el momento dipolar entre dos cargas puntuales, la densidad volumétrica de estos es la densidad de polarización P . El vector de posición r es un punto para calcular el campo eléctrico ; r′ es un punto en el objeto cargado.

A continuación se detallan las definiciones de distribuciones de carga continua. ^{[5] [6]}

La densidad de carga lineal es la relación entre una carga eléctrica infinitesimal dQ (unidad SI: C ) y un elemento lineal infinitesimal ,

$${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$

de área superficial dS

$${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$

de volumen dV

$${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

La integración de las definiciones da la carga total Q de una región de acuerdo con la integral de línea de la densidad de carga lineal λ _q ( r ) sobre una línea o curva 1d C ,

$${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$

integral de superficie_qrS

$${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$

integral de volumenρ _qrV

$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

qdensidad de masadensidad numéricadensidad de probabilidadλσρlongitud de ondaresistividad eléctrica y conductividad

En el contexto del electromagnetismo, los subíndices generalmente se eliminan por simplicidad: λ , σ , ρ . Otras notaciones pueden incluir: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V , etc.

La carga total dividida por la longitud, superficie o volumen serán las densidades de carga promedio:

$${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

Gratuita, consolidada y con cargo total

En los materiales dieléctricos , la carga total de un objeto se puede separar en cargas "libres" y "ligadas".

Las cargas unidas establecen dipolos eléctricos en respuesta a un campo eléctrico aplicado E y polarizan otros dipolos cercanos que tienden a alinearlos; la acumulación neta de carga a partir de la orientación de los dipolos es la carga unida. Se llaman unidos porque no se pueden eliminar: en el material dieléctrico las cargas son los electrones unidos a los núcleos . ^[6]

Las cargas libres son el exceso de cargas que pueden pasar al equilibrio electrostático , es decir, cuando las cargas no están en movimiento y el campo eléctrico resultante es independiente del tiempo, o constituyen corrientes eléctricas . ^[5]

Densidades de carga totales

En términos de densidades de carga volumétrica, la densidad de carga total es:

$${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$

$${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

cargo vinculado

La carga superficial ligada es la carga acumulada en la superficie del dieléctrico , dada por el momento dipolar perpendicular a la superficie: ^[6]

$${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$

smomento dipolar eléctricovector unitario normal ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Tomando infinitesimales :

$${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$$

dS

$${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

Pdensidad de polarizaciónlos momentos dipolares eléctricosdV es el elemento de volumen

Usando el teorema de divergencia , la densidad de carga volumétrica ligada dentro del material es

$${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$

$${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

El signo negativo surge debido a los signos opuestos de las cargas en los dipolos, un extremo está dentro del volumen del objeto y el otro en la superficie.

A continuación se ofrece una derivación más rigurosa. ^[6]

Derivación de densidades de carga de volumen y superficie ligadas a partir de momentos dipolares internos (cargas ligadas)

El potencial eléctrico debido a un momento dipolar d es:

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

Para una distribución continua, el material se puede dividir en infinitos dipolos infinitesimales.

$${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$$

donde dV = d ³ r′ es el elemento de volumen, por lo que el potencial es la integral de volumen sobre el objeto:

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$$

Desde

$${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

donde ∇′ es el gradiente en las coordenadas r′ ,

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$$

Integrando por partes

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$$

usando el teorema de la divergencia:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

que se separa en el potencial de la carga superficial ( integral de superficie ) y el potencial debido a la carga volumétrica (integral de volumen):

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

eso es

$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$

Densidad de carga libre

La densidad de carga libre sirve como una simplificación útil de la ley de Gauss para la electricidad; su integral de volumen es la carga libre encerrada en un objeto cargado, igual al flujo neto del campo de desplazamiento eléctrico D que emerge del objeto:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

Consulte las ecuaciones de Maxwell y la relación constitutiva para obtener más detalles.

Densidad de carga homogénea

Para el caso especial de una densidad de carga homogénea ρ ₀ , independiente de la posición, es decir, constante en toda la región del material, la ecuación se simplifica a:

$${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

Prueba

Comience con la definición de densidad de carga de volumen continuo:

$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

Entonces, por definición de homogeneidad, ρ _q ( r ) es una constante denotada por ρ _{q , 0} (para diferir entre las densidades constantes y no constantes), y por lo tanto, por las propiedades de una integral, se puede sacar de la integral resultante. en:

$${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$

$${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

Las pruebas equivalentes para la densidad de carga lineal y la densidad de carga superficial siguen los mismos argumentos anteriores.

Cargos discretos

Para una carga puntual única q en la posición r ₀ dentro de una región del espacio 3d R , como un electrón , la densidad de carga volumétrica se puede expresar mediante la función delta de Dirac :

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

r

Como siempre, la integral de la densidad de carga en una región del espacio es la carga contenida en esa región. La función delta tiene la propiedad de desplazamiento para cualquier función f :

$${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$

RRq

$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

Esto se puede extender a N portadores de carga puntuales discretos. La densidad de carga del sistema en un punto r es una suma de las densidades de carga para cada carga q _i en la posición r _i , donde i = 1, 2, ..., N :

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

La función delta para cada carga q _i en la suma, δ ( r − r _i ), garantiza que la integral de la densidad de carga sobre R devuelva la carga total en R :

$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

Si todos los portadores de carga tienen la misma carga q (para electrones q = − e , la carga del electrón ), la densidad de carga se puede expresar a través del número de portadores de carga por unidad de volumen, n ( r ), por

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

Se utilizan ecuaciones similares para las densidades de carga lineal y superficial.

Densidad de carga en relatividad especial

En la relatividad especial , la longitud de un segmento de cable depende de la velocidad del observador debido a la contracción de la longitud , por lo que la densidad de carga también dependerá de la velocidad. Anthony French ^[7] ha descrito cómo la fuerza del campo magnético de un cable conductor de corriente surge de esta densidad de carga relativa. Utilizó (p. 260) un diagrama de Minkowski para mostrar "cómo un cable neutro portador de corriente parece transportar una densidad de carga neta tal como se observa en un marco en movimiento". Cuando la densidad de carga se mide en un marco de referencia en movimiento , se denomina densidad de carga adecuada . ^{[8] [9] [10]}

Resulta que la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J se transforman juntas como un vector de cuatro corrientes bajo transformaciones de Lorentz .

Densidad de carga en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , la densidad de carga ρ _q está relacionada con la función de onda ψ ( r ) mediante la ecuación

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$

q| ψ ( r ) | ² = ψ *( r ) ψ ( r )función de densidad de probabilidadrrR

$${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

d ³ rmedida de integración

Para un sistema de fermiones idénticos, la densidad numérica viene dada como la suma de la densidad de probabilidad de cada partícula en:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

Usando la condición de simetrización:

$${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$

${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

La energía potencial de un sistema se escribe como:

$${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$

$${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

Luego, la energía se da mediante el método de Hartree-Fock como:

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

Donde I es la energía cinética y potencial de los electrones debido a cargas positivas, J es la energía de interacción electrón-electrón y K es la energía de intercambio de electrones. ^{[11] [12]}

Solicitud

La densidad de carga aparece en la ecuación de continuidad de la corriente eléctrica, y también en las Ecuaciones de Maxwell . Es el principal término fuente del campo electromagnético ; cuando la distribución de carga se mueve, esto corresponde a una densidad de corriente . La densidad de carga de las moléculas afecta los procesos químicos y de separación. Por ejemplo, la densidad de carga influye en los enlaces metal-metal y en los enlaces de hidrógeno . ^[13] Para procesos de separación como la nanofiltración , la densidad de carga de los iones influye en su rechazo por la membrana. ^[14]

Ver también

• Ecuación de continuidad que relaciona la densidad de carga y la densidad de corriente.
• potencial iónico
• Onda de densidad de carga

Referencias

1. PM Whelan, MJ Hodgson (1978). Principios esenciales de la física (2ª ed.). Juan Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
2. "Física 2: electricidad y magnetismo, notas del curso, capítulo 2, págs. 15-16" (PDF) . MIT OpenCourseware . Instituto de Tecnología de Massachusetts. 2007 . Consultado el 3 de diciembre de 2017 .
3. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2013). Física para científicos e ingenieros, vol. 2, 9ª edición. Aprendizaje Cengage. pag. 704.ISBN​ 9781133954149.
4. Purcell, Edward (22 de septiembre de 2011). Electricidad y magnetismo. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107013605.
5. Beca IS; WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2ª ed.). Física de Manchester, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
7. Francés, A. (1968). "8: Relatividad y electricidad". Relatividad especial . WW Norton . págs. 229–265.
8. Molde, Richard A. (2001). "Fuerza de Lorentz". Relatividad Básica . Medios de ciencia y negocios de Springer . ISBN 0-387-95210-1.
9. Lawden, Derek F. (2012). Introducción al cálculo tensorial: relatividad y cosmología . Corporación de mensajería. pag. 74.ISBN​ 978-0-486-13214-3.
10. Vanderlinde, Jack (2006). "11.1: Los cuatro potenciales y la ley de Coulomb". Teoría electromagnética clásica . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 314.ISBN​ 1-4020-2700-1.
11. Sakurai, junio John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4.
12. Littlejohn, Robert G. "El método Hartree-Fock en átomos" (PDF) .
13. RJ Gillespie y PLA Popelier (2001). "Enlaces químicos y geometría molecular". Ciencia y tecnología ambientales . 52 (7). Prensa de la Universidad de Oxford: 4108–4116. Código Bib : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.
14. Razi Epsztein, Evyatar Shaulsky, Nadir Dizge, David M Warsinger, Menachem Elimelech (2018). "Exclusión de Donnan dependiente de la densidad de carga iónica en nanofiltración de aniones monovalentes". Ciencia y tecnología ambientales . 52 (7): 4108–4116. Código Bib : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Otras lecturas

• A. Halpern (1988). 3000 Problemas Resueltos en Física . Serie Schaum, Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler, G. Mosca (2008). Física para científicos e ingenieros: con física moderna (6ª ed.). Hombre libre. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores VHC. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). Editores VHC. ISBN 978-0-07-051400-3.

enlaces externos

• [1] - Distribuciones de carga espacial