ecuación constitutiva

Relación entre dos cantidades físicas que es específica de una sustancia.

En física e ingeniería , una ecuación constitutiva o relación constitutiva es una relación entre dos o más cantidades físicas (especialmente cantidades cinéticas relacionadas con cantidades cinemáticas ) que es específica de un material, sustancia o campo , y aproxima su respuesta a estímulos externos, generalmente como campos o fuerzas aplicadas . Se combinan con otras ecuaciones que rigen las leyes físicas para resolver problemas físicos; por ejemplo, en mecánica de fluidos , el flujo de un fluido en una tubería , en física del estado sólido, la respuesta de un cristal a un campo eléctrico, o en análisis estructural , la conexión entre tensiones o cargas aplicadas y deformaciones o deformaciones .

Algunas ecuaciones constitutivas son simplemente fenomenológicas ; otros se derivan de primeros principios . Una ecuación constitutiva aproximada común se expresa frecuentemente como una proporcionalidad simple utilizando un parámetro que se considera una propiedad del material, como la conductividad eléctrica o una constante de resorte . Sin embargo, a menudo es necesario tener en cuenta la dependencia direccional del material y el parámetro escalar se generaliza a un tensor . Las relaciones constitutivas también se modifican para tener en cuenta la tasa de respuesta de los materiales y su comportamiento no lineal . ^[1] Ver el artículo Función de respuesta lineal .

Propiedades mecánicas de la materia.

La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y se conoce como ley de Hooke . Se trata del caso de los materiales elásticos lineales . Después de este descubrimiento, se utilizó comúnmente este tipo de ecuación, a menudo denominada "relación tensión-deformación" en este ejemplo, pero también llamada "suposición constitutiva" o "ecuación de estado". Walter Noll avanzó en el uso de ecuaciones constitutivas, aclarando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, restricciones y definiciones de términos como "material", "isotrópico", "aeolotrópico", etc. La clase de "relaciones constitutivas" de la forma tasa de tensión = f (gradiente de velocidad, tensión, densidad) fue el tema de la disertación de Walter Noll en 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell . ^[2]

En la física moderna de la materia condensada , la ecuación constitutiva juega un papel importante. Véase Ecuaciones constitutivas lineales y Funciones de correlación no lineales . ^[3]

Definiciones

Deformación de sólidos

Fricción

La fricción es un fenómeno complicado. Macroscópicamente, la fuerza de fricción F entre la interfaz de dos materiales se puede modelar como proporcional a la fuerza de reacción R en un punto de contacto entre dos interfaces a través de un coeficiente de fricción adimensional μ _f , que depende del par de materiales:

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

Esto se puede aplicar a la fricción estática (fricción que evita que dos objetos estacionarios se deslicen por sí solos), fricción cinética (fricción entre dos objetos que se raspan o se deslizan entre sí) o rodadura (fuerza de fricción que evita el deslizamiento pero provoca que se ejerza un par sobre el otro). un objeto redondo).

Estrés y tensión

La relación constitutiva tensión-deformación para materiales lineales se conoce comúnmente como ley de Hooke . En su forma más simple, la ley define la constante del resorte (o constante de elasticidad) k en una ecuación escalar, indicando que la fuerza de tracción/compresión es proporcional al desplazamiento extendido (o contracción) x :

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

lo que significa que el material responde linealmente. De manera equivalente, en términos de tensión σ , módulo de Young E y deformación ε (adimensional):

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

En general, las fuerzas que deforman los sólidos pueden ser normales a una superficie del material (fuerzas normales) o tangenciales (fuerzas de corte), esto se puede describir matemáticamente usando el tensor de tensiones :

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

donde C es el tensor de elasticidad y S es el tensor de adaptabilidad .

Deformaciones en estado sólido

Varias clases de deformaciones en materiales elásticos son las siguientes: ^[4]

El plastico

La fuerza aplicada induce deformaciones no recuperables en el material cuando la tensión (o deformación elástica) alcanza una magnitud crítica, llamada límite elástico.

Elástico

El material recupera su forma inicial tras la deformación.

Viscoelástico

Si las contribuciones resistivas dependientes del tiempo son grandes, no pueden despreciarse. Los cauchos y los plásticos tienen esta propiedad y ciertamente no satisfacen la ley de Hooke. De hecho, se produce histéresis elástica.

anelástico

Si el material es casi elástico, pero la fuerza aplicada induce fuerzas resistivas adicionales dependientes del tiempo (es decir, dependen de la tasa de cambio de extensión/compresión, además de la extensión/compresión). Los metales y las cerámicas tienen esta característica, pero suele ser insignificante, aunque no tanto cuando se produce calentamiento por fricción (como vibraciones o esfuerzos cortantes en las máquinas).

Hiperelástico

La fuerza aplicada induce desplazamientos en el material siguiendo una función de densidad de energía de deformación .

Colisiones

La velocidad relativa de separación v _separación de un objeto A después de una colisión con otro objeto B está relacionada con la velocidad relativa de aproximación v _{aproximación} por el coeficiente de restitución , definido por la ley experimental del impacto de Newton : ^[5]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}}$

que depende de los materiales de los que están hechos A y B, ya que la colisión implica interacciones en las superficies de A y B. Generalmente 0 ≤ e ≤ 1 , en el que e = 1 para colisiones completamente elásticas y e = 0 para colisiones completamente inelásticas . Es posible que ocurra e ≥ 1 – para colisiones superelásticas (o explosivas).

Deformación de fluidos

La ecuación de arrastre da la fuerza de arrastre D sobre un objeto de área de sección transversal A que se mueve a través de un fluido de densidad ρ a velocidad v (en relación con el fluido)

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

donde el coeficiente de arrastre (adimensional) c _d depende de la geometría del objeto y de las fuerzas de arrastre en la interfaz entre el fluido y el objeto.

Para un fluido newtoniano de viscosidad μ , el esfuerzo cortante τ está relacionado linealmente con la tasa de deformación ( gradiente de velocidad de flujo transversal ) ∂ u /∂ y (unidades s ⁻¹ ). En un flujo de corte uniforme :

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

con u ( y ) la variación de la velocidad del flujo u en la dirección del flujo cruzado (transversal) y . En general, para un fluido newtoniano, la relación entre los elementos τ _ij del tensor de esfuerzo cortante y la deformación del fluido viene dada por

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  con y  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

donde v _i son los componentes del vector de velocidad de flujo en las direcciones de coordenadas x _i correspondientes, e _ij son los componentes del tensor de velocidad de deformación, Δ es la velocidad de deformación volumétrica (o velocidad de dilatación) y δ _ij es el delta de Kronecker . ^[6]

La ley de los gases ideales es una relación constitutiva en el sentido de que la presión p y el volumen V están relacionados con la temperatura T , a través del número de moles n de gas:

${\displaystyle pV=nRT}$

donde R es la constante de los gases (J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ).

Electromagnetismo

Ecuaciones constitutivas en electromagnetismo y áreas afines.

Tanto en la física clásica como en la cuántica , la dinámica precisa de un sistema forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas , que casi siempre son demasiado complicadas para resolverse exactamente, incluso al nivel de la mecánica estadística . En el contexto del electromagnetismo, esta observación se aplica no sólo a la dinámica de cargas y corrientes libres (que entran directamente en las ecuaciones de Maxwell), sino también a la dinámica de cargas y corrientes ligadas (que entran en las ecuaciones de Maxwell a través de las relaciones constitutivas). Como resultado, normalmente se utilizan varios esquemas de aproximación.

Por ejemplo, en materiales reales se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, véase magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , modelado de plasma . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, teoría de la respuesta lineal , relaciones Green-Kubo y función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Estas complejas teorías proporcionan fórmulas detalladas para las relaciones constitutivas que describen la respuesta eléctrica de diversos materiales, como permitividades , permeabilidades , conductividades , etc.

Es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y E , y el campo magnético H, H y B , antes de hacer cálculos en electromagnetismo (es decir, aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell). Estas ecuaciones especifican la respuesta de la carga y la corriente ligadas a los campos aplicados y se denominan relaciones constitutivas.

La determinación de la relación constitutiva entre los campos auxiliares D y H y los campos E y B comienza con la definición de los propios campos auxiliares:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas microscópicas ligadas y corriente ligada, respectivamente. Antes de abordar cómo calcular M y P, resulta útil examinar los siguientes casos especiales.

Sin materiales magnéticos ni dieléctricos

En ausencia de materiales magnéticos o dieléctricos, las relaciones constitutivas son simples:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

donde ε ₀ y μ ₀ son dos constantes universales, llamadas permitividad del espacio libre y permeabilidad del espacio libre, respectivamente.

Materiales lineales isotrópicos.

En un material lineal ( isotrópico ^{[7] ), donde} P es proporcional a E y M es proporcional a B , las relaciones constitutivas también son sencillas. En términos de la polarización P y la magnetización M son:

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

donde χ _e y χ _m son las susceptibilidades eléctrica y magnética de un material determinado, respectivamente. En términos de D y H las relaciones constitutivas son:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

donde ε y μ son constantes (que dependen del material), llamadas permitividad y permeabilidad , respectivamente, del material. Estos se relacionan con las susceptibilidades por:

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

Caso general

Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas no son lineales, excepto aproximadamente. Calcular las relaciones constitutivas a partir de primeros principios implica determinar cómo se crean P y M a partir de E y B dados . ^{[nota 1]} Estas relaciones pueden ser empíricas (basadas directamente en mediciones) o teóricas (basadas en la mecánica estadística , la teoría del transporte u otras herramientas de la física de la materia condensada ). El detalle empleado puede ser macroscópico o microscópico , dependiendo del nivel necesario para el problema bajo escrutinio.

En general, las relaciones constitutivas todavía se pueden escribir:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

pero ε y μ no son, en general, constantes simples, sino funciones de E , B , posición y tiempo, y de naturaleza tensorial. Ejemplos son:

• Dispersión y absorción donde ε y μ son funciones de la frecuencia. (La causalidad no permite que los materiales sean no dispersivos; véase, por ejemplo, las relaciones de Kramers-Kronig ). Tampoco es necesario que los campos estén en fase, lo que lleva a que ε y μ sean complejos . Esto también conduce a la absorción.
• No linealidad donde ε y μ son funcionesde E y B.
• Anisotropía (como birrefringencia o dicroísmo ) que ocurre cuando ε y μ son tensores de segundo rango,
  $${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}$$
• Dependencia de P y M de E y B en otros lugares y momentos. Esto podría deberse a la falta de homogeneidad espacial ; por ejemplo, en una estructura dominada , heteroestructura o un cristal líquido , o más comúnmente en la situación en la que simplemente hay múltiples materiales que ocupan diferentes regiones del espacio. O podría deberse a un medio que varía en el tiempo o a una histéresis . En tales casos, P y M se pueden calcular como: ^{[8] [9]}
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}}$$
  en el que las funciones de permitividad y permeabilidad se reemplazan por integrales sobre las susceptibilidades eléctricas y magnéticas más generales . ^[10] En materiales homogéneos, la dependencia de otras ubicaciones se conoce como dispersión espacial .

Como variación de estos ejemplos, en general los materiales son bianisotrópicos donde D y B dependen tanto de E como de H , a través de las constantes de acoplamiento adicionales ξ y ζ : ^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

En la práctica, algunas propiedades de los materiales tienen un impacto insignificante en circunstancias particulares, lo que permite ignorar efectos pequeños. Por ejemplo: las no linealidades ópticas pueden despreciarse para intensidades de campo bajas; la dispersión del material no es importante cuando la frecuencia se limita a un ancho de banda estrecho ; la absorción del material puede despreciarse para longitudes de onda para las cuales un material es transparente; y los metales con conductividad finita a menudo se aproximan en microondas o longitudes de onda más largas como metales perfectos con conductividad infinita (formando barreras duras con profundidad de penetración de campo de piel cero).

Algunos materiales fabricados por el hombre, como los metamateriales y los cristales fotónicos, están diseñados para tener una permitividad y permeabilidad personalizadas.

Cálculo de relaciones constitutivas.

El cálculo teórico de las ecuaciones constitutivas de un material es una tarea común, importante y, a veces, difícil en la física teórica de la materia condensada y la ciencia de materiales . En general, las ecuaciones constitutivas se determinan teóricamente calculando cómo responde una molécula a los campos locales a través de la fuerza de Lorentz . Es posible que también sea necesario modelar otras fuerzas, como las vibraciones de la red en cristales o las fuerzas de enlace. La inclusión de todas las fuerzas conduce a cambios en la molécula que se utilizan para calcular P y M en función de los campos locales.

Los campos locales se diferencian de los campos aplicados debido a los campos producidos por la polarización y magnetización del material cercano; un efecto que también necesita ser modelado. Además, los materiales reales no son medios continuos ; los campos locales de materiales reales varían enormemente en la escala atómica. Los campos deben promediarse sobre un volumen adecuado para formar una aproximación continua.

Estas aproximaciones del continuo a menudo requieren algún tipo de análisis mecánico cuántico , como la teoría cuántica de campos aplicada a la física de la materia condensada . Véase, por ejemplo, teoría funcional de la densidad , relaciones Green-Kubo y función de Green .

Un conjunto diferente de métodos de homogeneización (que evolucionan a partir de una tradición en el tratamiento de materiales como conglomerados y laminados ) se basan en la aproximación de un material no homogéneo mediante un medio efectivo ^{homogéneo [12] [13]} (válido para excitaciones con longitudes de onda mucho mayores que la escala de la falta de homogeneidad). ^{[14] [15] [16] [17]}

El modelado teórico de las propiedades de aproximación del continuo de muchos materiales reales a menudo también se basa en mediciones experimentales. ^[18] Por ejemplo, ε de un aislante a bajas frecuencias se puede medir convirtiéndolo en un condensador de placas paralelas , y ε a frecuencias de luz óptica a menudo se mide mediante elipsometría .

Propiedades termoeléctricas y electromagnéticas de la materia.

Estas ecuaciones constitutivas se utilizan a menudo en cristalografía , un campo de la física del estado sólido . ^[19]

fotónica

Índice de refracción

El índice de refracción (absoluto) de un medio n (adimensional) es una propiedad inherentemente importante de la óptica geométrica y física definida como la relación entre la velocidad luminal en el vacío c ₀ y la del medio c :

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

donde ε es la permitividad y ε _r la permitividad relativa del medio, así mismo μ es la permeabilidad y μ _r son la permeabilidad relativa del medio. La permitividad del vacío es ε ₀ y la permeabilidad al vacío es μ ₀ . En general, n (también ε _r ) son números complejos .

El índice de refracción relativo se define como la relación de los dos índices de refracción. Absoluto es para material, relativo se aplica a cada par posible de interfaces;

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

Velocidad de la luz en la materia.

Como consecuencia de la definición, la velocidad de la luz en la materia es

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

para casos especiales de vacío; ε = ε ₀ y μ = μ ₀ ,

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Efecto piezoóptico

El efecto piezoóptico relaciona las tensiones en los sólidos σ con la impermeabilidad dieléctrica a , que están acopladas por un tensor de cuarto rango llamado coeficiente piezoóptico Π (unidades K ⁻¹ ):

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

Fenómenos de transporte

Definiciones

Leyes definitivas

Existen varias leyes que describen el transporte de materia, o sus propiedades, de forma casi idéntica. En todos los casos, en palabras se lee:

El flujo (densidad) es proporcional a un gradiente , la constante de proporcionalidad es la característica del material.

En general, la constante debe reemplazarse por un tensor de segundo rango, para tener en cuenta las dependencias direccionales del material.

Ver también

• Definición de ecuación (química física)
• Equación gobernante
• Principio de objetividad material.
• Reología

Notas

1. Las cargas y corrientes libres responden a los campos mediante la ley de fuerza de Lorentz y esta respuesta se calcula a un nivel fundamental mediante la mecánica. La respuesta de cargas y corrientes ligadas se aborda utilizando métodos más generales incluidos en las nociones de magnetización y polarización. Dependiendo del problema, uno puede optar por no tener ningún cargo gratuito.

Referencias

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2. Véase el relato de Truesdell en Truesdell La naturalización y apoteosis de Walter Noll . Véase también el relato de Noll y el tratado clásico de ambos autores: Clifford Truesdell & Walter Noll – Stuart S. Antman (editor) (2004). "Prefacio" (Publicado originalmente como Volumen III/3 de la famosa Enciclopedia de Física en 1965) . Las teorías de campos no lineales de la mecánica (3ª ed.). Saltador. pag. xiii. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=tiene nombre genérico ( ayuda )
3. Jørgen Rammer (2007). Teoría cuántica de campos de estados de no equilibrio. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-87499-1.
4. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
5. Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, segunda edición, 1978, John Murray, ISBN 0 7195 3382 1 
6. Kay, JM (1985). Mecánica de Fluidos y Procesos de Transferencia . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 10 y 122-124. ISBN 9780521316248.
7. La generalización a materiales no isotrópicos es sencilla; simplemente reemplace las constantes con cantidades tensoriales .
8. Halevi, Peter (1992). Dispersión espacial en sólidos y plasmas . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-87405-4.
9. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
10. Tenga en cuenta que el término 'susceptibilidad magnética' utilizado aquí está en términos de B y es diferente de la definición estándar en términos de H.
11. TG Mackay; A Lakhtakia (2010). Anisotropía y bianisotropía electromagnética: una guía de campo. Científico mundial. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2010 . Consultado el 22 de mayo de 2012 .
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13. Habib Ammari; Hyeonbae Kang (2006). Problemas inversos, análisis multiescala y teoría del medio eficaz: taller en Seúl, Problemas inversos, análisis multiescala y homogeneización, 22 al 24 de junio de 2005, Universidad Nacional de Seúl, Seúl, Corea. Providence RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 282.ISBN​ 0-8218-3968-3.
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