El área de superficie (símbolo A ) de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. [1] La definición matemática del área de superficie en presencia de superficies curvas es considerablemente más complicada que la definición de la longitud de arco de curvas unidimensionales, o del área de superficie para poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas ), para las cuales el área de la superficie es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera , se les asigna un área de superficie utilizando su representación como superficies paramétricas . Esta definición de área de superficie se basa en métodos de cálculo infinitesimal e implica derivadas parciales y doble integración .
Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general de superficie a principios del siglo XX. Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría de la medida geométrica , que estudia diversas nociones de superficie para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.
Si bien las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa del área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función.
que asigna un número real positivo a una determinada clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área superficial es su aditividad : el área del todo es la suma de las áreas de las partes . Más rigurosamente, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S 1 , …, S r que no se superponen excepto en sus límites, entonces
Las áreas de superficie de formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente . Dado que el área de superficie es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser iguales y el área debe depender sólo de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área de superficie es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos . Estas propiedades caracterizan de forma única el área de superficie de una amplia clase de superficies geométricas llamadas lisas por partes . Estas superficies constan de un número finito de piezas que se pueden representar en forma paramétrica.
con una función continuamente diferenciable El área de una pieza individual está definida por la fórmula
Así, el área de S D se obtiene integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región apropiada D en el plano paramétrico uv . El área de toda la superficie se obtiene luego sumando las áreas de las piezas, utilizando la aditividad de superficie. La fórmula principal se puede especializar en diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de gráficas z = f ( x , y ) y superficies de revolución .
Una de las sutilezas del área de superficie, en comparación con la longitud del arco de las curvas, es que el área de superficie no puede definirse simplemente como el límite de áreas de formas poliédricas que se aproximan a una superficie lisa dada. Hermann Schwarz demostró que, ya para el cilindro, diferentes elecciones de superficies planas aproximadas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como linterna de Schwarz . [2] [3]
A finales del siglo XIX y principios del XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron varios enfoques para una definición general de superficie . Si bien para las superficies lisas por partes existe una noción natural única de área de superficie, si una superficie es muy irregular o rugosa, es posible que no sea posible asignarle un área en absoluto. Un ejemplo típico lo da una superficie con púas distribuidas de forma densa. Muchas superficies de este tipo ocurren en el estudio de los fractales . En la teoría de la medida geométrica se estudian ampliaciones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares . Un ejemplo específico de tal extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.
Las fórmulas dadas a continuación se pueden usar para mostrar que el área de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 2: 3 , de la siguiente manera.
Sea el radio r y la altura h (que es 2 r para la esfera).
El descubrimiento de esta relación se atribuye a Arquímedes . [4]
El área de superficie es importante en la cinética química . Aumentar el área de superficie de una sustancia generalmente aumenta la velocidad de una reacción química . Por ejemplo, el hierro en polvo fino arderá , mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable como para usarlo en estructuras. Para diferentes aplicaciones se puede desear una superficie mínima o máxima.
La superficie de un organismo es importante en varias consideraciones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión . Los animales usan sus dientes para triturar los alimentos en partículas más pequeñas, aumentando la superficie disponible para la digestión. El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades , lo que aumenta considerablemente el área disponible para la absorción. Los elefantes tienen orejas grandes , lo que les permite regular su propia temperatura corporal. En otros casos, los animales necesitarán minimizar la superficie; por ejemplo, las personas cruzan los brazos sobre el pecho cuando tienen frío para minimizar la pérdida de calor.
La relación entre el área de superficie y el volumen (SA:V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que el área de superficie, lo que limita la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular hacia los espacios intersticiales. o a otras células. De hecho, al representar una celda como una esfera idealizada de radio r , el volumen y el área de superficie son, respectivamente, V = (4/3) πr 3 y SA = 4 πr 2 . La relación entre superficie y volumen resultante es, por tanto, 3/ r . Así, si una celda tiene un radio de 1 μm, la relación SA:V es 3; mientras que si el radio de la celda es de 10 μm, entonces la relación SA:V pasa a ser 0,3. Con un radio de celda de 100, la relación SA:V es 0,03. Por tanto, la superficie disminuye bruscamente al aumentar el volumen.
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