Cuatro corrientes

Análogo 4D de la densidad de corriente eléctrica

En relatividad especial y general , la corriente de cuatro dimensiones (técnicamente, la densidad de corriente de cuatro dimensiones ) ^[1] es el análogo de cuatro dimensiones de la densidad de corriente , con unidades de carga por unidad de tiempo por unidad de área. También conocida como corriente vectorial , se utiliza en el contexto geométrico del espacio-tiempo de cuatro dimensiones , en lugar de separar el tiempo del espacio tridimensional . Matemáticamente es un cuatro-vector y es covariante de Lorentz .

En este artículo se utiliza la convención de suma para los índices. Consulte la covarianza y la contravarianza de vectores para obtener información general sobre los índices elevados y reducidos, y sobre cómo alternar entre índices elevados y reducidos .

Definición

Utilizando la métrica de Minkowski de firma métrica (+ − − −) , los cuatro componentes de corriente se dan por: ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

dónde:

• c es la velocidad de la luz ;
• ρ es la densidad de carga volumétrica ;
• j es la densidad de corriente convencional ;
• El índice ficticio α etiqueta las dimensiones del espacio-tiempo .

Movimiento de cargas en el espacio-tiempo

Esto también se puede expresar en términos de cuatro velocidades mediante la ecuación: ^{[2] [3]}

${\displaystyle J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho _{u}}$es la densidad de carga medida por un observador inercial O que ve la corriente eléctrica moviéndose a una velocidad u (la magnitud de la 3-velocidad );
• ${\displaystyle \rho _{0}}$es “la densidad de carga en reposo”, es decir, la densidad de carga para un observador comóvil (un observador que se mueve a la velocidad u - con respecto al observador inercial O - junto con las cargas).

Cualitativamente, el cambio en la densidad de carga (carga por unidad de volumen) se debe al volumen de carga contraído debido a la contracción de Lorentz .

Interpretación física

Las cargas (libres o distribuidas) en reposo parecen permanecer en la misma posición espacial durante un intervalo de tiempo (siempre que estén estacionarias). Cuando se mueven, esto corresponde a cambios de posición, por lo tanto, las cargas tienen velocidad y el movimiento de carga constituye una corriente eléctrica. Esto significa que la densidad de carga está relacionada con el tiempo, mientras que la densidad de corriente está relacionada con el espacio.

La cuatro corrientes unifica la densidad de carga (relacionada con la electricidad) y la densidad de corriente (relacionada con el magnetismo) en una entidad electromagnética.

Ecuación de continuidad

En relatividad especial, el enunciado de conservación de carga es que la divergencia invariante de Lorentz de J es cero: ^[4]

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

donde es el gradiente cuádruple . Esta es la ecuación de continuidad . ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$

En relatividad general, la ecuación de continuidad se escribe como:

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}$

donde el punto y coma representa una derivada covariante .

Ecuaciones de Maxwell

La cuatro-corriente aparece en dos formulaciones equivalentes de las ecuaciones de Maxwell , en términos del cuatro-potencial ^[5] cuando se cumple la condición de calibre de Lorenz :

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

¿Dónde está el operador D'Alembert , o el tensor del campo electromagnético : ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

donde μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre y ∇ _α es la derivada covariante .

Relatividad general

En relatividad general , la cuatro corriente se define como la divergencia del desplazamiento electromagnético, definido como:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}$

entonces:

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Teoría cuántica de campos

La densidad de carga de cuatro corrientes es un componente esencial de la densidad lagrangiana utilizada en la electrodinámica cuántica. ^[6] En 1956, Semyon Gershtein y Yakov Zeldovich consideraron la hipótesis de la corriente vectorial conservada (CVC) para las interacciones electrodébiles. ^{[7] [8] [9]}

Véase también

• Cuatro vectores
• Teorema de Noether
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Cálculo de Ricci

Referencias

1. Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford Science Publications. pp. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0.
2. Roald K. Wangsness, Campos electromagnéticos, 2.ª edición (1986), pág. 518, 519
3. Melvin Schwartz, Principios de electrodinámica, edición de Dover (1987), pág. 122, 123
4. JD Jackson, Electrodinámica clásica, 3.ª edición (1999), pág. 554
5. como [ref. 1, p519]
6. Cottingham, W. Noel; Greenwood, Derek A. (2003). Introducción al modelo estándar de física de partículas. Cambridge University Press. pág. 67. ISBN 9780521588324.
7. Marshak, Robert E. (1993). Fundamentos conceptuales de la física de partículas moderna . World Scientific Publishing Company. pág. 20. ISBN 9789813103368.
8. Gershtein, SS; Zeldovich, YB (1956), Física soviética. JETP , 2 576.
9. Thomas, Anthony W. (1996). "CVC en física de partículas". arXiv : nucl-th/9609052 .