Lógica modal epistémica

La lógica modal epistémica es un subcampo de la lógica modal que se ocupa del razonamiento sobre el conocimiento . Si bien la epistemología tiene una larga tradición filosófica que se remonta a la antigua Grecia , la lógica epistémica es un desarrollo mucho más reciente con aplicaciones en muchos campos, incluida la filosofía , la informática teórica , la inteligencia artificial , la economía y la lingüística . Si bien los filósofos desde Aristóteles han discutido la lógica modal, y los filósofos medievales como Avicena , Ockham y Duns Escoto desarrollaron muchas de sus observaciones, fue CI Lewis quien creó el primer enfoque simbólico y sistemático del tema, en 1912. Continuó madurando. como campo, alcanzando su forma moderna en 1963 con el trabajo de Kripke .

Desarrollo historico

En la década de 1950 se escribieron muchos artículos que hablaban de una lógica del conocimiento de pasada, pero el artículo de 1951 del filósofo finlandés GH von Wright titulado An Essay in Modal Logic se considera un documento fundacional. No fue hasta 1962 que otro finlandés, Hintikka , escribiría Conocimiento y creencia , el primer libro de extensión que sugiere el uso de modalidades para capturar la semántica del conocimiento en lugar de las declaraciones aléticas típicamente discutidas en la lógica modal. Este trabajo sentó muchas de las bases para el tema, pero desde entonces se han realizado muchas investigaciones. Por ejemplo, la lógica epistémica se ha combinado recientemente con algunas ideas de la lógica dinámica para crear una lógica epistémica dinámica , que puede usarse para especificar y razonar sobre el cambio de información y el intercambio de información en sistemas de múltiples agentes . Las obras fundamentales en este campo son las de Plaza, Van Benthem y Baltag, Moss y Solecki.

Modelo estándar de mundos posibles

La mayoría de los intentos de modelar el conocimiento se han basado en el modelo de mundos posibles . Para ello, debemos dividir el conjunto de mundos posibles entre aquellos que son compatibles con el conocimiento de un agente y aquellos que no lo son. Esto generalmente se ajusta al uso común. Si sé que es viernes o sábado, entonces sé con certeza que no es jueves. No hay ningún mundo posible compatible con mi conocimiento donde sea jueves, ya que en todos estos mundos es viernes o sábado. Si bien discutiremos principalmente el enfoque basado en la lógica para realizar esta tarea, vale la pena mencionar aquí el otro método principal en uso, el enfoque basado en eventos . En este uso particular, los acontecimientos son conjuntos de mundos posibles y el conocimiento es un operador de los acontecimientos. Aunque las estrategias están estrechamente relacionadas, hay que hacer dos distinciones importantes entre ellas:

• El modelo matemático subyacente del enfoque basado en la lógica es la semántica de Kripke , mientras que el enfoque basado en eventos emplea las estructuras de Aumann relacionadas basadas en la teoría de conjuntos .
• En el enfoque basado en eventos, las fórmulas lógicas se eliminan por completo, mientras que el enfoque basado en lógica utiliza el sistema de lógica modal.

Normalmente, el enfoque basado en la lógica se ha utilizado en campos como la filosofía, la lógica y la inteligencia artificial, mientras que el enfoque basado en eventos se utiliza con mayor frecuencia en campos como la teoría de juegos y la economía matemática . En el enfoque basado en la lógica, se ha construido una sintaxis y una semántica utilizando el lenguaje de la lógica modal, que describiremos a continuación.

Sintaxis

El operador modal básico de la lógica epistémica, generalmente escrito K , puede leerse como "se sabe que", "es epistémicamente necesario que" o "es inconsistente con lo que se sabe que no". Si hay más de un agente cuyo conocimiento se va a representar, se pueden adjuntar subíndices al operador ( , , etc.) para indicar de qué agente se está hablando. Por lo tanto, puede leerse como "El agente lo sabe ". Así, la lógica epistémica puede ser un ejemplo de lógica multimodal aplicada a la representación del conocimiento . ^[1] El dual de K , que estaría en la misma relación con K que con , no tiene símbolo específico, pero puede representarse mediante , que puede leerse como " no sabe que no " o "Es consistente con el conocimiento que es posible". La afirmación " no sabe si o no " se puede expresar como . ${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$

Para dar cabida a las nociones de conocimiento común (por ejemplo, en Muddy Children Puzzle ) y conocimiento distribuido , se pueden agregar otros tres operadores modales al lenguaje. Estos son , que reza “todo agente del grupo G sabe” ( conocimiento mutuo ); , que dice "es de conocimiento común para todos los agentes en G"; y , que dice "se distribuye conocimiento a todo el grupo G". Si es una fórmula de nuestro lenguaje, entonces también lo son , y . Así como el subíndice posterior se puede omitir cuando solo hay un agente, el subíndice posterior a los operadores modales , y se puede omitir cuando el grupo es el conjunto de todos los agentes. ${\displaystyle {\mathit {E}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {C}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {D}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {E}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {K}}}$ ${\displaystyle {\mathit {E}}}$ ${\displaystyle {\mathit {C}}}$ ${\displaystyle {\mathit {D}}}$

Semántica

Como se mencionó anteriormente, el enfoque basado en la lógica se basa en el modelo de mundos posibles, cuya semántica a menudo recibe forma definida en las estructuras de Kripke, también conocidas como modelos de Kripke. Una estructura de Kripke para n agentes sobre el conjunto de todas las proposiciones primitivas es una tupla, donde hay un conjunto no vacío de estados o mundos posibles , es una interpretación que asocia con cada estado una asignación de verdad a las proposiciones primitivas en , y son relaciones binarias para n números de agentes. Es importante aquí no confundir , nuestro operador modal, y , nuestra relación de accesibilidad. ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle S,\pi ,K_{1},\dots ,K_{n}\rangle }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (n+2)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

La asignación de verdad nos dice si una proposición es verdadera o falsa en un estado determinado. Entonces nos dice si es cierto en el estado del modelo . La verdad depende no sólo de la estructura, sino también del mundo actual. Sólo porque algo sea cierto en un mundo no significa que lo sea en otro. Para afirmar que una fórmula es verdadera en un mundo determinado, se escribe , que normalmente se lee como " es verdadera en " o " satisface ". ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (s)(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)\models \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Es útil pensar en nuestra relación binaria como una relación de posibilidad , porque pretende capturar qué mundos o estados el agente i considera posibles; En otras palabras, si y sólo si y tales se denominan alternativas epistémicas para el agente i . En explicaciones idealizadas del conocimiento (por ejemplo, al describir el estatus epistémico de razonadores perfectos con capacidad de memoria infinita), tiene sentido que sea una relación de equivalencia , ya que es la forma más fuerte y la más apropiada para el mayor número de aplicaciones. Una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva . La relación de accesibilidad no tiene por qué tener estas cualidades; Ciertamente, existen otras opciones posibles, como las que se utilizan al modelar creencias en lugar de conocimientos. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ ${\displaystyle w{\mathcal {K}}_{i}v}$ ${\displaystyle \forall \varphi [(w\models K_{i}\varphi )\implies (v\models \varphi )]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Las propiedades del conocimiento.

Suponiendo que se trata de una relación de equivalencia y que los agentes son razonadores perfectos, se pueden derivar algunas propiedades del conocimiento. Las propiedades enumeradas aquí a menudo se conocen como "Propiedades S5", por los motivos que se describen en la sección Sistemas Axiom a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

El axioma de la distribución.

Este axioma se conoce tradicionalmente como K. En términos epistémicos, afirma que si un agente sabe y sabe eso , entonces el agente también debe saber . Entonces, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \implies \psi }$ ${\displaystyle \,\psi }$

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

Este axioma es válido en cualquier marco de la semántica relacional . Este axioma establece lógicamente el modus ponens como regla de inferencia para todo mundo epistémicamente posible.

La regla de generalización del conocimiento.

Otra propiedad que podemos derivar es que si es válido (es decir, una tautología ), entonces . Esto no significa que si es cierto, entonces el agente i lo sabe . Lo que significa es que si es cierto en todos los mundos que un agente considera un mundo posible, entonces el agente debe saberlo en todos los mundos posibles. Este principio se denomina tradicionalmente N (regla de necesidad). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{i}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

Esta regla siempre preserva la verdad en la semántica relacional .

El axioma del conocimiento o de la verdad.

Este axioma también se conoce como T. Dice que si un agente conoce los hechos, los hechos deben ser verdaderos. Esto se ha considerado a menudo como el principal rasgo distintivo entre conocimiento y creencia. Podemos creer que una afirmación es verdadera cuando es falsa, pero sería imposible conocer una afirmación falsa.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

Este axioma también se puede expresar en su contraposición de que los agentes no pueden conocer una afirmación falsa:

${\displaystyle \varphi \implies \neg K_{i}\neg \varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco reflexivo .

El axioma de la introspección positiva

Esta propiedad y la siguiente afirman que un agente tiene introspección sobre su propio conocimiento y se conocen tradicionalmente como 4 y 5 , respectivamente. El Axioma de Introspección Positiva, también conocido como Axioma KK, dice específicamente que los agentes saben que saben lo que saben . Este axioma puede parecer menos obvio que los enumerados anteriormente, y Timothy Williamson ha argumentado enérgicamente en contra de su inclusión en su libro Knowledge and Its Limits .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

De manera equivalente, este axioma modal 4 dice que los agentes no saben lo que no saben que saben.

${\displaystyle \neg K_{i}K_{i}\varphi \implies \neg K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier sistema transitivo .

El axioma de la introspección negativa

El axioma de la introspección negativa dice que los agentes saben que no saben lo que no saben .

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

O, de manera equivalente, este axioma modal 5 dice que los agentes saben lo que no saben y que no saben.

${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco euclidiano .

Sistemas de axiomas

Se pueden derivar diferentes lógicas modales tomando diferentes subconjuntos de estos axiomas, y estas lógicas normalmente reciben el nombre de los axiomas importantes que se emplean. Sin embargo, este no es siempre el caso. KT45, la lógica modal que resulta de la combinación de K , T , 4 , 5 y la regla de generalización del conocimiento, se conoce principalmente como S5 . Es por eso que las propiedades del conocimiento descritas anteriormente a menudo se denominan Propiedades S5. Sin embargo, se puede demostrar que el axioma modal B es un teorema en S5 (a saber, ), que dice que lo que un agente no sabe que no sabe es verdadero: . El axioma modal B es verdadero en cualquier marco simétrico, pero es muy contrario a la intuición en la lógica epistémica: ¿Cómo puede la ignorancia de la propia ignorancia implicar verdad? Por lo tanto, es discutible si S4 describe mejor la lógica epistémica que S5. ${\displaystyle S5\vdash \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies \varphi }$

La lógica epistémica también se ocupa de las creencias, no sólo del conocimiento. El operador modal básico suele escribirse B en lugar de K. Sin embargo, en este caso, el axioma del conocimiento ya no parece correcto (los agentes sólo a veces creen en la verdad), por lo que generalmente se reemplaza por el axioma de consistencia, tradicionalmente llamado D :

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

que afirma que el agente no cree en una contradicción, o en aquello que es falso. Cuando D reemplaza a T en S5, el sistema resultante se conoce como KD45. Esto también da como resultado diferentes propiedades . Por ejemplo, en un sistema donde un agente "cree" que algo es cierto, pero en realidad no lo es, la relación de accesibilidad sería no reflexiva. La lógica de la creencia se llama lógica doxástica . ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Sistemas multiagente

Cuando hay múltiples agentes en el dominio del discurso donde cada agente i corresponde a un operador modal epistémico separado , además de los esquemas de axiomas para cada agente individual enumerados anteriormente para describir la racionalidad de cada agente, generalmente también se supone que la racionalidad de cada agente es de conocimiento común . ${\displaystyle K_{i}}$

Problemas con el modelo mundial posible y el modelo modal de conocimiento.

Si adoptamos el enfoque del conocimiento de los mundos posibles, se deduce que nuestro agente epistémico conoce todas las consecuencias lógicas de sus creencias (conocido como omnisciencia lógica ^[2] ). Si es una consecuencia lógica de , entonces no hay mundo posible donde sea cierto pero no lo sea. Entonces, si a sabe que eso es cierto, se deduce que todas las consecuencias lógicas de son verdaderas para todos los mundos posibles compatibles con sus creencias. Por lo tanto, a sabe . No es epistémicamente posible para alguien que no, dado su conocimiento de que . Esta consideración fue parte de lo que llevó a Robert Stalnaker a desarrollar el bidimensionalismo , que posiblemente pueda explicar cómo es posible que no conozcamos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias, incluso si no hay mundos donde las proposiciones que conocemos resulten verdaderas pero sus consecuencias falsas. . ^[3] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Incluso cuando ignoramos la posible semántica del mundo y nos atenemos a los sistemas axiomáticos, esta característica peculiar se mantiene. Con K y N (la regla de distribución y la regla de generalización del conocimiento, respectivamente), que son axiomas que son mínimamente ciertos de todas las lógicas modales normales, podemos demostrar que conocemos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias. Si es una consecuencia lógica de (es decir , tenemos la tautología ), entonces podemos derivar con N , y usando una prueba condicional con el axioma K , podemos derivar con K. Cuando traducimos esto en términos epistémicos, dice que si es una consecuencia lógica de , entonces a sabe que lo es, y si a sabe , a sabe . Es decir, a conoce todas las consecuencias lógicas de cada proposición. Esto es necesariamente cierto para todas las lógicas modales clásicas. Pero entonces, por ejemplo, si a sabe que los números primos son divisibles sólo por sí mismos y el número uno, entonces a sabe que 8683317618811886495518194401279999999 es primo (ya que este número sólo es divisible por sí mismo y el número uno). Es decir, según la interpretación modal del conocimiento, cuando a conoce la definición de un número primo, sabe que este número es primo. Esto se generaliza a cualquier teorema demostrable en cualquier teoría axiomática (es decir, si a conoce todos los axiomas de una teoría, entonces conoce todos los teoremas demostrables de esa teoría). Debería quedar claro en este punto que a no es humano (de lo contrario, no habría conjeturas matemáticas sin resolver, como el problema P versus NP o la conjetura de Goldbach ). Esto muestra que la lógica modal epistémica es una explicación idealizada del conocimiento y explica el conocimiento objetivo, más que subjetivo (en todo caso). ^[4] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \models (P\rightarrow Q)}$ ${\displaystyle K_{a}(P\rightarrow Q)}$ ${\displaystyle K_{a}P\rightarrow K_{a}Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Falacia epistémica (falacia del hombre enmascarado)

En lógica filosófica , la falacia del hombre enmascarado (también conocida como falacia intensional o falacia epistémica) se comete cuando se hace un uso ilícito de la ley de Leibniz en un argumento. La falacia es "epistémica" porque postula una identidad inmediata entre el conocimiento que un sujeto tiene de un objeto con el objeto mismo, sin reconocer que la Ley de Leibniz no es capaz de dar cuenta de contextos intensionales .

Ejemplos

El nombre de la falacia proviene del ejemplo:

• Premisa 1 : Sé quién es Bob.
• Premisa 2 : No sé quién es el enmascarado
• Conclusión : Por tanto, Bob no es el hombre enmascarado.

Las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa si Bob es el hombre enmascarado y el hablante no lo sabe. Por tanto, el argumento es falaz.

En forma simbólica, los argumentos anteriores son

• Premisa 1: sé quién es X.
• Premisa 2: No sé quién es Y.
• Conclusión: Por tanto, X no es Y.

Tenga en cuenta, sin embargo, que este silogismo ocurre en el razonamiento del hablante "yo"; Por lo tanto, en la forma lógica modal formal , será

• Premisa 1: El hablante cree saber quién es X.
• Premisa 2: El hablante cree que no sabe quién es Y.
• Conclusión: Por lo tanto, el hablante cree que X no es Y.

La premisa 1 es muy fuerte, ya que es lógicamente equivalente a . Es muy probable que se trate de una creencia falsa : es probable que se trate de una proposición falsa, ya que el desconocimiento de la proposición no implica la negación de que sea verdadera. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}\forall t(t=X\rightarrow K_{s}(t=X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{s}}}\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$ ${\displaystyle \forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$ ${\displaystyle t=X}$

Otro ejemplo:

• Premisa 1: Lois Lane cree que Superman puede volar.
• Premisa 2: Lois Lane cree que Clark Kent no puede volar.
• Conclusión: Por tanto, Superman y Clark Kent no son la misma persona.

Expresado en lógica doxástica, el silogismo anterior es:

• Premisa 1: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}{\text{Fly}}_{\text{(Superman)}}}$
• Premisa 2: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}\neg {\text{Fly}}_{\text{(Clark)}}}$
• Conclusión: ${\displaystyle {\text{Superman}}\neq {\text{Clark}}}$

El razonamiento anterior no es válido (no preserva la verdad). La conclusión válida que se puede extraer es . ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}({\text{Superman}}\neq {\text{Clark}})}$

Ver también

• Portal de filosofía

• Cierre epistémico
• Epistemología
• Lógica epistémica dinámica
• Lógica en informática.
• Explicaciones filosóficas

Notas

1. pág. 257 en: Ferenczi, Miklós (2002). Matematikai logika (en húngaro). Budapest: Műszaki könyvkiadó. ISBN 963-16-2870-1.

   257

2. Rendsvig, Rasmus; Symons, John (2021), "Epistemic Logic", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2021), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 6 de marzo de 2022.
3. Stalnaker, Robert. "Proposiciones". Cuestiones de filosofía del lenguaje . Yale UP, 1976. pág. 101.
4. Véase Lógica para la filosofía de Ted Sider. Actualmente página 230 pero sujeto a cambios después de las actualizaciones.

Referencias

• Anderson, A. y ND Belnap. Vinculación: la lógica de la relevancia y la necesidad. Princeton: Princeton University Press , 1975. ASIN B001NNPJL8.
• Brown, Benjamin, Pensamientos y formas de pensar: teoría de las fuentes y sus aplicaciones. Londres: Ubiquity Press , 2017. [1].
• van Ditmarsch Hans, Halpern Joseph Y., van der Hoek Wiebe y Kooi Barteld (eds.), Handbook of Epistemic Logic , Londres: College Publications, 2015.
• Fagin, Ronald; Halpern, José; Moisés, Yoram; Vardi, Moshé (2003). Razonamiento sobre el Conocimiento . Cambridge: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3.. Una referencia clásica.
• Ronald Fagin, Joseph Halpern, Moshe Vardi. "Un enfoque no estándar para el problema de la omnisciencia lógica". Inteligencia Artificial , Volumen 79, Número 2, 1995, p. 203-40.
• Hendricks, VF Epistemología formal y convencional. Nueva York: Cambridge University Press , 2007.
• Hintikka, Jaakko (1962). Conocimiento y creencia: una introducción a la lógica de las dos nociones . Ítaca: Prensa de la Universidad de Cornell . ISBN 978-1-904987-08-6..
• Meyer, JJ C., 2001, "Epistemic Logic", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell .
• Montague, R. "Gramática universal". Theoretica , Volumen 36, 1970, pág. 373-398.
• Rescher, Nicolás (2005). Lógica epistémica: un estudio de la lógica del conocimiento . Prensa de la Universidad de Pittsburgh . ISBN 978-0-8229-4246-7..
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos lógicos, algorítmicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Véanse los Capítulos 13 y 14; descargable gratis en línea.

enlaces externos

• "Lógica epistémica dinámica". Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• Hendricks, Vicente; Symons, Juan. "Lógica epistémica". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Garson, James. "Lógica modal". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Vanderschraaf, Peter. "Conocimiento común". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Lógica modal epistémica en PhilPapers
• "Lógica modal epistémica"—Ho Ngoc Duc.