Lógica epistémica dinámica

La lógica epistémica dinámica (DEL) es un marco lógico que se ocupa del cambio de conocimiento e información. Normalmente, la DEL se centra en situaciones que involucran a múltiples agentes y estudia cómo cambia su conocimiento cuando ocurren eventos . Estos eventos pueden cambiar las propiedades fácticas del mundo real (se denominan eventos ónticos ): por ejemplo, una tarjeta roja se pinta de azul. También pueden provocar cambios en el conocimiento sin cambiar las propiedades fácticas del mundo (se denominan eventos epistémicos ): por ejemplo, una tarjeta se revela públicamente (o en privado) como roja. Originalmente, la DEL se centraba en los eventos epistémicos. En esta entrada solo presentamos algunas de las ideas básicas del marco original de la DEL; se pueden encontrar más detalles sobre la DEL en general en las referencias.

Por la naturaleza de su objeto de estudio y su enfoque abstracto, el DEL está relacionado y tiene aplicaciones en numerosas áreas de investigación, como la informática ( inteligencia artificial ), la filosofía ( epistemología formal ), la economía ( teoría de juegos ) y la ciencia cognitiva . En informática, el DEL está por ejemplo muy relacionado con los sistemas multiagente , que son sistemas donde múltiples agentes inteligentes interactúan e intercambian información.

Como combinación de lógica dinámica y lógica epistémica , la lógica epistémica dinámica es un campo de investigación joven. En realidad, comenzó en 1989 con la lógica de anuncio público de Plaza. ^[1] Independientemente, Gerbrandy y Groeneveld ^[2] propusieron un sistema que se ocupaba además del anuncio privado y que se inspiró en el trabajo de Veltman. ^[3] Otro sistema fue propuesto por van Ditmarsch cuya principal inspiración fue el juego Cluedo . ^[4] Pero el sistema más influyente y original fue el sistema propuesto por Baltag, Moss y Solecki. ^{[5] [6]} Este sistema puede tratar todos los tipos de situaciones estudiadas en los trabajos anteriores y su metodología subyacente está fundamentada conceptualmente. Presentaremos en esta entrada algunas de sus ideas básicas.

Formalmente, DEL extiende la lógica epistémica ordinaria mediante la inclusión de modelos de eventos para describir acciones y un operador de actualización de producto que define cómo se actualizan los modelos epistémicos como consecuencia de la ejecución de acciones descritas a través de modelos de eventos. En primer lugar, se recordará la lógica epistémica. Luego, las acciones y los eventos entrarán en escena y presentaremos el marco de DEL. ^[7]

Lógica epistémica

La lógica epistémica es una lógica modal que trata con las nociones de conocimiento y creencia. Como lógica , se ocupa de comprender el proceso de razonamiento sobre el conocimiento y la creencia: ¿qué principios que relacionan las nociones de conocimiento y creencia son intuitivamente plausibles? Al igual que la epistemología, proviene de la palabra griega o 'episteme' que significa conocimiento. Sin embargo, la epistemología se ocupa más de analizar la naturaleza misma y el alcance del conocimiento, abordando preguntas como "¿Cuál es la definición de conocimiento?" o "¿Cómo se adquiere el conocimiento?". De hecho, la lógica epistémica surgió de la epistemología en la Edad Media gracias a los esfuerzos de Burley y Ockham. ^[8] El trabajo formal, basado en la lógica modal, que inauguró la investigación contemporánea sobre la lógica epistémica se remonta solo a 1962 y se debe a Hintikka . ^[9] Luego, en la década de 1960, provocó discusiones sobre los principios del conocimiento y la creencia y se propusieron y discutieron muchos axiomas para estas nociones. ^[10] Por ejemplo, los axiomas de interacción y a menudo se consideran principios intuitivos: si un agente sabe , entonces también cree , o si un agente cree , entonces sabe que cree . Más recientemente, este tipo de teorías filosóficas fueron adoptadas por investigadores en economía , ^[11] inteligencia artificial y ciencia informática teórica ^{, [12]} donde el razonamiento sobre el conocimiento es un tema central. Debido al nuevo entorno en el que se utilizó la lógica epistémica, se agregaron nuevas perspectivas y nuevas características, como las cuestiones de computabilidad , a la agenda de investigación de la lógica epistémica. ${\displaystyle \epsilon \pi \iota \sigma \tau \eta \mu \eta }$ ${\displaystyle Kp\rightarrow Bp}$ ${\displaystyle Bp\rightarrow KBp}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Sintaxis

En la secuela, es un conjunto finito cuyos elementos se llaman agentes y es un conjunto de letras proposicionales. ${\displaystyle AGTS=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle PROP}$

El lenguaje epistémico es una extensión del lenguaje multimodal básico de la lógica modal con un operador de conocimiento común y un operador de conocimiento distribuido . Formalmente, el lenguaje epistémico se define de manera inductiva mediante la siguiente gramática en BNF : ${\displaystyle C_{A}}$ ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}^{C}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}^{C}:\phi ~~::=~~p~\mid ~\neg \phi ~\mid ~(\phi \land \phi )~\mid ~K_{j}\phi ~\mid ~C_{A}\phi ~\mid ~D_{A}\phi }$

donde , y . El lenguaje epistémico básico es el lenguaje sin los operadores de conocimiento común y conocimiento distribuido. La fórmula es una abreviatura de (para un determinado ), es una abreviatura de , es una abreviatura de y una abreviatura de . ${\displaystyle p\in PROP}$ ${\displaystyle j\in {AGTS}}$ ${\displaystyle A\subseteq {AGTS}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{EL}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{EL}^{C}}$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \neg p\land p}$ ${\displaystyle p\in PROP}$ ${\displaystyle \langle K_{j}\rangle \phi }$ ${\displaystyle \neg K_{j}\neg \phi }$ ${\displaystyle E_{A}\phi }$ ${\displaystyle \bigwedge \limits _{j\in A}K_{j}\phi }$ ${\displaystyle C\phi }$ ${\displaystyle C_{AGTS}\phi }$

Nociones de grupo: conocimiento general, común y distribuido.

En un entorno multiagente existen tres conceptos epistémicos importantes: conocimiento general, conocimiento distribuido y conocimiento común. La noción de conocimiento común fue estudiada por primera vez por Lewis en el contexto de las convenciones. ^[13] Luego fue aplicada a sistemas distribuidos ^[12] y a la teoría de juegos , ^[14] donde permite expresar que la racionalidad de los jugadores, las reglas del juego y el conjunto de jugadores son comúnmente conocidos.

Conocimiento general.

El conocimiento general de significa que todos los miembros del grupo de agentes saben que . Formalmente, esto corresponde a la siguiente fórmula: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {AGTS}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle E\phi :={\underset {j\in {AGTS}}{\bigwedge }}K_{j}\phi .}$

Conocimiento común.

El conocimiento común de significa que todo el mundo sabe pero también que todo el mundo sabe que todo el mundo sabe , que todo el mundo sabe que todo el mundo sabe , y así hasta el infinito . Formalmente, esto corresponde a la siguiente fórmula ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle C\phi :=E\phi \land EE\phi \land EEE\phi \land \ldots }$

Como no permitimos la conjunción infinita, la noción de conocimiento común tendrá que introducirse como un primitivo en nuestro lenguaje.

Antes de definir el lenguaje con este nuevo operador, vamos a dar un ejemplo introducido por Lewis que ilustra la diferencia entre las nociones de conocimiento general y conocimiento común. Lewis quería saber qué tipo de conocimiento se necesita para que la afirmación : “todo conductor debe conducir por la derecha” sea una convención entre un grupo de agentes. En otras palabras, quería saber qué tipo de conocimiento se necesita para que todos se sientan seguros de conducir por la derecha. Supongamos que solo hay dos agentes y . Entonces que todos sepan (formalmente ) no es suficiente. De hecho, todavía podría ser posible que el agente considere posible que el agente no sepa (formalmente ). En ese caso, el agente no se sentirá seguro de conducir por la derecha porque podría considerar que el agente , sin saber , podría conducir por la izquierda. Para evitar este problema, podríamos suponer que todos saben que todos saben que (formalmente ). Esto tampoco es suficiente para garantizar que todos se sientan seguros de conducir por la derecha. De hecho, todavía podría ser posible que el agente considere posible que el agente considere posible que el agente no sepa (formalmente ). En ese caso y desde el punto de vista de , considera posible que , sin saber , conduzca por la izquierda. Por lo que desde el punto de vista de , también podría conducir por la izquierda (por el mismo argumento que antes). Por lo que no se sentirá seguro conduciendo por la derecha. Razonando por inducción, Lewis demostró que para cualquier , no es suficiente que los conductores se sientan seguros conduciendo por la derecha. De hecho, lo que necesitamos es una conjunción infinita. En otras palabras, necesitamos el conocimiento común de : . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Ep}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \neg K_{i}K_{j}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle EEp}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \neg K_{i}K_{j}K_{i}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Ep\land E^{1}p\land \ldots \land E^{k}p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Cp}$

Conocimiento distribuido.

El conocimiento distribuido de significa que si los agentes reunieran sus conocimientos, sabrían que se cumple. En otras palabras, el conocimiento de se distribuye entre los agentes. La fórmula se lee como "es conocimiento distribuido entre el conjunto de agentes que se cumple". ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle D_{A}\phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$

Semántica

La lógica epistémica es una lógica modal. Por lo tanto, lo que llamamos un modelo epistémico es simplemente un modelo de Kripke tal como se define en la lógica modal. El conjunto es un conjunto no vacío cuyos elementos se llaman mundos posibles y la interpretación es una función que especifica qué hechos proposicionales (como 'Ann tiene la tarjeta roja') son verdaderos en cada uno de estos mundos. Las relaciones de accesibilidad son relaciones binarias para cada agente ; están destinadas a capturar la incertidumbre de cada agente (sobre el mundo real y sobre la incertidumbre de los otros agentes). Intuitivamente, tenemos cuando el mundo es compatible con la información del agente en mundo o, en otras palabras, cuando el agente considera que mundo podría corresponder al mundo (desde este punto de vista). Escribimos abusivamente para y denota el conjunto de mundos . ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(W,R_{1},\ldots ,R_{n},I)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I:W\rightarrow 2^{PROP}}$ ${\displaystyle R_{j}\subseteq W\times W}$ ${\displaystyle j\in AGTS}$ ${\displaystyle (w,v)\in R_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle R_{j}(w)}$ ${\displaystyle \{v\in W;(w,v)\in R_{j}\}}$

Intuitivamente, un modelo epistémico puntiagudo , donde , representa desde un punto de vista externo cómo el mundo real es percibido por los agentes . ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)}$ ${\displaystyle w\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {AGTS}}$

Para cada modelo epistémico , cada uno y cada una , definimos inductivamente mediante las siguientes condiciones de verdad : ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle w\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models \phi }$

donde es el cierre transitivo de : tenemos que si, y sólo si, hay y tales que y para todo , . ${\displaystyle \left({\underset {j\in A}{\bigcup }}R_{j}\right)^{+}}$ ${\displaystyle {\underset {j\in A}{\bigcup }}R_{j}}$ ${\displaystyle v\in \left({\underset {j\in A}{\bigcup }}R_{j}\right)^{+}(w)}$ ${\displaystyle w_{0},\ldots ,w_{m}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{m}\in A}$ ${\displaystyle w_{0}=w,w_{m}=v}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle w_{i-1}R_{j_{i}}w_{i}}$

A pesar de que la noción de creencia común debe introducirse como un primitivo en el lenguaje, podemos notar que la definición de modelos epistémicos no tiene por qué modificarse para dar valor de verdad a los operadores de conocimiento común y de conocimiento distribuido.

Ejemplo de tarjeta:

Los jugadores , y (representando a Ann, Bob y Claire) juegan a un juego de cartas con tres cartas: una roja, una verde y una azul. Cada uno de ellos tiene una sola carta, pero no conocen las cartas de los otros jugadores. Ann tiene la carta roja, Bob tiene la carta verde y Claire tiene la carta azul. Este ejemplo se representa en el modelo epistémico puntiagudo representado a continuación. En este ejemplo, y . Cada mundo está etiquetado por las letras proposicionales que son verdaderas en este mundo y corresponden al mundo real. Hay una flecha indexada por agente de un mundo posible a un mundo posible cuando . Se omiten las flechas reflexivas, lo que significa que para todos y todos , tenemos que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)}$ ${\displaystyle AGTS:=\{A,B,C\}}$ ${\displaystyle PROP:=\{{\color {red}{A}},{\color {green}{B}},{\color {blue}{C}},{\color {red}{B}},{\color {green}{C}},{\color {blue}{A}},{\color {red}{C}},{\color {green}{A}},{\color {blue}{B}}\}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle j\in \{A,B,C\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (u,v)\in R_{j}}$ ${\displaystyle j\in \{A,B,C\}}$ ${\displaystyle v\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle (v,v)\in R_{j}}$

Ejemplo de tarjeta: modelo epistémico puntiagudo ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)}$

${\displaystyle {\color {red}{A}}}$significa: " tiene la tarjeta roja" ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\color {blue}{C}}}$significa: " tiene la tarjeta azul" ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\color {green}{B}}}$significa: " tiene la tarjeta verde" ${\displaystyle B}$

etcétera...

Cuando las relaciones de accesibilidad son relaciones de equivalencia (como en este ejemplo) y tenemos que , decimos que el agente no puede distinguir mundo de mundo (o mundo es indistinguible de mundo para el agente ). Así, por ejemplo, no puede distinguir el mundo real del mundo posible donde tiene la tarjeta azul ( ), tiene la tarjeta verde ( ) y todavía tiene la tarjeta roja ( ). ${\displaystyle (w,v)\in R_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle j}$ ${\textstyle A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\color {blue}{B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\color {green}{C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\color {red}{A}}}$

En particular, se cumplen las siguientes afirmaciones:

${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models ({\color {red}{A}}\land K_{A}{\color {red}{A}})\land ({\color {blue}{C}}\land K_{C}{\color {blue}{C}})\land ({\color {green}{B}}\land K_{B}{\color {green}{B}})}$

'Todos los agentes saben el color de su tarjeta'.

${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models K_{A}({\color {blue}{B}}\vee {\color {green}{B}})\land K_{A}({\color {blue}{C}}\vee {\color {green}{C}})}$

' sabe quién tiene la tarjeta azul o la verde y quién tiene la tarjeta azul o la verde'. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models E({\color {red}{A}}\vee {\color {blue}{A}}\vee {\color {green}{A}})\land C({\color {red}{A}}\vee {\color {blue}{A}}\vee {\color {green}{A}})}$

“Todo el mundo sabe que tiene tarjeta roja, verde o azul y esto es conocimiento común incluso entre todos los agentes”. ${\displaystyle A}$

Conocimiento versus creencia

Utilizamos la misma notación tanto para el conocimiento como para la creencia. Por lo tanto, dependiendo del contexto, se leerá "el agente sabe que se cumple" o "el agente cree que se cumple". Una diferencia crucial es que, a diferencia del conocimiento, las creencias pueden ser erróneas : el axioma se aplica solo al conocimiento, pero no necesariamente a la creencia. Este axioma, llamado axioma T (de Verdad), establece que si el agente conoce una proposición, entonces esta proposición es verdadera. A menudo se considera que es el sello distintivo del conocimiento y no ha sido objeto de ningún ataque serio desde su introducción en el Teeteto por Platón . ${\displaystyle K_{j}}$ ${\displaystyle K_{j}\phi }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{j}\phi \rightarrow \phi }$

La noción de conocimiento podría cumplir con algunas otras restricciones (o axiomas) como : si el agente sabe algo, sabe que lo sabe. Estas restricciones podrían afectar la naturaleza de las relaciones de accesibilidad que pueden entonces cumplir con algunas propiedades adicionales. Por lo tanto, ahora vamos a definir algunas clases particulares de modelos epistémicos que agregan algunas restricciones adicionales a las relaciones de accesibilidad . Estas restricciones se corresponden con axiomas particulares para el operador de conocimiento . Debajo de cada propiedad, damos el axioma que define ^[15] la clase de marcos epistémicos que cumplen con esta propiedad. ( representa para cualquier .) ${\displaystyle K_{j}\phi \rightarrow K_{j}K_{j}\phi }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle K_{j}}$ ${\displaystyle K\phi }$ ${\displaystyle K_{j}\phi }$ ${\displaystyle j\in AGTS}$

Discutimos los axiomas anteriores. El axioma 4 establece que si el agente conoce una proposición, entonces sabe que la conoce (este axioma también se conoce como el “principio KK” o “tesis KK”). En epistemología, el axioma 4 tiende a ser aceptado por los internalistas , pero no por los externalistas . ^[16] El axioma 4 es, sin embargo, ampliamente aceptado por los científicos informáticos (pero también por muchos filósofos, incluidos Platón , Aristóteles , San Agustín , Spinoza y Schopenhauer , como recuerda Hintikka ). Un axioma más controvertido para la lógica del conocimiento es el axioma 5 para la euclidicidad: este axioma establece que si el agente no conoce una proposición, entonces sabe que no la conoce. La mayoría de los filósofos (incluido Hintikka) han atacado este axioma, ya que numerosos ejemplos de la vida cotidiana parecen invalidarlo. ^[17] En general, el axioma 5 se invalida cuando el agente tiene creencias erróneas, que pueden deberse, por ejemplo, a percepciones erróneas, mentiras u otras formas de engaño. El axioma B establece que no puede darse el caso de que el agente considere posible que conozca una proposición falsa (es decir, ). Si suponemos que los axiomas T y 4 son válidos, entonces el axioma B cae presa del mismo ataque que el del axioma 5, ya que este axioma es derivable. El axioma D establece que las creencias del agente son consistentes. En combinación con el axioma K (donde el operador de conocimiento se reemplaza por un operador de creencia), el axioma D es de hecho equivalente a un axioma más simple D' que transmite, tal vez de manera más explícita, el hecho de que las creencias del agente no pueden ser inconsistentes: . Los otros axiomas intrincados .2, .3, .3.2 y .4 fueron introducidos por lógicos epistémicos como Lenzen y Kutchera en la década de 1970 ^{[10] [18]} y presentados por algunos de ellos como axiomas clave de la lógica epistémica. Pueden ser caracterizados en términos de axiomas de interacción intuitiva que relacionan el conocimiento y las creencias. ^[19] ${\displaystyle \neg (\neg \phi \land \neg K\neg K\phi )}$ ${\displaystyle \neg B\bot }$

Axiomatización

El sistema de prueba de Hilbert K para la lógica modal básica está definido por los siguientes axiomas y reglas de inferencia : para todo , ${\displaystyle j\in AGTS}$

Los axiomas de una lógica epistémica muestran obviamente la forma en que razonan los agentes. Por ejemplo, el axioma K junto con la regla de inferencia Nec implican que si sé ( ) y sé que implica ( entonces sé que ( ). Se pueden agregar restricciones más fuertes. Los siguientes sistemas de prueba para se utilizan a menudo en la literatura. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K(\phi \rightarrow \psi ))}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K\psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}}$

Definimos el conjunto de sistemas de prueba . ${\displaystyle \mathbb {L} _{\textsf {EL}}:=\{{\textsf {K}},{\textsf {KD45}},{\textsf {S4}},{\textsf {S4.2}},{\textsf {S4.3}},{\textsf {S4.3.2}},{\textsf {S4.4}},{\textsf {S5}}\}}$

Además, para todos , definimos el sistema de prueba añadiendo los siguientes esquemas axiomáticos y reglas de inferencia a los de . Para todos , ${\displaystyle {\mathcal {H}}\in \mathbb {L} _{\textsf {EL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\textsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A\subseteq AGTS}$

La fuerza relativa de los sistemas de prueba del conocimiento es la siguiente:

${\displaystyle {\textsf {S4}}\subset {\textsf {S4.2}}\subset {\textsf {S4.3}}\subset {\textsf {S4.3.2}}\subset {\textsf {S4.4}}\subset {\textsf {S5}}.}$

Por lo tanto, todos los teoremas de son también teoremas de y . Muchos filósofos afirman que en los casos más generales, la lógica del conocimiento es o . ^{[18] [20]} Por lo general, en informática y en muchas de las teorías desarrolladas en inteligencia artificial, se considera que la lógica de la creencia (lógica doxástica ) es y la lógica del conocimiento ( lógica epistémica ) es , incluso si solo es adecuada para situaciones en las que los agentes no tienen creencias erróneas. ^[17] ha sido propuesta por Floridi como la lógica de la noción de "estar informado", que se diferencia principalmente de la lógica del conocimiento por la ausencia de introspección para los agentes. ^[21] ${\displaystyle {\textsf {S4.2}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S4.3}},{\textsf {S4.3.2}},{\textsf {S4.4}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S5}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S4.2}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S4.3}}}$ ${\displaystyle {\textsf {KD45}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S5}}}$ ${\displaystyle {\textsf {S5}}}$ ${\displaystyle {\textsf {Br}}}$

Para todos , la clase de –modelos o –modelos es la clase de modelos epistémicos cuyas relaciones de accesibilidad satisfacen las propiedades enumeradas anteriormente definidas por los axiomas de o . Entonces, para todos , es sólido y fuertemente completo con respecto a la clase de –modelos, y es sólido y fuertemente completo con respecto a la clase de –modelos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}\in \mathbb {L} _{\textsf {EL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\textsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\textsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\in \mathbb {L} _{\textsf {EL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\textsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}^{\textsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\textsf {C}}}$

Decidibilidad y complejidad

El problema de satisfacibilidad para todas las lógicas introducidas es decidible . A continuación, enumeramos la complejidad computacional del problema de satisfacibilidad para cada una de ellas. Nótese que se vuelve lineal en el tiempo si solo hay un número finito de letras proposicionales en el lenguaje. Para , si restringimos a la anidación finita, entonces el problema de satisfacibilidad es NP-completo para todas las lógicas modales consideradas. Si luego restringimos aún más el lenguaje a tener solo un número finito de proposiciones primitivas, la complejidad se reduce a lineal en el tiempo en todos los casos. ^{[22] [23]} ${\displaystyle n\geq 2}$

La complejidad computacional del problema de verificación del modelo está en P en todos los casos.

Añadiendo dinámica

La lógica epistémica dinámica (DEL) es un marco lógico para modelar situaciones epistémicas que involucran a varios agentes y los cambios que ocurren en estas situaciones como resultado de la información entrante o, de manera más general, de la acción entrante. La metodología de DEL es tal que divide la tarea de representar las creencias y el conocimiento de los agentes en tres partes:

1. Uno representa sus creencias sobre una situación inicial gracias a un modelo epistémico ;
2. Uno representa sus creencias sobre un acontecimiento que tiene lugar en esta situación gracias a un modelo de acontecimiento ;
3. Uno representa la forma en que los agentes actualizan sus creencias sobre la situación después (o durante) la ocurrencia del evento gracias a una actualización del producto .

Por lo general, un evento informativo puede ser un anuncio público a todos los agentes de una fórmula : este anuncio público y la actualización correlativa constituyen la parte dinámica. Sin embargo, los eventos epistémicos pueden ser mucho más complejos que un simple anuncio público, incluyendo ocultar información a algunos de los agentes, hacer trampa, mentir, fanfarronear, etc. Esta complejidad se aborda cuando introducimos la noción de modelo de evento. Primero nos centraremos en los anuncios públicos para obtener una intuición de las principales ideas subyacentes del DEL. ${\displaystyle \psi }$

Eventos públicos

En esta sección, asumimos que todos los eventos son públicos. Comenzamos dando un ejemplo concreto donde se puede usar DEL, para entender mejor lo que está sucediendo. Este ejemplo se llama el rompecabezas de los niños fangosos . Luego, presentaremos una formalización de este rompecabezas en una lógica llamada Lógica de Anuncio Público (PAL). El rompecabezas de los niños fangosos es uno de los rompecabezas más conocidos que jugó un papel en el desarrollo de DEL. Otros rompecabezas importantes incluyen el rompecabezas de la suma y el producto , el dilema de Monty Hall , el problema de las cartas rusas, el problema de los dos sobres , la paradoja de Moore , la paradoja del verdugo , etc. ^[24 ]

Ejemplo de niños embarrados:

Tenemos dos hijos, A y B, ambos sucios. A puede ver a B pero no a sí mismo, y B puede ver a A pero no a sí misma. Sea la proposición que establece que A está sucio y sea la proposición que establece que B está sucio. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. Representamos la situación inicial mediante el modelo epistémico puntiagudo representado a continuación, donde las relaciones entre mundos son relaciones de equivalencia. Los estados representan intuitivamente mundos posibles, una proposición (por ejemplo ) satisfacible en uno de estos mundos intuitivamente significa que en el mundo posible correspondiente, la interpretación intuitiva de (A está sucio) es verdadera. Los vínculos entre mundos etiquetados por agentes (A o B) expresan intuitivamente una noción de indistinguibilidad para el agente en cuestión entre dos mundos posibles. Por ejemplo, el vínculo entre y etiquetado por A intuitivamente significa que A no puede distinguir el mundo posible de y viceversa. De hecho, A no puede verse a sí mismo, por lo que no puede distinguir entre un mundo en el que está sucio y uno en el que no lo está. Sin embargo, puede distinguir entre mundos en los que B está sucio o no porque puede ver a B. Con esta interpretación intuitiva llegamos a suponer que nuestras relaciones entre mundos son relaciones de equivalencia. ${\displaystyle ({\mathcal {N}},s)}$ ${\displaystyle s,t,u,v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

   Situación inicial: modelo epistémico puntiagudo ${\displaystyle ({\mathcal {N}},s)}$

2. Ahora, supongamos que su padre viene y anuncia que al menos uno está sucio (formalmente, ). Luego actualizamos el modelo y esto produce el modelo epistémico puntiagudo representado a continuación. Lo que realmente hacemos es suprimir los mundos donde el contenido del anuncio no se cumple. En nuestro caso, este es el mundo donde y son verdaderos. Esta supresión es lo que llamamos la actualización. Entonces obtenemos el modelo representado a continuación. Como resultado del anuncio, tanto A como B saben que al menos uno de ellos está sucio. Podemos leer esto a partir del modelo epistémico. ${\displaystyle p\vee q}$ ${\displaystyle \neg p}$ ${\displaystyle \neg q}$

   Modelo epistémico actualizado tras el primer anuncio ${\displaystyle p\vee q}$

3. Ahora supongamos que hay un segundo (y último) anuncio que dice que ninguno de los dos sabe que está sucio (un anuncio puede expresar hechos sobre la situación así como hechos epistémicos sobre el conocimiento que tienen los agentes). Luego actualizamos de manera similar el modelo suprimiendo los mundos que no satisfacen el contenido del anuncio, o equivalentemente, manteniendo los mundos que sí lo satisfacen. Este proceso de actualización produce el modelo epistémico puntiagudo representado a continuación. Al interpretar este modelo, obtenemos que A y B saben que están sucios, lo que parece contradecir el contenido del anuncio. Sin embargo, si asumimos que A y B son ambos razonadores perfectos y que esto es de conocimiento común entre ellos, entonces esta inferencia tiene perfecto sentido.

Modelo epistémico actualizado tras el segundo anuncio

Lógica de anuncio público (PAL):

Presentamos la sintaxis y la semántica de la Lógica de Anuncio Público (PAL), que combina características de la lógica epistémica y la lógica dinámica proposicional . ^[25]

Definimos el lenguaje ${\displaystyle {{\mathcal {L}}_{PAL}}}$ inductivamente mediante la siguiente gramática en BNF :

${\displaystyle {{\mathcal {L}}_{PAL}}:\phi ~~::=~~p~\mid ~\neg \phi ~\mid ~(\phi \land \phi )~\mid ~K_{j}\phi ~\mid ~[\phi !]\phi }$

dónde . ${\displaystyle j\in AGTS}$

El lenguaje se interpreta según modelos epistémicos. Las condiciones de verdad para los conectores del lenguaje epistémico son las mismas que en la lógica epistémica (véase más arriba). La condición de verdad para la nueva modalidad de acción dinámica se define de la siguiente manera: ${\displaystyle {{\mathcal {L}}_{PAL}}}$ ${\displaystyle [\psi !]\phi }$

donde con ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\psi }:=(W^{\psi },R_{1}^{\psi },\ldots ,R_{n}^{\psi },I^{\psi })}$

${\displaystyle W^{\psi }:=\{w\in W;{\mathcal {M}},w\models \psi \}}$,

${\displaystyle R_{j}^{\psi }:=R_{j}\cap (W^{\psi }\times W^{\psi })}$Para todos y ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle I^{\psi }(w):=I(w){\textrm {~for~all~}}w\in W^{\psi }}$.

La fórmula intuitivamente significa que después de un anuncio veraz de , se cumple. Un anuncio público de una proposición cambia el modelo epistémico actual como en la figura siguiente. ${\displaystyle [\psi !]\phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Eliminar todos los mundos que actualmente no satisfacen ${\displaystyle \psi }$

El sistema de prueba definido a continuación es sólido y muy completo con respecto a la clase de todos los modelos epistémicos puntiagudos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{PAL}}$ ${\displaystyle {{\mathcal {L}}_{PAL}}}$

Los axiomas Rojo 1 - Rojo 4 se denominan axiomas de reducción porque permiten reducir cualquier fórmula de a una fórmula demostrablemente equivalente de en . La fórmula es un teorema demostrable en . Establece que después de un anuncio público de , el agente sabe que se cumple. ${\displaystyle {{\mathcal {L}}_{PAL}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{EL}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{PAL}}$ ${\displaystyle [q!]Kq}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{PAL}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

PAL es decidible , su problema de verificación de modelos se puede resolver en tiempo polinomial y su problema de satisfacibilidad es PSPACE-completo . ^[26]

Rompecabezas de niños embarrados formalizado con PAL:

A continuación se presentan algunas de las afirmaciones que se sostienen en el rompecabezas de los niños embarrados formalizado en PAL.

${\displaystyle {\mathcal {N}},s\models p\land q}$

'En la situación inicial, A está sucio y B está sucio'.

${\displaystyle {\mathcal {N}},s\models (\neg K_{A}p\land \neg K_{A}\neg p)\land (\neg K_{B}q\land \neg K_{B}\neg q)}$

'En la situación inicial, A no sabe si está sucio y B tampoco'.

${\displaystyle {\mathcal {N}},s\models [p\vee q!](K_{A}(p\vee q)\land K_{B}(p\vee q))}$

'Después del anuncio público de que al menos uno de los niños A y B está sucio, ambos saben que al menos uno de ellos está sucio'. Sin embargo:

${\displaystyle {\mathcal {N}},s\models [p\vee q!]((\neg K_{A}p\land \neg K_{A}\neg p)\land (\neg K_{B}q\land \neg K_{B}\neg q))}$

“Después de que se anunció públicamente que al menos uno de los niños A y B está sucio, todavía no saben que están sucios”. Además:

${\displaystyle {\mathcal {N}},s\models [p\vee q!][(\neg K_{A}p\land \neg K_{A}\neg p)\land (\neg K_{B}q\land \neg K_{B}\neg q)!](K_{A}p\land K_{B}q)}$

'Después de los sucesivos anuncios públicos de que al menos uno de los niños A y B está sucio y que todavía no saben si lo están, A y B saben entonces que están sucios'.

En esta última afirmación, vemos en acción una característica interesante del proceso de actualización: una fórmula no es necesariamente verdadera después de ser anunciada. Esto es lo que técnicamente llamamos “autopersistencia” y este problema surge para las fórmulas epistémicas (a diferencia de las fórmulas proposicionales). No hay que confundir el anuncio y la actualización inducida por este anuncio, que podría cancelar parte de la información codificada en el anuncio. ^[27]

Eventos arbitrarios

En esta sección, asumimos que los eventos no son necesariamente públicos y nos centramos en los puntos 2 y 3 anteriores, es decir, en cómo representar eventos y en cómo actualizar un modelo epistémico con dicha representación de eventos mediante una actualización de producto.

Modelo de evento

Los modelos epistémicos se utilizan para modelar cómo los agentes perciben el mundo real. Su percepción también puede describirse en términos de conocimiento y creencias sobre el mundo y sobre las creencias de los otros agentes. La idea del enfoque DEL es que uno puede describir cómo un evento es percibido por los agentes de una manera muy similar. De hecho, la percepción de los agentes de un evento también puede describirse en términos de conocimiento y creencias. Por ejemplo, el anuncio privado de a de que su tarjeta es roja también puede describirse en términos de conocimiento y creencias: mientras dice que su tarjeta es roja (evento ) cree que no sucede nada (evento ). Esto lleva a definir la noción de modelo de evento cuya definición es muy similar a la de un modelo epistémico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$

Un modelo de evento puntual representa cómo los agentes perciben el evento real representado por . Intuitivamente, significa que mientras el posible evento representado por está ocurriendo, el agente considera posible que el posible evento representado por esté ocurriendo realmente. ${\displaystyle ({\mathcal {E}},e)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f\in R_{j}(e)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$

Un modelo de evento es una tupla donde: ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(W^{\alpha },R_{1}^{\alpha },\ldots ,R_{m}^{\alpha },I^{\alpha })}$

• ${\displaystyle W^{\alpha }}$es un conjunto no vacío de eventos posibles ,
• ${\displaystyle R_{j}^{\alpha }\subseteq W^{\alpha }\times W^{\alpha }}$es una relación binaria llamada relación de accesibilidad en , para cada , ${\displaystyle W^{\alpha }}$ ${\displaystyle j\in AGTS}$
• ${\displaystyle I^{\alpha }:W^{\alpha }\rightarrow {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}}$es una función llamada función de precondición que asigna a cada evento posible una fórmula de . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textsf {EL}}}$

${\displaystyle R_{j}^{\alpha }(e)}$denota el conjunto . Escribimos para , y se llama modelo de evento puntiagudo ( a menudo representa el evento real). ${\displaystyle \{f\in W^{\alpha };(e,f)\in R_{j}^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle e\in W^{\alpha }}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}},e)}$ ${\displaystyle e}$

Ejemplo de tarjeta:

Retomemos el ejemplo de las cartas y supongamos que los jugadores y se muestran sus cartas entre sí. Resulta que notó que le mostró su carta a pero no notó que lo hizo a . Los jugadores y saben esto. Este evento se representa a continuación en el modelo de eventos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}},e)}$

El evento posible corresponde al evento real 'los jugadores y muestran sus cartas y respectivamente' (con condición previa ), representa el evento 'el jugador muestra su carta verde' (con condición previa ) y representa el evento atómico 'el jugador muestra su carta roja' (con condición previa ). Los jugadores y muestran sus cartas entre sí, los jugadores y lo saben y lo consideran posible, mientras que el jugador considera posible que el jugador muestre su carta roja y también considera posible que el jugador muestre su carta verde, ya que no conoce su carta. De hecho, eso es todo lo que el jugador considera posible porque no se dio cuenta de que mostró su carta. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\color {red}{A}}\land {\color {green}{B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\color {green}{A}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\color {red}{A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

Modelo de evento puntiagudo : los jugadores A y B se muestran sus cartas entre sí frente al jugador C ${\displaystyle ({\mathcal {E}},e)}$

Otro ejemplo de modelo de evento se da a continuación. Este segundo ejemplo corresponde al evento en el que Jugador muestra su tarjeta roja públicamente a todo el mundo. Jugador muestra su tarjeta roja, jugadores y " lo saben", jugadores y "saben " que cada uno de ellos "lo sabe", etc. En otras palabras, existe un conocimiento común entre jugadores y ese jugador muestra su tarjeta roja. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$

Modelo de evento puntual ${\displaystyle ({\mathcal {F}},e)}$

Actualización del producto

La actualización del producto DEL se define a continuación. ^[5] Esta actualización produce un nuevo modelo epistémico puntiagudo que representa cómo los agentes perciben la nueva situación que anteriormente estaba representada por después de la ocurrencia del evento representado por . ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {E}},e)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}},e)}$

Sea un modelo epistémico y sea un modelo de evento. La actualización del producto de y es el modelo epistémico definido de la siguiente manera: para todos y todos , ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(W,R_{1},\ldots ,R_{n},I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(W^{\alpha },R_{1}^{\alpha },\ldots ,R_{n}^{\alpha },I^{\alpha })}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {\mathcal {E}}}=(W^{\otimes },R_{1}^{\otimes },\ldots ,R_{n}^{\otimes },I^{\otimes })}$ ${\displaystyle v\in W}$ ${\displaystyle f\in W^{\alpha }}$

Si y son tales que entonces denota el modelo epistémico puntiagudo . Esta definición de la actualización del producto está fundamentada conceptualmente. ^[6] ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle e\in W^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models I^{\alpha }(e)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {E}},e)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {E}},(w,e))}$

Ejemplo de tarjeta:

Como resultado del primer evento descrito anteriormente (los jugadores y se muestran sus cartas frente al jugador ), los agentes actualizan sus creencias. Obtenemos la situación representada en el modelo epistémico puntiagudo a continuación. En este modelo epistémico puntiagudo, se cumple la siguiente afirmación: afirma que el jugador sabe que tiene la carta, pero el jugador "cree" que no es así. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {E}},e)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {E}},e)\models ({\color {green}{B}}\land K_{A}{\color {green}{B}})\land K_{C}\neg K_{A}{\color {green}{B}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Modelo epistémico actualizado ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {E}},e)}$

El resultado del segundo evento se representa a continuación. En este modelo epistémico puntiagudo, se cumple la siguiente afirmación: . Afirma que existe un conocimiento común entre y que conocen el verdadero estado del mundo (es decir, tiene la tarjeta roja, tiene la tarjeta verde y tiene la tarjeta azul), pero no lo saben. ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {F}},e)\models C_{\{B,C\}}({\color {red}{A}}\land {\color {green}{B}}\land {\color {blue}{C}})\land \neg K_{A}({\color {green}{B}}\land {\color {blue}{C}})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$

Modelo epistémico actualizado ${\displaystyle ({\mathcal {M}},w)\otimes ({\mathcal {F}},e)}$

Basándose en estos tres componentes (modelo epistémico, modelo de eventos y actualización del producto), Baltag, Moss y Solecki definieron un lenguaje lógico general inspirado en el lenguaje lógico de la lógica dinámica proposicional ^[25] para razonar sobre el cambio de información y conocimiento. ^{[5] [6]}

Véase también

• Portal de filosofía

• Lógica epistémica
• Epistemología
• Lógica en informática
• Lógica modal

Notas

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2. Gerbrandy, Jelle; Groeneveld, Willem (1997-04-01). "Razonamiento sobre el cambio de información". Revista de lógica, lenguaje e información . 6 (2): 147–169. doi :10.1023/A:1008222603071. ISSN  0925-8531. S2CID  1700635.
3. Veltman, Frank (1 de junio de 1996). "Valores predeterminados en la semántica de actualización". Revista de lógica filosófica . 25 (3): 221–261. CiteSeerX 10.1.1.77.9349 . doi :10.1007/BF00248150. ISSN  0022-3611. S2CID  19377671. 
4. Ditmarsch, Hans P. van (1 de junio de 2002). "Descripciones de acciones de juego". Revista de lógica, lenguaje e información . 11 (3): 349–365. doi :10.1023/A:1015590229647. ISSN  0925-8531. S2CID  195220171.
5. Alexandru Baltag; Lawrence S. Moss; Slawomir Solecki (1998). "La lógica de los anuncios públicos y el conocimiento común y las sospechas privadas". Aspectos teóricos de la racionalidad y el conocimiento (TARK) .
6. Baltag, Alexandru; Moss, Lawrence S. (1 de marzo de 2004). "Lógica para programas epistémicos". Síntesis . 139 (2): 165–224. doi :10.1023/B:SYNT.0000024912.56773.5e. ISSN  0039-7857. S2CID  18793176.
7. A veces se hace una distinción entre eventos y acciones, siendo una acción un tipo específico de evento realizado por un agente.
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17. Por ejemplo, supongamos que una profesora universitaria cree (está segura) de que uno de los seminarios de su colega es el jueves (formalmente ). En realidad, está equivocada porque es el martes ( ). Por lo tanto, no sabe que el seminario de su colega es el martes ( ). Si suponemos que ese axioma es válido, entonces deberíamos concluir que ella sabe que no sabe que el seminario de su colega es el martes ( ) (y, por lo tanto, también cree que no lo sabe: ). Esto es obviamente contraintuitivo. ${\displaystyle Bp}$ ${\displaystyle \neg p}$ ${\displaystyle \neg Kp}$ ${\displaystyle K\neg Kp}$ ${\displaystyle B\neg Kp}$
18. Lenzen, Wolfgang (1 de marzo de 1979). "Epistemologische betrachtungen zu [S4, S5]". Erkenntnis (en alemán). 14 (1): 33–56. doi :10.1007/BF00205012. ISSN  0165-0106. S2CID  122982410.
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Referencias

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Enlaces externos

• Baltag, Alexandru; Renne, Bryan. "Lógica epistémica dinámica". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• van Ditmarsch, Hans; van der Hoek, Wiebe; Kooi, Barteld. "Lógica epistémica dinámica". Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• Hendricks, Vincent; Symons, John. "Lógica epistémica". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Garson, James. "Lógica modal". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .