Envolvente (ondas)

Curva suave que describe los extremos de una señal oscilante

En física e ingeniería , la envolvente de una señal oscilante es una curva suave que delimita sus extremos. ^[1] La envolvente generaliza así el concepto de amplitud constante en una amplitud instantánea . La figura ilustra una onda sinusoidal modulada que varía entre una envolvente superior y una envolvente inferior . La función envolvente puede ser una función del tiempo, del espacio, del ángulo o, de hecho, de cualquier variable.

Envolvente para una onda sinusoidal modulada.

En olas batientes

Onda modulada resultante de sumar dos ondas sinusoidales de amplitud idéntica y longitud de onda y frecuencia casi idénticas.

Una situación común que da como resultado una función envolvente tanto en el espacio x como en el tiempo t es la superposición de dos ondas de casi la misma longitud de onda y frecuencia: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

que utiliza la fórmula trigonométrica para la suma de dos ondas sinusoidales , y la aproximación Δ λ  ≪  λ :

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Aquí la longitud de onda de modulación λ _mod viene dada por: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

La longitud de onda de modulación es el doble de la de la propia envolvente porque cada media longitud de onda de la onda coseno moduladora regula tanto los valores positivos como los negativos de la onda seno modulada. Asimismo, la frecuencia de batido es la de la envolvente, el doble de la de la onda moduladora, o 2Δ f . ^[4]

Si esta onda es una onda sonora, el oído oye la frecuencia asociada a f y la amplitud de este sonido varía con la frecuencia del pulso. ^[4]

Velocidad de fase y de grupo

El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo .

El argumento de las sinusoides anteriores aparte de un factor 2 π son:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

con subíndices C y E que hacen referencia a la portadora y la envolvente . La misma amplitud F de la onda resulta de los mismos valores de ξ _C y ξ _E , cada uno de los cuales puede volver al mismo valor en elecciones diferentes pero correctamente relacionadas de x y t . Esta invariancia significa que se pueden rastrear estas formas de onda en el espacio para encontrar la velocidad de una posición de amplitud fija a medida que se propaga en el tiempo; para que el argumento de la onda portadora permanezca igual, la condición es:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

lo que demuestra que para mantener una amplitud constante la distancia Δ x está relacionada con el intervalo de tiempo Δ t por la llamada velocidad de fase v _p

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

Por otra parte, las mismas consideraciones muestran que la envolvente se propaga a la llamada velocidad de grupo v _g : ^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

Una expresión más común para la velocidad del grupo se obtiene introduciendo el vector de onda k :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

Observamos que para pequeños cambios Δ λ , la magnitud del pequeño cambio correspondiente en el vector de onda, digamos Δ k , es:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

Por lo tanto, la velocidad del grupo se puede reescribir como:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

donde ω es la frecuencia en radianes/s: ω = 2 π f . En todos los medios, la frecuencia y el vector de onda están relacionados por una relación de dispersión , ω = ω ( k ), y la velocidad de grupo se puede escribir:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

Relación de dispersión ω=ω( k ) para algunas ondas correspondientes a vibraciones reticulares en GaAs. ^[6]

En un medio como el vacío clásico la relación de dispersión para las ondas electromagnéticas es:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

donde c ₀ es la velocidad de la luz en el vacío clásico. Para este caso, las velocidades de fase y de grupo son ambas c ₀ .

En los llamados medios dispersivos, la relación de dispersión puede ser una función complicada del vector de onda, y las velocidades de fase y de grupo no son las mismas. Por ejemplo, para varios tipos de ondas exhibidas por vibraciones atómicas ( fonones ) en GaAs , las relaciones de dispersión se muestran en la figura para varias direcciones del vector de onda k . En el caso general, las velocidades de fase y de grupo pueden tener diferentes direcciones. ^[7]

En aproximación de funciones

Probabilidades de electrones en los dos estados cuánticos más bajos de un pozo cuántico de GaAs de 160 Å en una heteroestructura GaAs- GaAlAs calculadas a partir de funciones de envolvente. ^[8]

En física de la materia condensada, una función propia de energía para un portador de carga móvil en un cristal se puede expresar como una onda de Bloch :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde n es el índice de la banda (por ejemplo, banda de conducción o de valencia), r es una ubicación espacial y k es un vector de onda . La exponencial es una función que varía sinusoidalmente y corresponde a una envolvente que varía lentamente y modula la parte que varía rápidamente de la función de onda u _{n , y k} describe el comportamiento de la función de onda cerca de los núcleos de los átomos de la red. La envolvente está restringida a valores k dentro de un rango limitado por la zona de Brillouin del cristal, y eso limita la rapidez con la que puede variar con la ubicación r .

Para determinar el comportamiento de los portadores mediante la mecánica cuántica , se suele utilizar la aproximación de la envolvente , en la que la ecuación de Schrödinger se simplifica para referirse únicamente al comportamiento de la envolvente, y las condiciones de contorno se aplican directamente a la función de envolvente, en lugar de a la función de onda completa. ^[9] Por ejemplo, la función de onda de un portador atrapado cerca de una impureza está gobernada por una función de envolvente F que gobierna una superposición de funciones de Bloch:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde los componentes de Fourier de la envolvente F ( k ) se encuentran a partir de la ecuación aproximada de Schrödinger. ^[10] En algunas aplicaciones, la parte periódica u _k se reemplaza por su valor cerca del borde de la banda, digamos k = k ₀ , y luego: ^[9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

En patrones de difracción

El patrón de difracción de una rendija doble tiene una envoltura de rendija única.

Los patrones de difracción de múltiples rendijas tienen envolventes determinadas por el patrón de difracción de una sola rendija. Para una sola rendija, el patrón viene dado por: ^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

donde α es el ángulo de difracción, d es el ancho de la rendija y λ es la longitud de onda. Para rendijas múltiples, el patrón es ^[11]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

donde q es el número de rendijas y g es la constante de la rejilla. El primer factor, el resultado de una sola rendija I ₁ , modula el segundo factor, que varía más rápidamente y depende del número de rendijas y su espaciamiento.

Estimación

Un detector de envolvente es un circuito que intenta extraer la envolvente de una señal analógica .

En el procesamiento de señales digitales , la envolvente se puede estimar empleando la transformada de Hilbert o una amplitud RMS móvil . ^[12]

Véase también

• Señal analítica § Envolvente compleja/banda base
• Descomposición modal empírica
• Sobre (matemáticas)
• Seguimiento de sobres
• Fase instantánea
• Modulación
• Matemáticas de la oscilación
• Potencia máxima de envolvente
• Envolvente espectral

Referencias

1. C. Richard Johnson, Jr; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). "Figura C.1: La envolvente de una función describe sus extremos de manera uniforme". Diseño de receptor de software: construya su propio sistema de comunicación digital en cinco sencillos pasos . Cambridge University Press. pág. 417. ISBN 978-0521189446.
2. Blair Kinsman (2002). Ondas de viento: su generación y propagación en la superficie del océano (reimpresión de la edición de Prentice-Hall de 1965). Courier Dover Publications . p. 186. ISBN 0486495116.
3. Mark W. Denny (1993). Aire y agua: la biología y la física de los medios de vida . Princeton University Press . pp. 289. ISBN. 0691025185.
4. Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Física para científicos e ingenieros, volumen 1 (6.ª ed.). Macmillan. pág. 538. ISBN 978-1429201247.
5. Peter W. Milonni ; Joseph H. Eberly (2010). "§8.3 Velocidad de grupo". Física del láser (2.ª ed.). John Wiley & Sons . pág. 336. ISBN 978-0470387719.
6. Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). "Fig. 3.2: Curvas de dispersión de fonones en GaAs a lo largo de ejes de alta simetría". Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (4.ª ed.). Springer. pág. 111. ISBN 978-3642007095.
7. V. Cerveny; Vlastislav Červený (2005). "§2.2.9 Relación entre los vectores de velocidad de fase y de grupo". Teoría de rayos sísmicos . Cambridge University Press . p. 35. ISBN 0521018226.
8. G Bastard; JA Brum; R Ferreira (1991). "Figura 10 en Estados electrónicos en heteroestructuras de semiconductores". En Henry Ehrenreich; David Turnbull (eds.). Física del estado sólido: heteroestructuras y nanoestructuras de semiconductores . Academic Press. pág. 259. ISBN 0126077444.
9. Christian Schüller (2006). "§2.4.1 Aproximación de la función envolvente (EFA)". Dispersión inelástica de luz en nanoestructuras semiconductoras: fundamentos y avances recientes . Springer. pág. 22. ISBN 3540365257.
10. Por ejemplo, véase Marco Fanciulli (2009). "§1.1 Aproximación de la función envolvente". Resonancia de espín electrónico y fenómenos relacionados en estructuras de baja dimensión . Springer. pp. 224 y siguientes . ISBN . 978-3540793649.
11. Kordt Griepenkerl (2002). "Distribución de intensidad para difracción por una rendija y patrón de intensidad para difracción por una rejilla". En John W Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (eds.). Manual de física . Springer. pp. 306 y siguientes . ISBN 0387952691.
12. "Extracción de envolventes: MATLAB y Simulink". MathWorks . 2021-09-02 . Consultado el 2021-11-16 .

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Función envolvente", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .