Medida de impulso

"Empujado hacia adelante" de un espacio medible a otro

En la teoría de la medida , una medida de empuje hacia adelante (también conocida como push forward , push-forward o medida de imagen ) se obtiene transfiriendo ("empujando hacia adelante") una medida de un espacio medible a otro utilizando una función medible .

Definición

Dados espacios medibles y , una función medible y una medida , el empuje hacia adelante de se define como la medida dada por ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$para ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Esta definición se aplica mutatis mutandis a una medida con signo o compleja . La medida de avance también se denota como , , , o . ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle f\sharp \mu }$ ${\displaystyle f\#\mu }$

Propiedades

Fórmula de cambio de variable

Teorema: ^[1] Una función medible g en X ₂ es integrable con respecto a la medida de empuje hacia adelante f _∗ ( μ ) si y solo si la composición es integrable con respecto a la medida μ . En ese caso, las integrales coinciden, es decir, ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

Nótese que en la fórmula anterior . ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

Funcionalidad

Los empujes hacia delante de medidas permiten inducir, a partir de una función entre espacios medibles , una función entre los espacios de medidas . Como ocurre con muchas aplicaciones inducidas, esta construcción tiene la estructura de un funtor , en la categoría de espacios medibles . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M(X)\to M(Y)}$

Para el caso especial de medidas de probabilidad , esta propiedad equivale a la funcionalidad de la mónada de Giry .

Ejemplos y aplicaciones

• Una " medida de Lebesgue " natural en el círculo unitario S ¹ (considerado aquí como un subconjunto del plano complejo C ) puede definirse utilizando una construcción de empuje hacia adelante y la medida de Lebesgue λ en la línea real R . Sea λ también la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2 π ) y sea f  : [0, 2 π ) →  S ¹ la biyección natural definida por f ( t ) = exp( i  t ). La "medida de Lebesgue" natural en S ¹ es entonces la medida de empuje hacia adelante f _∗ ( λ ). La medida f _∗ ( λ ) también podría llamarse " medida de longitud de arco " o "medida de ángulo", ya que la f _∗ ( λ )-medida de un arco en S ¹ es precisamente su longitud de arco (o, equivalentemente, el ángulo que subtiende en el centro del círculo).
• El ejemplo anterior se extiende perfectamente para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n -dimensional T ⁿ . El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S ¹  =  T ¹ . Esta medida de Lebesgue en T ⁿ es, hasta la normalización, la medida de Haar para el grupo de Lie compacto y conexo T ⁿ .
• Las medidas gaussianas en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen utilizando el empuje hacia adelante y la medida gaussiana estándar en la línea real: una medida de Borel γ en un espacio de Banach separable X se llama gaussiana si el empuje hacia adelante de γ por cualquier funcional lineal distinto de cero en el espacio dual continuo a X es una medida gaussiana en R.
• Consideremos una función medible f  : X → X y la composición de f consigo misma n veces:

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Esta función iterada forma un sistema dinámico . En el estudio de estos sistemas suele ser de interés encontrar una medida μ en X que la función f no modifique, una medida denominada invariante , es decir, una medida para la que f _∗ ( μ ) =  μ .

• También se pueden considerar medidas cuasi-invariantes para un sistema dinámico de este tipo: una medida en se llama cuasi-invariante bajo si el avance de por es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas en el mismo espacio son equivalentes si y solo si , por lo que es cuasi-invariante bajo si ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• Mediante esta construcción se pueden obtener muchas distribuciones de probabilidad naturales, como la distribución chi .

• Las variables aleatorias inducen medidas de empuje hacia adelante. Asignan un espacio de probabilidad a un espacio de codominio y dotan a ese espacio de una medida de probabilidad definida por el empuje hacia adelante. Además, como las variables aleatorias son funciones (y, por lo tanto, funciones totales), la imagen inversa de todo el codominio es todo el dominio, y la medida de todo el dominio es 1, por lo que la medida de todo el codominio es 1. Esto significa que las variables aleatorias se pueden componer hasta el infinito y siempre seguirán siendo variables aleatorias y dotarán a los espacios de codominio de medidas de probabilidad.

Una generalización

En general, cualquier función medible puede ser desplazada hacia adelante. El desplazamiento hacia adelante se convierte entonces en un operador lineal , conocido como operador de transferencia u operador de Frobenius-Perron . En espacios finitos, este operador normalmente satisface los requisitos del teorema de Frobenius-Perron , y el valor propio máximo del operador corresponde a la medida invariante.

El adjunto del empuje hacia adelante es el retroceso ; como operador en espacios de funciones en espacios medibles, es el operador de composición u operador de Koopman .

Véase también

• Sistema dinámico que preserva la medida
• Normalización del flujo
• Transporte óptimo

Notas

1. Secciones 3.6 a 3.7 en Bogachev 2007

Referencias

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , Berlín: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Temas de análisis real y funcional