División por cero

Clase de expresión matemática.

La función recíproca y =1/X. Cuando x tiende a cero por la derecha, y tiende a infinito. Cuando x tiende a cero por la izquierda, y tiende a infinito negativo.

En matemáticas , la división por cero , división donde el divisor (denominador) es cero , es un caso especial único y problemático. Usando notación fraccionaria , el ejemplo general se puede escribir como , donde está el dividendo (numerador). ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$

La definición habitual de cociente en aritmética elemental es el número que da el dividendo cuando se multiplica por el divisor. Es decir, es equivalente a Según esta definición, el cociente no tiene sentido, ya que el producto es siempre en lugar de algún otro número. Seguir las reglas ordinarias del álgebra elemental y al mismo tiempo permitir la división por cero puede crear una falacia matemática , un error sutil que conduce a resultados absurdos. . Para evitar esto, la aritmética de los números reales y las estructuras numéricas más generales llamadas campos dejan la división por cero sin definir , y las situaciones en las que podría ocurrir una división por cero deben tratarse con cuidado. Dado que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión tampoco está definida. ${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c\cdot b=a.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle q\cdot 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

El cálculo estudia el comportamiento de funciones en el límite cuando su entrada tiende a algún valor. Cuando una función real implica la división por una cantidad que tiende a cero, el resultado de la función a menudo se vuelve arbitrariamente grande y se dice que " tiende al infinito ", un tipo de singularidad matemática . Por ejemplo, la función recíproca tiende al infinito como tiende desde arriba. Cuando una función involucra el cociente de dos funciones que tienden a cero en la misma entrada, se llama forma indeterminada , ya que el comportamiento resultante depende de qué funciones se estén considerando. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Como alternativa a la convención común de trabajar con campos como los números reales y dejar la división por cero sin definir, es posible definir el resultado de la división por cero de otras maneras, lo que da como resultado diferentes sistemas numéricos. Por ejemplo, el cociente se puede definir como igual a cero; se puede definir como igual a un nuevo punto explícito en el infinito , a veces indicado por el símbolo de infinito ; o se puede definir para que resulte en infinito con signo, con signo positivo o negativo dependiendo del signo del dividendo. En estos sistemas numéricos, la división por cero ya no es una excepción especial per se, pero el punto o puntos en el infinito implican sus propios nuevos tipos de comportamiento excepcional. ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle \infty }$

En informática , un error puede resultar de un intento de dividir por cero. Dependiendo del contexto y el tipo de número involucrado, dividir por cero puede generar un infinito positivo o negativo o un valor especial que no es un número , ^[1] generar una excepción , mostrar un mensaje de error o bloquear o bloquear el programa.

Aritmética elemental

El significado de la división.

La división se puede interpretar conceptualmente de varias maneras. ^[2] ${\displaystyle N/D=Q}$

En la división cotitiva , se imagina que el dividendo se divide en partes de tamaño (el divisor), y el cociente es el número de partes resultantes. Por ejemplo, imagine que se van a convertir diez rebanadas de pan en sándwiches y que cada uno requiere dos rebanadas de pan. Se pueden preparar un total de cinco sándwiches ( ). Ahora imaginemos que no se necesitan rebanadas de pan por sándwich (tal vez una envoltura de lechuga ). Se pueden preparar muchos sándwiches de este tipo con diez rebanadas de pan, ya que el pan es irrelevante. ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

El concepto cotitivo de división se presta al cálculo por resta repetida : dividir implica contar cuántas veces se puede restar el divisor antes de que se acabe el dividendo. Debido a que ningún número finito de restas de cero agotará un dividendo distinto de cero, calcular la división por cero de esta manera nunca termina . ^{[4] Algunas} calculadoras mecánicas exhiben físicamente un algoritmo de división por cero tan interminable . ^[5]

En la división partitiva , se imagina que el dividendo se divide en partes y el cociente es el tamaño resultante de cada parte. Por ejemplo, imagina que se van a dividir diez galletas entre dos amigos. Cada amigo recibirá cinco galletas ( ). Ahora imaginemos que las diez galletas se van a dividir entre cero amigos. ¿Cuántas galletas recibirá cada amigo? Como no hay amigos, esto es un absurdo. ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

La pendiente de una línea en el plano es una relación entre las diferencias de coordenadas verticales y horizontales. Para una línea vertical, esto es 1: 0 , una especie de división por cero.

En otra interpretación, el cociente representa la proporción ^[7] . Por ejemplo, una receta de pastel podría requerir diez tazas de harina y dos tazas de azúcar, una proporción de o, proporcionalmente, Para escalar esta receta a cantidades mayores o menores de pastel, Se podría mantener una proporción de harina y azúcar proporcional a , por ejemplo, una taza de harina y un quinto de taza de azúcar, o cincuenta tazas de harina y diez tazas de azúcar. ^[8] Ahora imagina que una receta de pastel sin azúcar requiere diez tazas de harina y cero tazas de azúcar. La proporción o proporcionalidad es perfectamente sensata: ^[9] simplemente significa que el bizcocho no tiene azúcar. Sin embargo, la pregunta "¿Cuántas partes de harina por cada parte de azúcar?" todavía no tiene una respuesta numérica significativa. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N:D.}$ ${\displaystyle 10:2}$ ${\displaystyle 5:1.}$ ${\displaystyle 5:1}$ ${\displaystyle 10:0,}$ ${\displaystyle 1:0,}$

Una apariencia geométrica de la interpretación de la división como razón es la pendiente de una línea recta en el plano cartesiano . ^[10] La pendiente se define como el "ascenso" (cambio en la coordenada vertical) dividido por el "recorrido" (cambio en la coordenada horizontal) a lo largo de la línea. Cuando esto se escribe usando la notación de razón simétrica, una línea horizontal tiene pendiente y una línea vertical tiene pendiente. Sin embargo, si la pendiente se toma como un número real único , entonces una línea horizontal tiene pendiente mientras que una línea vertical tiene una pendiente indefinida, ya que en aritmética de números reales el cociente no está definido. ^[11] La pendiente de valor real de una línea que pasa por el origen es la coordenada vertical de la intersección entre la línea y una línea vertical en la coordenada horizontal con trazos negros en la figura. Las líneas verticales roja y discontinua negra son paralelas , por lo que no tienen intersección en el plano. A veces se dice que se cruzan en un punto del infinito , y la proporción se representa mediante un nuevo número ; ^[12] ver § Línea real extendida proyectivamente a continuación. A veces se dice que las líneas verticales tienen una pendiente "infinitamente pronunciada". ${\displaystyle 0:1}$ ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle \infty }$

Inverso de la multiplicación

La división es la inversa de la multiplicación , lo que significa que multiplicar y luego dividir por la misma cantidad distinta de cero, o viceversa, deja una cantidad original sin cambios; Por ejemplo . ^[13] Por lo tanto, un problema de división como el que se puede resolver reescribiéndolo como una ecuación equivalente que implica multiplicación, donde representa la misma cantidad desconocida, y luego encontrando el valor para el cual la afirmación es verdadera; en este caso la cantidad desconocida es porque así pues ^[14] ${\displaystyle (5\times 3)/3={}}$ ${\displaystyle (5/3)\times 3=5}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$ ${\displaystyle {?}\times 3=6,}$ ${\displaystyle {?}}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2\times 3=6,}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2.}$

Un problema análogo que involucra la división por cero requiere determinar una cantidad desconocida que satisfaga. Sin embargo, cualquier número multiplicado por cero es cero en lugar de seis, por lo que no existe ningún número que pueda sustituirlo para hacer una afirmación verdadera. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=6.}$ ${\displaystyle {?}}$

Cuando el problema se cambia al enunciado multiplicativo equivalente es ; en este caso, se puede sustituir cualquier valor por la cantidad desconocida para obtener una afirmación verdadera, por lo que no existe un único número que pueda asignarse como cociente. ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

Debido a estas dificultades, los cocientes en los que el divisor es cero tradicionalmente se consideran indefinidos y no se permite la división por cero. ^{[16] [17]}

Falacias

Una razón de peso para no permitir la división por cero es que permitirla conduce a falacias .

Cuando se trabaja con números, es fácil identificar una división ilegal entre cero. Por ejemplo:

Desde y se obtiene Cancelar 0 desde ambos lados produce una declaración falsa. ${\displaystyle 0\times 1=0}$ ${\displaystyle 0\times 2=0}$ ${\displaystyle 0\times 1=0\times 2.}$ ${\displaystyle 1=2}$

La falacia aquí surge del supuesto de que es legítimo cancelar 0 como cualquier otro número, cuando, de hecho, hacerlo es una forma de división por 0 .

Usando álgebra , es posible disfrazar una división por cero ^[18] para obtener una prueba no válida . Por ejemplo: ^[19]

Sea x = 1 . Multiplica ambos lados por x para obtener . Resta 1 de cada lado para obtener ${\displaystyle x=x^{2}}$

$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$

El lado derecho se puede factorizar,

$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$

Dividiendo ambos lados por x − 1 se obtiene

$${\displaystyle 1=x+1.}$$

Sustituyendo x = 1 se obtiene

$${\displaystyle 1=2.}$$

Este es esencialmente el mismo cálculo falaz que la versión numérica anterior, pero la división por cero se confundió porque escribimos 0 como x − 1 .

Primeros intentos

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta (c. 598–668) es el texto más antiguo que trata el cero como un número por derecho propio y define operaciones que involucran al cero. ^[18] El autor no pudo explicar la división por cero en sus textos: se puede demostrar fácilmente que su definición conduce a absurdos algebraicos. Según Brahmagupta,

Un número positivo o negativo cuando se divide por cero es una fracción con el cero como denominador. Cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En 830, Mahāvīra intentó sin éxito corregir el error que cometió Brahmagupta en su libro Ganita Sara Samgraha : "Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero". ^[18]

Līlāvatī (siglo XII) de Bhāskara II propuso que la división por cero da como resultado una cantidad infinita, ^[20]

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es cero. Esta fracción se denomina cantidad infinita. En esta cantidad compuesta por la que tiene por divisor el cero, no hay alteración, aunque se puedan insertar o quitar muchas; como no se produce ningún cambio en el Dios infinito e inmutable cuando se crean o destruyen mundos, aunque se absorban o se produzcan numerosos órdenes de seres.

Históricamente, una de las primeras referencias registradas a la imposibilidad matemática de asignar un valor está contenida en la crítica del filósofo angloirlandés George Berkeley al cálculo infinitesimal en 1734 en The Analyst ("fantasmas de cantidades desaparecidas"). ^[21] ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

Cálculo

El cálculo estudia el comportamiento de funciones utilizando el concepto de límite , el valor al que tiende la salida de una función cuando su entrada tiende a algún valor específico. La notación significa que el valor de la función se puede acercar arbitrariamente eligiendo lo suficientemente cerca de ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c.}$

En el caso en que el límite de la función real aumenta sin límite según tiende la función no se define en un tipo de singularidad matemática . En cambio, se dice que la función " tiende al infinito ", denotada y su gráfica tiene la recta como asíntota vertical . Si bien dicha función no está definida formalmente y el símbolo de infinito en este caso no representa ningún número real específico , se dice informalmente que tales límites son "iguales a infinito". Si el valor de la función disminuye sin límites, se dice que la función "tiende al infinito negativo". En algunos casos, una función tiende a dos valores diferentes cuando tiende desde arriba ( ) y desde abajo ( ) ; tal función tiene dos límites unilaterales distintos . ^[22] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\to c^{+}}$ ${\displaystyle x\to c^{-}}$

Un ejemplo básico de una singularidad infinita es la función recíproca , que tiende al infinito positivo o negativo cuando tiende a : ${\displaystyle f(x)=1/x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

En la mayoría de los casos, el límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada función por separado,

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

Sin embargo, cuando una función se construye dividiendo dos funciones cuyos límites separados son ambos iguales al límite del resultado, no se puede determinar a partir de los límites separados, por eso se llama forma indeterminada , escrita informalmente . Tal límite puede ser igual a cualquier valor real. puede tender al infinito o no converger en absoluto, dependiendo de las funciones particulares. Por ejemplo, en ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$

los límites separados del numerador y denominador son , por lo que tenemos la forma indeterminada , pero simplificando primero el cociente se muestra que el límite existe: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

Sistemas numéricos alternativos

Línea real extendida

Los números reales afines extendidos se obtienen a partir de los números reales sumando dos nuevos números y se leen como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente, y representan puntos en el infinito . Con la adición del concepto de "límite en el infinito" se puede hacer que funcione como un límite finito. Cuando se trata de números reales extendidos positivos y negativos, la expresión generalmente no se define. Sin embargo, en contextos donde sólo se consideran valores no negativos, suele ser conveniente definir . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle 1/0=+\infty }$

Línea real extendida proyectivamente

El conjunto es la recta real proyectivamente extendida , que es una compactación en un punto de la recta real. Aquí significa un infinito sin signo o un punto en el infinito , una cantidad infinita que no es ni positiva ni negativa. Esta cantidad satisface lo que es necesario en este contexto. En esta estructura, se puede definir para a distinto de cero y cuando a no lo es . Es la forma natural de ver el rango de las funciones tangente y cotangente de la trigonometría : tan( x ) se acerca al punto único en el infinito cuando x se acerca a + ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty =\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0}$ ${\displaystyle \infty }$π/2o -π/2desde cualquier dirección.

Esta definición conduce a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un campo y no se debe esperar que se comporte como tal. Por ejemplo, no está definido en esta extensión de la línea real. ${\displaystyle \infty +\infty }$

esfera de riemann

La materia de análisis complejo aplica los conceptos de cálculo en los números complejos . De gran importancia en este tema son los números complejos extendidos, el conjunto de números complejos con un único número adicional añadido, generalmente denotado por el símbolo de infinito y que representa un punto en el infinito , que se define como contenido en cada dominio exterior , lo que los convierte en sus vecindades topológicas . ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \infty }$

Intuitivamente, se puede pensar que esto envuelve los bordes infinitos del plano complejo y los une en un solo punto, una compactación de un punto , haciendo que los números complejos extendidos sean topológicamente equivalentes a una esfera . Esta equivalencia se puede extender a una equivalencia métrica asignando cada número complejo a un punto de la esfera mediante proyección estereográfica inversa, aplicando la distancia esférica resultante como una nueva definición de distancia entre números complejos; y, en general, la geometría de la esfera se puede estudiar utilizando aritmética compleja y, a la inversa, la aritmética compleja se puede interpretar en términos de geometría esférica. Como consecuencia, el conjunto de números complejos extendidos suele denominarse esfera de Riemann . El conjunto se suele indicar con el símbolo de los números complejos decorado con un asterisco, una línea superpuesta, una tilde o un circunflejo, por ejemplo. ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

En los números complejos extendidos, para cualquier número complejo distinto de cero, la aritmética compleja ordinaria se extiende mediante las reglas adicionales. Sin embargo, , y se dejan sin definir. ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0,}$ ${\displaystyle \infty +0=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty +z=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty .}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Matemáticas avanzadas

Las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) aplicadas a números enteros (enteros positivos), con algunas restricciones, en aritmética elemental se utilizan como marco para respaldar la extensión del ámbito de los números al que se aplican. Por ejemplo, para que sea posible restar cualquier número entero de otro, el reino de los números debe expandirse al conjunto completo de números enteros para poder incorporar los enteros negativos. De manera similar, para admitir la división de cualquier número entero por cualquier otro, el reino de los números debe expandirse a los números racionales . Durante esta expansión gradual del sistema numérico, se tiene cuidado de garantizar que las "operaciones extendidas", cuando se aplican a los números más antiguos, no produzcan resultados diferentes. En términos generales, dado que la división por cero no tiene significado (no está definida ) en la configuración de números enteros, esto sigue siendo cierto a medida que la configuración se expande a los números reales o incluso complejos . ^[23]

A medida que se expande el ámbito de números al que se pueden aplicar estas operaciones, también hay cambios en la forma en que se ven las operaciones. Por ejemplo, en el ámbito de los números enteros, la resta ya no se considera una operación básica, ya que puede sustituirse por la suma de números con signo. ^[24] De manera similar, cuando el reino de los números se expande para incluir los números racionales, la división se reemplaza por la multiplicación por ciertos números racionales. De acuerdo con este cambio de punto de vista, la pregunta "¿Por qué no podemos dividir por cero?" se convierte en "¿Por qué un número racional no puede tener un denominador cero?". Responder a esta pregunta revisada requiere precisamente un examen detenido de la definición de números racionales.

En el enfoque moderno para construir el cuerpo de los números reales, los números racionales aparecen como un paso intermedio en el desarrollo que se fundamenta en la teoría de conjuntos. Primero, los números naturales (incluido el cero) se establecen sobre una base axiomática como el sistema de axiomas de Peano y luego este se expande al anillo de los números enteros . El siguiente paso es definir los números racionales teniendo en cuenta que esto se debe hacer utilizando únicamente los conjuntos y operaciones que ya se han establecido, es decir, la suma, la multiplicación y los números enteros. Comenzando con el conjunto de pares ordenados de enteros, {( a , b )} con b ≠ 0 , defina una relación binaria en este conjunto por ( a , b ) ≃ ( c , d ) si y solo si ad = bc . Se demuestra que esta relación es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se definen como números racionales. Es en la prueba formal de que esta relación es una relación de equivalencia donde se necesita el requisito de que la segunda coordenada no sea cero (para verificar la transitividad ). ^{[25] [26] [27]}

Aunque la división por cero no se puede definir de manera sensata con números reales y enteros, es posible definirla consistentemente, u operaciones similares, en otras estructuras matemáticas.

Análisis no estándar

En los números hiperreales , la división por cero sigue siendo imposible, pero la división por infinitesimales distintos de cero es posible. ^[28] Lo mismo ocurre con los números surrealistas . ^[29]

Teoría de la distribución

En la teoría de la distribución , se puede extender la función a una distribución en todo el espacio de números reales (de hecho, utilizando los valores principales de Cauchy ). Sin embargo, no tiene sentido pedir un "valor" de esta distribución en x  = 0; una respuesta sofisticada se refiere al soporte singular de la distribución. ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

Álgebra lineal

En álgebra matricial , los bloques de números cuadrados o rectangulares se manipulan como si fueran números en sí: las matrices se pueden sumar y multiplicar y, en algunos casos, también existe una versión de división. Dividir por una matriz significa, más precisamente, multiplicar por su inversa . No todas las matrices tienen inversas. ^[30] Por ejemplo, una matriz que contiene sólo ceros no es invertible.

Se puede definir una pseudodivisión estableciendo a / b  =  ab ⁺ , en la que b ⁺ representa la pseudoinversa de b . Se puede demostrar que si b ⁻¹ existe, entonces b ⁺ = b ⁻¹ . Si b es igual a 0, entonces b ⁺ = 0.

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta, los números enteros, los números racionales, los números reales y los números complejos se pueden abstraer a estructuras algebraicas más generales, como un anillo conmutativo , que es una estructura matemática donde la suma, la resta y la multiplicación se comportan como lo hacen. en los sistemas numéricos más familiares, pero es posible que la división no esté definida. Adjuntar una inversa multiplicativa a un anillo conmutativo se llama localización . Sin embargo, la localización de cada anillo conmutativo en cero es el anillo trivial , donde , por lo que los anillos conmutativos no triviales no tienen inversas en cero y, por lo tanto, la división por cero no está definida para los anillos conmutativos no triviales. ${\displaystyle 0=1}$

Sin embargo, cualquier sistema numérico que forme un anillo conmutativo puede extenderse a una estructura llamada rueda en la que siempre es posible la división por cero. Sin embargo, la estructura matemática resultante ya no es un anillo conmutativo, ya que la multiplicación ya no se distribuye sobre la suma. Además, en una rueda, la división de un elemento por sí mismo ya no da como resultado el elemento identidad multiplicativo , y si el sistema original era un dominio integral , la multiplicación en la rueda ya no da como resultado un semigrupo cancelador . ${\displaystyle 1}$

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos . En un campo, cada elemento distinto de cero es invertible mediante la multiplicación; Como se indicó anteriormente, la división plantea problemas sólo cuando se intenta dividir por cero. Esto también es válido en un campo sesgado (que por esta razón se llama anillo de división ). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos distintos de cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo Z /6 Z de números enteros mod 6. El significado de la expresión debe ser la solución x de la ecuación . Pero en el anillo Z /6 Z , 2 es divisor de cero . Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, x = 1 y x = 4 , por lo que la expresión no está definida . ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ ${\displaystyle 2x=2}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$

En teoría de campos, la expresión es sólo una abreviatura de la expresión formal ab ⁻¹ , donde b ⁻¹ es el inverso multiplicativo de b . Dado que los axiomas de campo sólo garantizan la existencia de tales inversas para elementos distintos de cero, esta expresión no tiene significado cuando b es cero. Los textos modernos, que definen los campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma 0 ≠ 1 para campos (o su equivalente) de modo que el anillo cero queda excluido de ser un campo. En el anillo cero, la división por cero es posible, lo que muestra que los otros axiomas de campo no son suficientes para excluir la división por cero en un campo. ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$

aritmética informática

Aritmética de punto flotante

En informática, la mayoría de los cálculos numéricos se realizan con aritmética de punto flotante , que desde la década de 1980 está estandarizada por la especificación IEEE 754 . En la aritmética de punto flotante IEEE, los números se representan mediante un signo (positivo o negativo), un significado de precisión fija y un exponente entero . Los números cuyo exponente es demasiado grande para representar "desbordamiento" al infinito positivo o negativo (+∞ o −∞), mientras que los números cuyo exponente es demasiado pequeño para representar " desbordamiento " al cero positivo o negativo (+0 o −0) . Un valor NaN (no un número) representa resultados indefinidos.

En aritmética IEEE, la división de 0/0 o ∞/∞ da como resultado NaN, pero por lo demás la división siempre produce un resultado bien definido. Dividir cualquier número distinto de cero por cero positivo (+0) da como resultado un infinito del mismo signo que el dividendo. Dividir cualquier número distinto de cero por cero negativo (−0) da como resultado un infinito de signo opuesto como dividendo. Esta definición preserva el signo del resultado en caso de desbordamiento aritmético . ^[31]

Por ejemplo, usando aritmética IEEE de precisión simple, si x = −2 ⁻¹⁴⁹ , entonces x /2 se desborda a −0, y dividir 1 por este resultado produce 1/( x /2) = −∞. El resultado exacto −2 ¹⁵⁰ es demasiado grande para representarlo como un número de precisión simple, por lo que se utiliza un infinito del mismo signo para indicar desbordamiento.

aritmética de enteros

Las calculadoras portátiles, como esta TI-86 , normalmente se detienen y muestran un mensaje de error después de intentar dividir por cero.

La división de enteros por cero generalmente se maneja de manera diferente a la coma flotante, ya que no hay una representación entera para el resultado. Las CPU difieren en su comportamiento: por ejemplo, los procesadores x86 activan una excepción de hardware , mientras que los procesadores PowerPC generan silenciosamente un resultado incorrecto para la división y continúan. Debido a esta inconsistencia entre plataformas, los lenguajes de programación C y C++ consideran el resultado de dividir por cero un comportamiento indefinido . ^[32] En lenguajes de programación típicos de nivel superior , como Ada , Python , ^[33] y Java , se genera una excepción para el intento de división por cero, que se puede manejar en otra parte del programa. En Zig , al intentar dividir por cero, el programa se bloquea. ^[34] Los programas de computadora a menudo verifican si el denominador es cero usando un condicional (si-entonces-si no) antes de la división de enteros.

Los lenguajes matemáticos simbólicos Maple y SageMath devuelven un mensaje de error para 1/0, mientras que Microsoft Math Solver y Mathematica devuelven ComplexInfinity.

La mayoría de las calculadoras arrojarán un error o indicarán que 1/0 no está definido, pero algunas permiten la división por cero en casos especiales. Algunas calculadoras gráficas de Texas Instruments y Hewlett-Packard evaluarán (1/0) ² a ∞.

Asistentes en prueba

Muchos asistentes de prueba , como Coq y Lean , definen 1/0 = 0. Esto se debe al requisito de que todas las funciones sean totales . Tal definición no crea contradicciones, ya que manipulaciones posteriores (como cancelar ) aún requieren que el divisor sea distinto de cero. ^{[35] [36]}

Accidentes historicos

• El 21 de septiembre de 1997, una división por error cero en el "Remote Data Base Manager" a bordo del USS Yorktown (CG-48) derribó todas las máquinas de la red, provocando que fallara el sistema de propulsión del barco. ^{[37] [38]}

Ver también

• divisor cero
• Cero elevado a cero

Notas

1. "Documentación de Perl BigInt", Perl::doc , Perl 5 Porters, archivado desde el original el 26 de septiembre de 2019 , recuperado 1 de marzo 2020
2. Cheng 2023, págs. 75–83.
3. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 52–53.
4. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55–56.
5. Kochenburger, Ralph J.; Turcio, Carolyn J. (1974), Computers in Modern Society, Santa Bárbara: Hamilton, Algunas otras operaciones, incluida la división, también se pueden realizar con la calculadora de escritorio (pero no intente dividir por cero; la calculadora nunca se detendrá). tratando de dividir hasta que se detenga manualmente).
   Para ver una demostración en video, consulte: ¿ Qué sucede cuando se divide por cero en una calculadora mecánica? , recuperado el 6 de enero de 2024 - a través de YouTube
6. Zazkis y Liljedahl 2009, págs. 53–54, dan un ejemplo de los herederos de un rey dividiendo equitativamente su herencia de 12 diamantes y preguntan qué pasaría en el caso de que todos los herederos murieran antes de que se pudiera ejecutar el testamento del rey.
7. En China, Taiwán y Japón, los libros de texto escolares suelen distinguir entre la proporción y el valor de la proporción. Por el contrario, en los libros de texto de EE. UU. suelen tratarlos como dos notaciones para la misma cosa. ${\displaystyle N:D}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}.}$
   Mira, Jane-Jane; Watanabe, Tad; Cai, Jinfa (2004), "Desarrollo de conceptos de proporciones: una perspectiva asiática", Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , 9 (7): 362–367, doi :10.5951/MTMS.9.7.0362, JSTOR  41181943
8. Cengiz, Nesrin; Rathouz, Margaret (2018), "Dar sentido a las proporciones equivalentes", Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , 24 (3): 148–155, doi :10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, S2CID  188092067
9. Clark, Mateo R.; Berenson, Sarah B.; Cavey, Laurie O. (2003), "Una comparación de proporciones y fracciones y sus funciones como herramientas en el razonamiento proporcional", The Journal of Mathematical Behavior , 22 (3): 297–317, doi :10.1016/S0732-3123(03 )00023-3
10. Cheng, Ivan (2010), "Fracciones: una nueva inclinación en la pendiente", Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , 16 (1): 34–41, doi :10.5951/MTMS.16.1.0034, JSTOR  41183440
11. Cavey, Laurie O.; Mahavier, W. Ted (2010), "Ver el potencial de las preguntas de los estudiantes", The Mathematics Teacher , 104 (2): 133–137, doi :10.5951/MT.104.2.0133, JSTOR  20876802
12. Wegman, Edward J.; Said, Yasmin H. (2010), "Coordenadas naturales homogéneas", Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics , 2 (6): 678–685, doi :10.1002/wics.122, S2CID  121947341
13. Robinson, KM; LeFevre, JA (2012). "La relación inversa entre multiplicación y división: conceptos, procedimientos y un marco cognitivo". Estudios Educativos en Matemáticas . 79 (3): 409–428. JSTOR  41413121.
14. Cheng 2023, pag. 78; Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55
15. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55.
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Fuentes

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Otras lecturas

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• Seife, Charles (2000), Zero: La biografía de una idea peligrosa , Nueva York: Penguin, ISBN 0-14-029647-6
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