Valor principal de Cauchy

Método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas

En matemáticas , el valor principal de Cauchy , llamado así en honor a Augustin-Louis Cauchy , es un método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas. En este método, se evita una singularidad en un intervalo integral limitando el intervalo integral al dominio no singular.

Formulación

Dependiendo del tipo de singularidad en el integrando f , el valor principal de Cauchy se define según las siguientes reglas:

Para una singularidad en un número finito b

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$$

con y donde b es el punto difícil, en el cual el comportamiento de la función f es tal que ${\displaystyle a<b<c}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$$

para cualquier y ${\displaystyle a<b}$

$${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$$

para cualquiera (consulte más o menos para conocer el uso preciso de las notaciones ± y ∓). ${\displaystyle b<c.}$

Para una singularidad en el infinito ( ) ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$$

dónde

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$

y

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

En algunos casos es necesario tratar simultáneamente con singularidades tanto en un número finito b como en el infinito. Esto generalmente se hace mediante un límite de la forma

$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}$$

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }$$

$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}$$

integrales de contornoC.εε^[1] ${\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$

$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$

integrables de Lebesguevalor absolutomeromorfateorema de Sokhotski-PlemeljCteorema del residuolas transformadas de Hilbert^[2] ${\displaystyle f(z)}$

Teoría de la distribución

Sea el conjunto de funciones de relieve , es decir, el espacio de funciones suaves con soporte compacto sobre la recta real . Entonces el mapa ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$

distribuciónvalor principalpvtransformada de Fourierfunción de signofunción de paso de Heaviside

Bien definida como distribución

Para probar la existencia del límite.

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$

función de Schwartz ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$

$${\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}$$

$${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}$$

la regla de L'Hopital ${\displaystyle u'(x)}$

Por lo tanto, existe y aplicando el teorema del valor medio obtenemos : ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle u(x)-u(-x),}$

${\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}$

Y además:

${\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}$

observamos que el mapa

$${\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$

las funciones de Schwartzespacio de Schwartzdistribución templada ${\displaystyle u}$

Tenga en cuenta que la prueba simplemente debe ser continuamente diferenciable en una vecindad de 0 y estar acotada hacia el infinito. Por lo tanto, el valor principal se define sobre supuestos aún más débiles, como integrable con soporte compacto y diferenciable en 0. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\,u}$ ${\displaystyle u}$

Definiciones más generales

El valor principal es la distribución inversa de la función y es casi la única distribución con esta propiedad: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$$

${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta }$

En un sentido más amplio, el valor principal se puede definir para una amplia clase de núcleos integrales singulares en el espacio euclidiano . Si tiene una singularidad aislada en el origen, pero por lo demás es una función "agradable", entonces la distribución del valor principal se define en funciones suaves soportadas de forma compacta por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$$

funcióntransformadas de Riesz ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -n}$

Ejemplos

Considere los valores de dos límites:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

Este es el valor principal de Cauchy de la expresión que de otro modo estaría mal definida

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

También:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$$

De manera similar, tenemos

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

Este es el valor principal de la expresión que de otro modo estaría mal definida.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$$

Notación

Diferentes autores utilizan diferentes notaciones para el valor principal de Cauchy de una función , entre otras: ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$

$${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$

Ver también

• Integral de parte finita de Hadamard
• Transformada de Hilbert
• Teorema de Sokhotski-Plemelj

Referencias

1. Kanwal, Ram P. (1996). Ecuaciones integrales lineales: teoría y técnica (2ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pag. 191.ISBN​ 0-8176-3940-3- a través de libros de Google.
2. Rey, Federico W. (2009). Hilbert se transforma . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88762-5.