Indefinido (matemáticas)

Expresión a la que no se le asigna una interpretación

En matemáticas , el término indefinido se utiliza a menudo para referirse a una expresión a la que no se le asigna una interpretación o un valor (como una forma indeterminada , que tiene la posibilidad de asumir diferentes valores). ^[1] El término puede adoptar varios significados diferentes según el contexto. Por ejemplo:

• En diversas ramas de las matemáticas, ciertos conceptos se introducen como nociones primitivas (por ejemplo, los términos " punto ", " línea " y " plano " en geometría ). Como estos términos no se definen en términos de otros conceptos, se los puede denominar "términos indefinidos".
• Se dice que una función está "indefinida" en puntos fuera de su dominio  ; por ejemplo, la función de valor real no está definida para   . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$
• En álgebra , algunas operaciones aritméticas pueden no asignar un significado a ciertos valores de sus operandos (por ejemplo, la división por cero ). En ese caso, las expresiones que involucran dichos operandos se denominan "indefinidas". ^[2]

Términos indefinidos

En la antigüedad, los geómetras intentaban definir cada término. Por ejemplo, Euclides definió un punto como "aquello que no tiene partes". En la época moderna, los matemáticos reconocen que intentar definir cada palabra conduce inevitablemente a definiciones circulares y, por lo tanto, deja algunos términos (como "punto") sin definir (consulte la noción primitiva para obtener más información).

Este enfoque más abstracto permite generalizaciones fructíferas. En topología , un espacio topológico puede definirse como un conjunto de puntos dotados de ciertas propiedades, pero en el contexto general, la naturaleza de estos "puntos" queda totalmente sin definir. Del mismo modo, en la teoría de categorías , una categoría consiste en "objetos" y "flechas", que son nuevamente términos primitivos e indefinidos. Esto permite que estas teorías matemáticas abstractas se apliquen a situaciones concretas muy diversas.

En aritmética

La expresión no está definida en aritmética, como se explica en la división por cero (la expresión se utiliza en cálculo para representar una forma indeterminada ). ${\displaystyle {\frac {n}{0}},n\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Los matemáticos tienen diferentes opiniones sobre si 0 ⁰ debe definirse como igual a 1 o dejarse sin definir.

Valores para los cuales las funciones no están definidas

El conjunto de números para los que se define una función se denomina dominio de la función. Si un número no está en el dominio de una función, se dice que la función está "indefinida" para ese número. Dos ejemplos comunes son , que no está definido para , y , que no está definido (en el sistema de números reales) para  . ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$

En trigonometría

En trigonometría, para todos , las funciones y son indefinidas para todos , mientras que las funciones y son indefinidas para todos . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta }$ ${\displaystyle \sec \theta }$ ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cot \theta }$ ${\displaystyle \csc \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi n}$

En análisis complejo

En el análisis complejo , un punto en el que una función holomorfa no está definida se denomina singularidad . Se distingue entre singularidades removibles (es decir, la función se puede extender holomorfamente a ), polos (es decir, la función se puede extender meromórficamente a ) y singularidades esenciales (es decir, no puede existir ninguna extensión meromórfica a ). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

En la teoría de la computabilidad

Notación utilizando ↓ y ↑

En la teoría de computabilidad , si es una función parcial en y es un elemento de , entonces esto se escribe como , y se lee como " f ( a ) está definida ." ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(a)\downarrow }$

Si no está en el dominio de , entonces se escribe como , y se lee como " no está definido ". ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)\uparrow }$ ${\displaystyle f(a)}$

Es importante distinguir entre la "lógica de la existencia" (la estándar) y la "lógica de la definitividad". Ambas flechas no están bien definidas como predicados en la lógica de la existencia, que normalmente utiliza la semántica de funciones totales. El término f(x) es un término y tiene algún valor, por ejemplo , pero al mismo tiempo puede ser un valor legítimo de una función. Por lo tanto, el predicado "definido" no respeta la igualdad, por lo tanto, no está bien definido. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

La lógica de la definitividad tiene diferentes cálculos de predicados; por ejemplo, la especialización de una fórmula con cuantificador universal requiere que el término esté bien definido. Además, requiere la introducción de una noción de cuasi-igualdad, lo que hace necesaria la reformulación de los axiomas. ^[4] ${\displaystyle (\forall x:\varphi )\&(t\downarrow )\Longrightarrow \varphi [t/x]}$

Los símbolos del infinito

En análisis , teoría de la medida y otras disciplinas matemáticas, el símbolo se utiliza con frecuencia para denotar un pseudonúmero infinito, junto con su negativo, . El símbolo no tiene un significado bien definido por sí mismo, pero una expresión como es una forma abreviada de referirse a una secuencia divergente , que en algún punto es eventualmente mayor que cualquier número real dado. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty }$

No está definida la realización de operaciones aritméticas estándar con los símbolos . Sin embargo, algunas extensiones definen las siguientes convenciones de suma y multiplicación: ${\displaystyle \pm \infty }$

• ${\displaystyle x+\infty =\infty }$   Para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$
• ${\displaystyle -\infty +x=-\infty }$   Para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$
• ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$   Para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$

No existe ninguna extensión sensata de la suma y la multiplicación en los siguientes casos: ${\displaystyle \infty }$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$(aunque en la teoría de la medida , esto a menudo se define como ) ${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle -\infty [{1(0)}]}$

Para obtener más detalles, consulte la recta numérica real extendida .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Undefined". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. Bogomolny, Alexander . «Indefinido vs. indeterminado en matemáticas». Cut-the-Knot . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. Enderton, Herbert B. (2011). Computabilidad: Introducción a la teoría de la recursión . Elseveier. pp. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.
4. Farmer, William M.; Guttman, Joshua D. (octubre de 2000). "Una teoría de conjuntos con apoyo para funciones parciales" (PDF) . Studia Logica . 66 (1, Parcialidad y modalidad): 59–78.

Lectura adicional

• Smart, James R. (1988). Geometrías modernas (tercera edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-08310-2.