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Grupos de puntos en cuatro dimensiones

Una jerarquía de grupos de puntos 4D y algunos subgrupos. El posicionamiento vertical se agrupa por orden. Los colores azul, verde y rosa muestran grupos reflexivos, híbridos y rotacionales.
Algunos grupos de puntos 4D en la notación de Conway

En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo isométrico en cuatro dimensiones que deja el origen fijo, o correspondientemente, un grupo isométrico de una 3-esfera .

Historia de los grupos cuatridimensionales

Isometrías de simetría puntual 4D

Hay cuatro isometrías básicas de simetría puntual de cuatro dimensiones : simetría de reflexión , simetría rotacional , rotoreflexión y doble rotación .

Notación para grupos

Los grupos puntuales en este artículo se dan en notación de Coxeter , que se basa en grupos de Coxeter , con marcas para grupos extendidos y subgrupos. [6] La notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] y [p,2,q]. Estos grupos limitan la 3-esfera en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo de Coxeter , n es la dimensión (4). [7]

Para referencias cruzadas, también se dan aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) [8] y John Conway (2003). [9] La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupo poliédrico quirales: (T=12, O=24, I=60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central , y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un asterisco (*) como superíndice para la simetría especular.

Grupos de involución

Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [ ] + , simetría de reflexión [ ], simetría rotacional doble [2] + , rotoreflexión doble [2 + ,2 + ] y simetría de punto central [2 + ,2 + ,2 + ] como una doble rotación doble .

Grupos de Coxeter de rango 4

Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de 4 dimensiones . También hay tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo está definido por un dominio fundamental de tetraedro de Goursat limitado por planos de espejo. Los ángulos diedros entre los espejos determinan el orden de simetría diedra . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico donde los nodos representan planos de espejo y las aristas se denominan ramas y se etiquetan por su orden de ángulo diedro entre los espejos.

El término polychoron (plural polychora , adjetivo policórico ), proviene de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio") y fue defendido [10] por Norman Johnson y George Olshevsky en el contexto de polychora uniforme (4-politopos), y sus grupos de simetría de 4 dimensiones relacionados. [11]

Los grupos de Coxeter de rango 4 permiten que un conjunto de 4 espejos abarque el espacio cuatridimensional y dividen la esfera tridimensional en dominios fundamentales tetraédricos. Los grupos de Coxeter de rango inferior solo pueden limitar dominios fundamentales hosoédricos u hosótopos en la esfera tridimensional.

Al igual que los grupos poliédricos 3D , los nombres de los grupos policóricos 4D dados se construyen con los prefijos griegos de los recuentos de celdas de los politopos regulares con caras triangulares correspondientes. [12] Existen simetrías extendidas en policoras uniformes con patrones de anillos simétricos dentro de la construcción del diagrama de Coxeter . Existen simetrías quirales en policoras uniformes alternadas .

Sólo los grupos irreducibles tienen números de Coxeter, pero los grupos duoprismáticos [p,2,p] se pueden duplicar a p,2,p añadiendo un giro doble al dominio fundamental, y esto da un número de Coxeter efectivo de 2 p , por ejemplo el [4,2,4] y su grupo de simetría completa B 4 , [4,3,3] con número de Coxeter 8.

El orden de simetría es igual al número de células del policoro regular multiplicado por la simetría de sus células. Los policoros duales omnitruncados tienen células que coinciden con los dominios fundamentales del grupo de simetría.

Subgrupos quirales

Las aristas de 16 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan 6 círculos máximos de simetría B4. 3 círculos se unen en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría cuádruple.
Las aristas de 24 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan los 16 círculos mayores de simetría F4. Cuatro círculos se encuentran en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría triple.
Las aristas de 600 celdas proyectadas sobre una esfera tridimensional representan 72 círculos máximos de simetría H4. Seis círculos se unen en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría quíntuple.

Los subgrupos directos de los grupos puntuales reflexivos de 4 dimensiones son:

Simetría pentacorica

Simetría hexadecacórica

Simetría icositetracórica

Simetría demitesseractica

Simetría hexacosicórica

Simetría duoprismática

Resumen de algunos grupos de puntos de cuatro dimensiones

Este es un resumen de los grupos puntuales de 4 dimensiones en notación de Coxeter . 227 de ellos son grupos puntuales cristalográficos (para valores particulares de p y q). [14] [ which? ] (nc) se proporciona para grupos no cristalográficos. Algunos grupos cristalográficos [ which? ] tienen sus órdenes indexados (order.index) por su estructura de grupo abstracta. [15]

Véase también

Referencias

  1. ^ Hurley, AC; Dirac, PAM (1951). "Grupos de rotación finitos y clases de cristales en cuatro dimensiones". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 47 (4): 650–661. Bibcode :1951PCPS...47..650H. doi :10.1017/S0305004100027109. S2CID  122468489.
  2. ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/Alan/CV25.pdf [ URL básica PDF ]
  3. ^ Mozrzymas, Jan; Solecki, Andrzej (1975). "Grupos puntuales R4". Informes sobre física matemática . 7 (3): 363–394. Bibcode :1975RpMP....7..363M. doi :10.1016/0034-4877(75)90040-3.
  4. ^ Brown, H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H (1978). Grupos cristalográficos del espacio de cuatro dimensiones (PDF) . Wiley .
  5. ^ Warner, NP (1982). "Los grupos de simetría de las teselaciones regulares de S2 y S3". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas . 383 (1785): 379–398. Bibcode :1982RSPSA.383..379W. doi :10.1098/rspa.1982.0136. JSTOR  2397289. S2CID  119786906.
  6. ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , 1985, 2.2 Grupos de reflexión de cuatro dimensiones , 2.3 Subgrupos de índice pequeño
  7. ^ Coxeter , Politopos regulares , §12.6 El número de reflexiones, ecuación 12.61
  8. ^ Patrick Du Val, Homografías, cuaterniones y rotaciones , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press , Oxford , 1964.
  9. ^ Conway y Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003 Capítulo 4, sección 4.4 Notaciones de Coxeter para los grupos poliédricos
  10. ^ "Polítopos convexos y abstractos", Programa y resúmenes, MIT, 2005
  11. ^ Johnson (2015), Capítulo 11, Sección 11.5 Grupos esféricos de Coxeter
  12. ^¿ Qué son los poliedros?, con prefijos numéricos griegos
  13. ^ ab Coxeter, Los grupos abstractos G m;n;p , (1939)
  14. ^ Weigel, D.; Phan, T.; Veysseyre, R. (1987). "Cristalografía, geometría y física en dimensiones superiores. III. Símbolos geométricos para los 227 grupos puntuales cristalográficos en el espacio de cuatro dimensiones". Acta Crystallogr . A43 (3): 294. Bibcode :1987AcCrA..43..294W. doi :10.1107/S0108767387099367.
  15. ^ Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II (1985)

Enlaces externos