En álgebra , un grupo finitamente generado es un grupo G que tiene un conjunto generador finito S, de modo que cada elemento de G puede escribirse como la combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos de S y de inversos de dichos elementos. [1]
Por definición, todo grupo finito es finitamente generado, ya que S puede tomarse como G. Todo grupo infinito finitamente generado debe ser numerable , pero los grupos numerables no necesitan ser finitamente generados. El grupo aditivo de números racionales Q es un ejemplo de un grupo numerable que no es finitamente generado.
Cada grupo abeliano puede verse como un módulo sobre el anillo de números enteros Z , y en un grupo abeliano finitamente generado con generadores x 1 , ..., x n , cada elemento del grupo x puede escribirse como una combinación lineal de estos generadores,
con números enteros α 1 , ..., α n .
Los subgrupos de un grupo abeliano finitamente generado son a su vez finitamente generados.
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados establece que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único hasta el isomorfismo.
Un subgrupo de un grupo finitamente generado no necesita ser finitamente generado. El subgrupo conmutador del grupo libre en dos generadores es un ejemplo de un subgrupo de un grupo finitamente generado que no es finitamente generado.
Por otra parte, todos los subgrupos de un grupo abeliano finitamente generado son finitamente generados.
Un subgrupo de índice finito en un grupo generado finitamente siempre se genera finitamente, y la fórmula del índice de Schreier proporciona un límite en el número de generadores necesarios. [2]
En 1954, Albert G. Howson demostró que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre es a su vez finitamente generada. Además, si y son los números de generadores de los dos subgrupos finitamente generados, entonces su intersección es generada por, como máximo, generadores. [3] Este límite superior fue mejorado significativamente por Hanna Neumann a ; véase la conjetura de Hanna Neumann .
La red de subgrupos de un grupo satisface la condición de cadena ascendente si y solo si todos los subgrupos del grupo son finitamente generados. Un grupo tal que todos sus subgrupos son finitamente generados se llama noetheriano .
Un grupo tal que cada subgrupo finitamente generado es finito se llama localmente finito . Todo grupo localmente finito es periódico , es decir, cada elemento tiene orden finito . Por el contrario , todo grupo abeliano periódico es localmente finito. [4]
La teoría de grupos geométricos estudia las conexiones entre las propiedades algebraicas de grupos finitamente generados y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios en los que actúan estos grupos .
El problema verbal para un grupo finitamente generado es el problema de decisión de si dos palabras en los generadores del grupo representan el mismo elemento. El problema verbal para un grupo finitamente generado dado es solucionable si y solo si el grupo puede ser incluido en cada grupo algebraicamente cerrado .
El rango de un grupo se define a menudo como la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador para el grupo. Por definición, el rango de un grupo finitamente generado es finito.
