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Grupo profinito

En matemáticas , un grupo profinito es un grupo topológico que en cierto sentido se ensambla a partir de un sistema de grupos finitos .

La idea de utilizar un grupo profinito es proporcionar una visión "uniforme" o "sinóptica" de un sistema completo de grupos finitos. Las propiedades del grupo profinito son, en términos generales, propiedades uniformes del sistema. Por ejemplo, el grupo profinito se genera finitamente (como un grupo topológico) si y solo si existe tal que cada grupo en el sistema pueda ser generado por elementos. [1] Muchos teoremas sobre grupos finitos se pueden generalizar fácilmente a grupos profinitos; algunos ejemplos son el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow . [2]

Para construir un grupo profinito se necesita un sistema de grupos finitos y homomorfismos de grupos entre ellos. Sin pérdida de generalidad, estos homomorfismos pueden asumirse como sobreyectivos , en cuyo caso los grupos finitos aparecerán como grupos cocientes del grupo profinito resultante; en cierto sentido, estos cocientes aproximan el grupo profinito.

Ejemplos importantes de grupos profinitos son los grupos aditivos de números enteros -ádicos y los grupos de Galois de extensiones de campos de grado infinito .

Todo grupo profinito es compacto y totalmente desconectado . Una generalización no compacta del concepto es la de los grupos localmente profinitos . Aún más generales son los grupos totalmente desconectados .

Definición

Los grupos profinitos se pueden definir de dos maneras equivalentes.

Primera definición (constructiva)

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . [3] En este contexto, un sistema inverso consiste en un conjunto dirigido, una familia indexada de grupos finitos , cada uno con la topología discreta , y una familia de homomorfismos tales que es la función identidad en y la colección satisface la propiedad de composición siempre que El límite inverso es el conjunto: equipado con la topología de producto relativo .

También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal . En términos categóricos , este es un caso especial de una construcción de límite cofiltrado .

Segunda definición (axiomática)

Un grupo profinito es un grupo topológico compacto y totalmente desconectado : [4] es decir, un grupo topológico que es también un espacio de Stone .

Finalización de beneficios

Dado un grupo arbitrario , existe un grupo profinito relacionadocompletitud profinita de.[4]Se define como el límite inverso de los grupos, donderecorre lossubgrupos normaleseníndicefinito(estos subgrupos normales estánparcialmente ordenadospor inclusión, lo que se traduce en un sistema inverso de homomorfismos naturales entre los cocientes).

Existe un homomorfismo natural , y la imagen de bajo este homomorfismo es densa en . El homomorfismo es inyectivo si y solo si el grupo es residualmente finito (es decir, , donde la intersección pasa por todos los subgrupos normales de índice finito).

El homomorfismo se caracteriza por la siguiente propiedad universal : dado cualquier grupo profinito y cualquier homomorfismo de grupo continuo donde se da la topología más pequeña compatible con operaciones de grupo en las que sus subgrupos normales de índice finito son abiertos, existe un único homomorfismo de grupo continuo con .

Equivalencia

Cualquier grupo construido según la primera definición satisface los axiomas de la segunda definición.

Por el contrario, cualquier grupo que satisfaga los axiomas de la segunda definición puede construirse como un límite inverso según la primera definición utilizando el límite inverso donde se extiende a través de los subgrupos normales abiertos de ordenados por inclusión (inversa). Si se genera topológicamente de manera finita, entonces es además igual a su propia completitud profinita. [5]

Sistemas sobreyectivos

En la práctica, el sistema inverso de grupos finitos es casi siempresobreyectiva , es decir, todas sus funciones son sobreyectivas. Sin pérdida de generalidad, basta considerar solo sistemas sobreyectivos, ya que dado cualquier sistema inverso, es posible construir primero su grupo profinitoy luegoreconstruirlocomo su propia completitud profinita.

Ejemplos

Propiedades y hechos

Grupos ind-finitos

Existe una noción de grupo ind-finito , que es el dual conceptual de los grupos profinitos; es decir, un grupo es ind-finito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un grupo ind). La terminología habitual es diferente: un grupo se llama localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito. Esto es equivalente, de hecho, a ser 'ind-finito'.

Aplicando la dualidad de Pontryagin , se puede ver que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son simplemente los grupos abelianos de torsión .

Grupos profinitos proyectivos

Un grupo profinito esproyectiva si tiene lapropiedad de elevaciónpara cada extensión. Esto es equivalente a decir quees proyectiva si para cada morfismo sobreyectivo de un profinitohay unasección[7][8]

La proyectividad para un grupo profinito es equivalente a cualquiera de las dos propiedades: [7]

Todo grupo profinito proyectivo puede realizarse como un grupo de Galois absoluto de un cuerpo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . [9]

Grupo procíclico

Un grupo profinito esprocíclico si es generado topológicamente por un solo elemento, es decir, siel cierre del subgrupo[10]

Un grupo topológico es procíclico si y solo si donde abarca un conjunto de números primos y es isomorfo a uno u otro [11]

Véase también

Referencias

  1. ^ Segal, Dan (29 de marzo de 2007). "Algunos aspectos de la teoría de grupos profinitos". arXiv : math/0703885 .
  2. ^ Wilson, John Stuart (1998). Grupos profinitos . Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198500827.OCLC 40658188  .
  3. ^ Lenstra, Hendrik. "Grupos profinitos" (PDF) . Universidad de Leiden .
  4. ^ ab Osserman, Brian. "Límites inversos y grupos profinitos" (PDF) . Universidad de California, Davis . Archivado desde el original (PDF) el 26 de diciembre de 2018.
  5. ^ Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007). "Sobre grupos profinitos finitamente generados. I: Completitud fuerte y límites uniformes. II: Productos en grupos cuasisimplres". Ann. Math. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : math/0604399 . doi :10.4007/annals.2007.165.171. S2CID  15670650. Zbl  1126.20018.
  6. ^ Fried y Jarden (2008) pág. 497
  7. ^ ab Serre (1997) pág. 58
  8. ^ Fried y Jarden (2008) pág. 207
  9. ^ Fried y Jarden (2008) págs. 208,545
  10. ^ Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 322. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-642-08473-7.
  11. ^ "MO. Descomposición de grupos procíclicos". MathOverflow .