Cubo

En geometría , un cubo o hexaedro regular es un objeto sólido tridimensional delimitado por seis caras cuadradas congruentes , un tipo de poliedro . Tiene doce aristas congruentes y ocho vértices. Es un tipo de paralelepípedo , con pares de caras opuestas paralelas, y más concretamente un romboedro , con aristas congruentes, y un cuboide rectangular , con ángulos rectos entre pares de caras que se intersecan y pares de aristas que se intersecan. Es un ejemplo de muchas clases de poliedros: sólido platónico , poliedro regular , paraleloedro , zonoedro y plesioedro . El poliedro dual de un cubo es el octaedro regular .

El cubo es el hipercubo tridimensional , una familia de politopos que también incluye al cuadrado bidimensional y al teseracto cuatridimensional . Un cubo con una longitud de lado unitaria es la unidad canónica de volumen en el espacio tridimensional, en relación con la cual se miden otros objetos sólidos.

El cubo se puede representar de muchas maneras, una de las cuales es el gráfico conocido como grafo cúbico . Se puede construir utilizando el producto cartesiano de grafos . El cubo fue descubierto en la antigüedad. Fue asociado con la naturaleza de la tierra por Platón , el fundador del sólido platónico. Fue utilizado como parte del Sistema Solar , propuesto por Johannes Kepler . Se puede derivar de diferentes formas para crear más poliedros, y tiene aplicaciones para construir un nuevo poliedro uniendo otros.

Propiedades

Un cubo es un caso especial de cuboide rectangular en el que las aristas tienen la misma longitud. ^[1] Al igual que otros cuboides, cada cara de un cubo tiene cuatro vértices, cada uno de los cuales se conecta con tres líneas congruentes. Estas aristas forman caras cuadradas, lo que hace que el ángulo diedro de un cubo entre cada dos cuadrados adyacentes sea el ángulo interior de un cuadrado, 90°. Por lo tanto, el cubo tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. ^[2] Debido a estas propiedades, se clasifica como uno de los cinco sólidos platónicos , un poliedro en el que todos los polígonos regulares son congruentes y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. ^[3]

Medición y otras propiedades métricas

Dado que un cubo con una longitud de arista . La diagonal de la cara de un cubo es la diagonal de un cuadrado , y la diagonal espacial de un cubo es una línea que conecta dos vértices que no están en la misma cara, formulada como . Ambas fórmulas se pueden determinar utilizando el teorema de Pitágoras . El área de la superficie de un cubo es seis veces el área de un cuadrado: ^[4] El volumen de un cuboide es el producto de la longitud, el ancho y la altura. Debido a que las aristas de un cubo tienen todas la misma longitud, es: ^[4] $a$ $a{\sqrt {2}}$ $a{\sqrt {3}}$ $A$ $A=6a^{2}.$ $V=a^{3}.$

Un caso especial es el cubo unitario , llamado así por medir una sola unidad de longitud a lo largo de cada arista. De ello se deduce que cada cara es un cuadrado unitario y que la figura entera tiene un volumen de 1 unidad cúbica. ^[5]^[6] El cubo del príncipe Rupert , llamado así por el príncipe Rupert del Rin , es el cubo más grande que puede pasar a través de un agujero cortado en el cubo unitario, a pesar de tener lados aproximadamente un 6% más largos. ^[7] Se dice que un poliedro que puede pasar a través de una copia de sí mismo del mismo tamaño o más pequeño tiene la propiedad de Rupert . ^[8]

Un cubo unitario y un cubo con el doble de volumen.

Un problema geométrico de duplicación del cubo —conocido también como el problema de Delos— requiere la construcción de un cubo con un volumen dos veces mayor que el original utilizando únicamente un compás y una regla . Los matemáticos antiguos no pudieron resolver este viejo problema hasta que el matemático francés Pierre Wantzel demostró en 1837 que era imposible. ^[9]

Relación con las esferas

Con una longitud de arista , la esfera inscrita de un cubo es la esfera tangente a las caras de un cubo en sus centroides, con un radio . La esfera media de un cubo es la esfera tangente a las aristas de un cubo, con un radio . La esfera circunscrita de un cubo es la esfera tangente a los vértices de un cubo, con un radio . ^[10] $a$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Para un cubo cuya esfera circunscrita tiene radio , y para un punto dado en su espacio tridimensional con distancias desde los ocho vértices del cubo, es: ^[11] $R$ $d_{i}$ ${\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.$

Simetría

El cubo tiene simetría octaédrica . Se compone de simetría de reflexión , una simetría al cortarlo en dos mitades por un plano. Hay nueve simetrías de reflexión: las cinco se cortan el cubo desde los puntos medios de sus aristas, y las cuatro se cortan diagonalmente. También se compone de simetría rotacional , una simetría al rotarlo alrededor del eje, desde donde la apariencia es intercambiable. Tiene simetría de rotación octaédrica : tres ejes pasan por el centroide de las caras opuestas del cubo, seis por los puntos medios de las aristas opuestas del cubo y cuatro por los vértices opuestos del cubo; cada uno de estos ejes es respectivamente simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°), simetría rotacional doble (0° y 180°) y simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°). ^[12]^[13]^[14] $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$ $\mathrm {O}$

El poliedro dual se puede obtener a partir de cada uno de los vértices del poliedro tangentes a un plano mediante el proceso conocido como reciprocidad polar . ^[15] Una propiedad de los poliedros duales en general es que el poliedro y su dual comparten su grupo de puntos de simetría tridimensional . En este caso, el poliedro dual de un cubo es el octaedro regular , y ambos poliedros tienen la misma simetría, la simetría octaédrica. ^[16]

El cubo es transitivo por sus caras , lo que significa que sus dos cuadrados son iguales y se pueden representar mediante rotación y reflexión. ^[17] Es transitivo por sus vértices , lo que significa que todos sus vértices son equivalentes y se pueden representar isométricamente bajo su simetría. ^[18] También es transitivo por sus aristas , lo que significa que el mismo tipo de caras rodean cada uno de sus vértices en el mismo orden o en orden inverso, y que todas las dos caras adyacentes tienen el mismo ángulo diedro . Por lo tanto, el cubo es un poliedro regular porque requiere esas propiedades. ^[19]

Clasificaciones

El cubo es un caso especial entre todos los cuboides . Como se mencionó anteriormente, el cubo puede representarse como el cuboide rectangular con aristas de igual longitud y todas sus caras son cuadradas. ^[1] El cubo puede considerarse como el paralelepípedo en el que todas sus aristas son aristas iguales. ^[20]

El cubo es un plesioedro , un tipo especial de poliedro que llena el espacio y que puede definirse como la celda de Voronoi de un conjunto simétrico de Delone . ^[21] Los plesioedros incluyen los paraleloedros , que pueden trasladarse sin rotar para llenar un espacio —llamado panal— en el que cada cara de cualquiera de sus copias está unida a una cara similar de otra copia. Hay cinco tipos de paraleloedros, uno de los cuales es el cuboide. ^[22] Todo paraleloedro tridimensional es un zonohedro , un poliedro centralmente simétrico cuyas caras son polígonos centralmente simétricos , ^[23]

Construcción

Una forma elemental de construir un cubo es mediante su red , una disposición de polígonos que se unen por sus aristas y que forman un poliedro mediante la conexión a lo largo de las aristas de dichos polígonos. Aquí se muestran once redes para el cubo. ^[24]

En geometría analítica , un cubo puede construirse utilizando los sistemas de coordenadas cartesianas . Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las coordenadas cartesianas de los vértices son . ^[25] Su interior consta de todos los puntos con para todos . La superficie de un cubo con centro y longitud de arista de es el lugar geométrico de todos los puntos tales que $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x_{0},x_{1},x_{2})$ $-1<x_{i}<1$ $i$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $2a$ $(x,y,z)$ $\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.$

El cubo es un politopo de Hanner , ya que se puede construir mediante el producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su poliedro dual, el octaedro regular, se construye mediante la suma directa de tres segmentos de línea. ^[26]

Representación

Como gráfico

La gráfica de un cubo y su construcción

Según el teorema de Steinitz , el grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, un marco de un poliedro. Un grafo de este tipo tiene dos propiedades. Es plano , lo que significa que las aristas de un grafo están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas. También es un grafo 3-conexo , lo que significa que, siempre que un grafo con más de tres vértices, y se eliminan dos de los vértices, las aristas permanecen conectadas. ^[27]^[28] El esqueleto de un cubo puede representarse como el grafo, y se llama grafo cúbico , un grafo platónico . Tiene el mismo número de vértices y aristas que el cubo, doce vértices y ocho aristas. ^[29]

El grafo cúbico es un caso especial de grafo hipercubo o cubo —denotado como —porque puede construirse utilizando la operación conocida como producto cartesiano de grafos . Para ponerlo en términos simples, su construcción involucra dos grafos que conectan el par de vértices con una arista para formar un nuevo grafo. ^[30] En el caso del grafo cúbico, es el producto de dos ; en términos generales, es un grafo que se asemeja a un cuadrado. En otras palabras, el grafo cúbico se construye conectando cada vértice de dos cuadrados con una arista. Notacionalmente, el grafo cúbico puede denotarse como . ^[31] Como parte del grafo hipercubo, también es un ejemplo de un grafo de distancia unitaria . ^[32] $n$ $Q_{n}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$

Al igual que otros gráficos de cuboides, el gráfico cúbico también se clasifica como un gráfico de prisma . ^[33]

En proyección ortogonal

Un objeto iluminado por rayos de luz paralelos proyecta una sombra sobre un plano perpendicular a dichos rayos, llamada proyección ortogonal . Un poliedro se considera equiproyectivo si, para alguna posición de la luz, su proyección ortogonal es un polígono regular. El cubo es equiproyectivo porque, si la luz es paralela a una de las cuatro líneas que unen un vértice con el vértice opuesto, su proyección es un hexágono regular . Convencionalmente, el cubo es 6-equiproyectivo. ^[34]

Como matriz de configuración

El cubo puede representarse como una matriz de configuración . Una matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz denota el número de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la no diagonal de una matriz denota el número de elementos de la columna que aparecen en el elemento de la fila o en él. Como se mencionó anteriormente, el cubo tiene ocho vértices, doce aristas y seis caras; cada elemento de la diagonal de una matriz se denota como 8, 12 y 6. La primera columna de la fila del medio indica que hay dos vértices en (es decir, en los extremos de) cada arista, denotado como 2; la columna del medio de la primera fila indica que tres aristas se encuentran en cada vértice, denotado como 3. La siguiente matriz es: ^[35] ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Apariciones

En la antigüedad

El sólido platónico es un conjunto de poliedros conocido desde la antigüedad. Recibe su nombre en honor a Platón en su diálogo Timeo , quien atribuyó a estos sólidos la naturaleza. Uno de ellos, el cubo, representaba el elemento clásico de la tierra debido a su estabilidad. ^[36] Los Elementos de Euclides definieron los sólidos platónicos, incluido el cubo, y el uso de estos sólidos con el problema de encontrar la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. ^[37]

Tras su atribución a la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler en su Harmonices Mundi esbozó cada uno de los sólidos platónicos, uno de ellos es un cubo en el que Kepler decoró un árbol. ^[36] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos colocados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hasta el más externo: octaedro regular , icosaedro regular , dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo. ^[38]

Poliedro, panales y politopos

Algunos de los derivados del cubo, el octaedro estrellado y el tetrakis hexaedro .

El cubo puede aparecer en la construcción de un poliedro, y algunos de sus tipos pueden derivarse de forma diferente en los siguientes:

Al facetar un cubo, es decir, eliminar parte de las caras poligonales sin crear nuevos vértices de un cubo, el poliedro resultante es el octaedro estrellado . ^[39]
El cubo es un poliedro no compuesto , es decir, un poliedro convexo que no se puede separar en dos o más poliedros regulares. El cubo se puede utilizar para construir un nuevo poliedro convexo uniendo otro. ^[40] Unir una pirámide cuadrada a cada cara cuadrada de un cubo produce su Kleetope , un poliedro conocido como tetrakis hexaedro . ^[41] Supongamos que una y dos pirámides cuadradas equiláteras están unidas a sus caras cuadradas. En ese caso, son la construcción de una pirámide cuadrada alargada y una bipirámide cuadrada alargada respectivamente, los ejemplos del sólido de Johnson. ^[42]
Cada uno de los vértices del cubo se puede truncar , y el poliedro resultante es el sólido de Arquímedes , el cubo truncado . ^[43] Cuando sus aristas están truncadas, es un rombicuboctaedro . ^[44] De manera relacionada, el rombicuboctaedro también se puede construir separando las caras del cubo y luego separándolas, después de lo cual se agregan otras caras triangulares y cuadradas entre ellas; esto se conoce como el "cubo expandido". También se puede construir de manera similar mediante el dual del cubo, el octaedro regular. ^[45]
La región de la esquina de un cubo también puede truncarse mediante un plano (por ejemplo, abarcado por los tres vértices vecinos), dando como resultado un tetraedro trirectangular .
El cubo romo es un sólido arquimediano que se puede construir separando los cuadrados de las caras del cubo y rellenando sus huecos con triángulos equiláteros de ángulos torcidos; un proceso conocido como romo . ^[46]

El panal es el relleno o teselación en el espacio tridimensional, es decir, es un objeto en el que la construcción comienza uniendo poliedros sobre sus caras sin dejar un espacio. El cubo se puede representar como la celda , y ejemplos de panal son panal cúbico , panal cúbico de orden 5 , panal cúbico de orden 6 y panal cúbico de orden 7. ^[47] El cubo se puede construir con seis pirámides cuadradas , teselando el espacio uniendo sus vértices. [ ^48]

Un policubo es un poliedro en el que se unen las caras de muchos cubos. Análogamente, puede interpretarse como los poliominós en el espacio tridimensional. ^[49] Cuando se apilan cuatro cubos verticalmente y los otros cuatro se unen al segundo cubo desde arriba de la pila, el policubo resultante es la cruz de Dalí , en honor a Salvador Dalí . La cruz de Dalí es un poliedro espacial de mosaicos, ^[50]^[51] que puede representarse como la red de un teseracto . Un teseracto es un espacio de cuatro dimensiones análogo al cubo delimitado por veinticuatro cuadrados, y está delimitado por los ocho cubos conocidos como sus celdas . ^[52]

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Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Cubo". MathWorld .
Cubo: modelo poliedro interactivo*
Volumen de un cubo, con animación interactiva
Cubo (sitio de Robert Webb)