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Variedad de Poisson

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , una variedad de Poisson es una variedad suave dotada de una estructura de Poisson. La noción de variedad de Poisson generaliza la de variedad simpléctica , que a su vez generaliza el espacio de fases de la mecánica hamiltoniana .

Una estructura de Poisson (o corchete de Poisson) en una variedad suave es una función en el espacio vectorial de funciones suaves en , lo que la convierte en un álgebra de Lie sujeta a una regla de Leibniz (también conocida como álgebra de Poisson ). Las estructuras de Poisson en variedades fueron introducidas por André Lichnerowicz en 1977 [1] y reciben su nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson , debido a su aparición temprana en sus trabajos sobre mecánica analítica . [2]

Una estructura de Poisson en una variedad permite deformar el producto de funciones en un nuevo producto que normalmente no es conmutativo . Este proceso se conoce como cuantificación de deformación , ya que la mecánica clásica puede basarse en estructuras de Poisson, mientras que la mecánica cuántica implica anillos no conmutativos .

Introducción

De los espacios de fases de la mecánica clásica a las variedades simplécticas y de Poisson

En mecánica clásica, el espacio de fases de un sistema físico está formado por todos los valores posibles de la posición y de las variables de momento que admite el sistema. Está naturalmente dotado de una forma simpléctica/corchete de Poisson (véase más adelante), que permite formular las ecuaciones de Hamilton y describir la dinámica del sistema a través del espacio de fases en el tiempo.

Por ejemplo, una partícula que se mueve libremente en el espacio euclidiano de dimensión 1 (es decir, que tiene como espacio de configuración ) tiene un espacio de fases . Las coordenadas describen respectivamente las posiciones y los momentos generalizados. El espacio de observables , es decir, las funciones suaves en , está naturalmente dotado de una operación binaria llamada corchete de Poisson , definida como

Un corchete de este tipo satisface las propiedades estándar de un corchete de Lie , además de una compatibilidad adicional con el producto de funciones, es decir, la identidad de Leibniz . De manera equivalente, el corchete de Poisson en puede reformularse utilizando la forma simpléctica

De hecho, si se considera el campo vectorial hamiltoniano

asociado a una función , entonces el corchete de Poisson se puede reescribir como

Un ejemplo estándar de una variedad simpléctica , y por lo tanto de una variedad de Poisson, es el fibrado cotangente de cualquier variedad suave de dimensión finita Las coordenadas de se interpretan como posiciones de partículas; el espacio de tangentes en cada punto forma el espacio de momentos conjugados (canónicamente). Si es -dimensional, es una variedad suave de dimensión puede considerarse como el espacio de fases asociado. El fibrado cotangente está naturalmente equipado con una forma simpléctica canónica , que, en coordenadas canónicas , coincide con la descrita anteriormente. En general, por el teorema de Darboux , cualquier variedad simpléctica arbitraria admite coordenadas especiales donde la forma y el corchete son equivalentes, respectivamente, a la forma simpléctica y al corchete de Poisson de . Por lo tanto, la geometría simpléctica es el entorno matemático natural para describir la mecánica hamiltoniana clásica.

Las variedades de Poisson son generalizaciones adicionales de las variedades simplécticas, que surgen de la axiomatización de las propiedades satisfechas por el corchete de Poisson en . Más precisamente, una variedad de Poisson consiste en una variedad suave (no necesariamente de dimensión par) junto con un corchete abstracto , también llamado corchete de Poisson, que no surge necesariamente de una forma simpléctica , pero satisface las mismas propiedades algebraicas.

La geometría de Poisson está estrechamente relacionada con la geometría simpléctica: por ejemplo, cada corchete de Poisson determina una foliación de la variedad en subvariedades simplécticas . Sin embargo, el estudio de la geometría de Poisson requiere técnicas que normalmente no se emplean en la geometría simpléctica, como la teoría de los grupoides de Lie y los algebroides .

Además, hay ejemplos naturales de estructuras que deberían ser "moralmente" simplécticas, pero que presentan singularidades, es decir, se debería permitir que su "forma simpléctica" sea degenerada. Por ejemplo, el cociente suave de una variedad simpléctica por un grupo que actúa por simplectomorfismos es una variedad de Poisson, que en general no es simpléctica. Esta situación modela el caso de un sistema físico que es invariante bajo simetrías : el espacio de fases "reducido", obtenido cocientemente del espacio de fases original por las simetrías, en general ya no es simpléctico, sino que es de Poisson.

Historia

Aunque la definición moderna de la variedad de Poisson apareció recién en los años 70 y 80, su origen se remonta al siglo XIX. Alan Weinstein resumió la historia temprana de la geometría de Poisson de la siguiente manera:

"Poisson inventó sus paréntesis como herramienta para la dinámica clásica. Jacobi se dio cuenta de la importancia de estos paréntesis y dilucidó sus propiedades algebraicas, y Lie comenzó el estudio de su geometría". [3]

De hecho, Siméon Denis Poisson introdujo en 1809 lo que ahora llamamos corchete de Poisson para obtener nuevas integrales de movimiento , es decir, cantidades que se conservan a lo largo del movimiento. [4] Más precisamente, demostró que, si dos funciones y son integrales de movimiento, entonces hay una tercera función, denotada por , que también es una integral de movimiento. En la formulación hamiltoniana de la mecánica , donde la dinámica de un sistema físico se describe mediante una función dada (generalmente la energía del sistema), una integral de movimiento es simplemente una función que Poisson conmuta con , es decir, tal que . Lo que se conocerá como el teorema de Poisson puede formularse entonces como

Los cálculos de Poisson ocuparon muchas páginas, y sus resultados fueron redescubiertos y simplificados dos décadas después por Carl Gustav Jacob Jacobi . [2] Jacobi fue el primero en identificar las propiedades generales del corchete de Poisson como una operación binaria. Además, estableció la relación entre el corchete (de Poisson) de dos funciones y el corchete (de Lie) de sus campos vectoriales hamiltonianos asociados , es decir, para reformular (y dar una prueba mucho más corta de) el teorema de Poisson sobre integrales de movimiento. [5] El trabajo de Jacobi sobre los corchetes de Poisson influyó en los estudios pioneros de Sophus Lie sobre simetrías de ecuaciones diferenciales , lo que llevó al descubrimiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Por ejemplo, lo que ahora se denominan estructuras lineales de Poisson (es decir, corchetes de Poisson en un espacio vectorial que envían funciones lineales a funciones lineales) corresponden precisamente a las estructuras del álgebra de Lie. Además, la integrabilidad de una estructura de Poisson lineal (ver más abajo) está estrechamente relacionada con la integrabilidad de su álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie.

El siglo XX vio el desarrollo de la geometría diferencial moderna, pero recién en 1977 André Lichnerowicz introdujo las estructuras de Poisson como objetos geométricos en variedades suaves. [1] Las variedades de Poisson se estudiaron más a fondo en el artículo fundacional de 1983 de Alan Weinstein , donde se demostraron por primera vez muchos teoremas de estructura básicos. [6]

Estos trabajos ejercieron una enorme influencia en las décadas posteriores en el desarrollo de la geometría de Poisson, que hoy en día es un campo propio, y al mismo tiempo está profundamente enredado con muchos otros, incluyendo la geometría no conmutativa , los sistemas integrables , las teorías topológicas de campos y la teoría de la representación .

Definición formal

Hay dos puntos de vista principales para definir las estructuras de Poisson: es habitual y conveniente alternar entre ellos.

Como soporte

Sea una variedad suave y sea el álgebra real de funciones suaves de valor real en , donde la multiplicación se define puntualmente. Un corchete de Poisson (o estructura de Poisson ) en es una función bilineal -

definiendo una estructura del álgebra de Poisson en , es decir, satisfaciendo las tres condiciones siguientes:

Las dos primeras condiciones aseguran que define una estructura de álgebra de Lie en , mientras que la tercera garantiza que, para cada , la aplicación lineal es una derivación del álgebra , es decir, define un campo vectorial llamado campo vectorial hamiltoniano asociado a .

Al elegir coordenadas locales , cualquier corchete de Poisson viene dado por para el corchete de Poisson de las funciones de coordenadas.

Como bivector

Un bivector de Poisson en una variedad suave es un campo bivectorial que satisface la ecuación diferencial parcial no lineal , donde

denota el corchete de Schouten–Nijenhuis en campos multivectoriales. Al elegir coordenadas locales , cualquier bivector de Poisson está dado por para funciones suaves antisimétricas en .

Equivalencia de las definiciones

Sea un corchete bilineal antisimétrico (llamado "corchete casi de Lie") que satisface la regla de Leibniz; entonces la función puede describirse como para un único campo bivectorial liso . A la inversa, dado cualquier campo bivectorial liso en , la misma fórmula define un corchete casi de Lie que obedece automáticamente la regla de Leibniz.

Entonces las siguientes condiciones de integrabilidad son equivalentes:

Una estructura de Poisson sin ninguno de los cuatro requisitos anteriores también se denomina estructura casi de Poisson . [5]

Estructuras de Poisson holomórficas

La definición de estructura de Poisson para variedades realmente suaves también se puede adaptar al caso complejo.

Una variedad de Poisson holomorfa es una variedad compleja cuyo haz de funciones holomorfas es un haz de álgebras de Poisson. De manera equivalente, recordemos que un campo bivectorial holomorfo en una variedad compleja es una sección tal que . Entonces, una estructura de Poisson holomorfa en es un campo bivectorial holomorfo que satisface la ecuación . Las variedades de Poisson holomorfas se pueden caracterizar también en términos de estructuras de Poisson-Nijenhuis. [7]

Muchos resultados para estructuras de Poisson reales, por ejemplo en lo que respecta a su integrabilidad, se extienden también a las holomorfas. [8] [9]

Las estructuras de Poisson holomorfas aparecen naturalmente en el contexto de estructuras complejas generalizadas : localmente, cualquier variedad compleja generalizada es el producto de una variedad simpléctica y una variedad de Poisson holomorfa. [10]

Cuantización de la deformación

La noción de variedad de Poisson surge naturalmente de la teoría de deformación de las álgebras asociativas . Para una variedad suavizada , las funciones suavizadas forman un álgebra conmutativa sobre los números reales , utilizando la adición y multiplicación puntual (lo que significa que para los puntos en ). Una deformación de orden th de esta álgebra se da mediante una fórmula

para tal que el producto estrella es asociativo (módulo ), pero no necesariamente conmutativo.

Una deformación de primer orden de es equivalente a una estructura casi de Poisson como la definida anteriormente, es decir, un mapa de "corchetes" bilineal

que es antisimétrica y satisface la regla de Leibniz. [5] Explícitamente, se puede ir de la deformación al soporte mediante

Una deformación de primer orden también es equivalente a un campo bivectorial, es decir, una sección suave de .

Un corchete satisface la identidad de Jacobi (es decir, es una estructura de Poisson) si y solo si la deformación de primer orden correspondiente de puede extenderse a una deformación de segundo orden. [5] Sorprendentemente, la fórmula de cuantificación de Kontsevich muestra que cada variedad de Poisson tiene una cuantificación de deformación . Es decir, si una deformación de primer orden de puede extenderse a segundo orden, entonces puede extenderse a orden infinito.

Ejemplo: Para cualquier variedad suave , el fibrado cotangente es una variedad simpléctica y, por lo tanto, una variedad de Poisson. La deformación no conmutativa correspondiente de está relacionada con el álgebra de operadores diferenciales lineales en . Cuando es la línea real , la no conmutatividad del álgebra de operadores diferenciales (conocida como el álgebra de Weyl ) se deduce del cálculo que

Hojas simplécticas

Una variedad de Poisson se divide naturalmente en variedades simplécticas regularmente inmersas de dimensiones posiblemente diferentes, llamadas hojas simplécticas . Estas surgen como las subvariedades integrales máximas de la foliación singular completamente integrable abarcada por los campos vectoriales hamiltonianos.

Rango de una estructura de Poisson

Recordemos que cualquier campo bivectorial puede considerarse un homomorfismo oblicuo, el morfismo musical . Por lo tanto, la imagen consta de los valores de todos los campos vectoriales hamiltonianos evaluados en cada .

El rango de en un punto es el rango de la función lineal inducida . Un punto se denomina regular para una estructura de Poisson en si y solo si el rango de es constante en un entorno abierto de ; de lo contrario, se denomina punto singular . Los puntos regulares forman un subespacio denso abierto ; cuando , es decir, la función es de rango constante, la estructura de Poisson se denomina regular . Los ejemplos de estructuras de Poisson regulares incluyen estructuras triviales y no degeneradas (ver a continuación).

El caso regular

Para una variedad de Poisson regular, la imagen es una distribución regular ; es fácil comprobar que es involutiva, por lo tanto, por el teorema de Frobenius , admite una partición en hojas. Además, el bivector de Poisson se restringe perfectamente a cada hoja, que por lo tanto se convierten en variedades simplécticas.

El caso no regular

Para una variedad de Poisson no regular la situación es más complicada, ya que la distribución es singular , es decir, los subespacios vectoriales tienen diferentes dimensiones.

Una subvariedad integral para es una subvariedad conexa por caminos que satisface para todo . Las subvariedades integrales de son variedades automáticamente regularmente inmersas, y las subvariedades integrales máximas de se denominan hojas de .

Además, cada hoja lleva una forma simpléctica natural determinada por la condición para todos y . En consecuencia, se habla de las hojas simplécticas de . Además, tanto el espacio de puntos regulares como su complemento están saturados de hojas simplécticas, por lo que las hojas simplécticas pueden ser regulares o singulares.

Teorema de división de Weinstein

Para demostrar la existencia de hojas simplécticas en el caso no regular, se puede utilizar el teorema de desdoblamiento de Weinstein (o teorema de Darboux-Weinstein). [6] Afirma que cualquier variedad de Poisson se desdobla localmente alrededor de un punto como el producto de una variedad simpléctica y una subvariedad transversal de Poisson que se desvanece en . Más precisamente, si , existen coordenadas locales tales que el bivector de Poisson se desdobla como la suma

Nótese que, cuando el rango de es máximo (por ejemplo, la estructura de Poisson no es degenerada, de modo que ), se recupera el teorema clásico de Darboux para estructuras simplécticas.

Ejemplos

Estructuras triviales de Poisson

Toda variedad tiene la estructura trivial de Poisson , descrita de manera equivalente por el bivector . Por lo tanto, cada punto de es una hoja simpléctica de dimensión cero.

Estructuras de Poisson no degeneradas

Un campo bivectorial se denomina no degenerado si es un isomorfismo de fibrado vectorial. Los campos bivectoriales de Poisson no degenerados son en realidad lo mismo que las variedades simplécticas .

De hecho, existe una correspondencia biyectiva entre campos bivectoriales no degenerados y 2-formas no degeneradas , dada por el isomorfismo musical

donde está codificado por . Además, es Poisson precisamente si y solo si es cerrado; en tal caso, el corchete se convierte en el corchete de Poisson canónico de la mecánica hamiltoniana:

Las estructuras de Poisson no degeneradas tienen una sola hoja simpléctica, es decir, ella misma, y ​​su álgebra de Poisson se convierte en un anillo de Poisson .

Estructuras lineales de Poisson

Una estructura de Poisson en un espacio vectorial se denomina lineal cuando el corchete de dos funciones lineales sigue siendo lineal.

La clase de espacios vectoriales con estructuras lineales de Poisson coincide con la de los duales de las álgebras de Lie . El dual de cualquier álgebra de Lie de dimensión finita lleva un corchete de Poisson lineal, conocido en la literatura con los nombres de estructura de Lie-Poisson, Kirillov-Poisson o KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): donde y las derivadas se interpretan como elementos del bivector . De manera equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como donde son coordenadas en y son las constantes de estructura asociadas de ,

Por el contrario, cualquier estructura lineal de Poisson en debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en cuyo corchete de Lie-Poisson se recupera .

Las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson en son las órbitas de la acción coadjunta de en .

Estructuras de Poisson lineales por fibras

El ejemplo anterior se puede generalizar de la siguiente manera. Una estructura de Poisson en el espacio total de un fibrado vectorial se denomina lineal por fibras cuando el corchete de dos funciones suaves , cuyas restricciones a las fibras son lineales, da como resultado un corchete que es lineal cuando se restringe a las fibras. De manera equivalente, se le pide al campo bivectorial de Poisson que satisfaga para cualquier , donde es la multiplicación escalar .

La clase de fibrados vectoriales con estructuras de Poisson lineales coincide con la de los duales de los algebroides de Lie . El dual de cualquier algebroides de Lie lleva un corchete de Poisson lineal por fibras, [11] definido de forma única por donde es la evaluación por . De forma equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como donde son coordenadas alrededor de un punto , son coordenadas de fibras en , duales a un marco local de , y y son la función de estructura de , es decir, las únicas funciones suaves que satisfacen . Inversamente, cualquier estructura de Poisson lineal por fibras en debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de algebroides de Lie natural inducida en cuyo backet de Lie-Poisson recupera . [12]

Las hojas simplécticas de son los fibrados cotangentes de las órbitas algebroides ; equivalentemente, si es integrable a un grupoide de Lie , son los componentes conexos de las órbitas del grupoide cotangente .

Para uno se recuperan estructuras de Poisson lineales, mientras que para la estructura de Poisson lineal por fibras es la no degenerada dada por la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente .

Otros ejemplos y construcciones

Cohomología de Poisson

Los grupos de cohomología de Poisson de una variedad de Poisson son los grupos de cohomología del complejo de cocadena

donde el operador es el corchete de Schouten-Nijenhuis con . Nótese que dicha secuencia se puede definir para cada bivector en ; la condición es equivalente a , es decir, es Poisson.

Utilizando el morfismo , se obtiene un morfismo del complejo de De Rham al complejo de Poisson , induciendo un homomorfismo de grupo . En el caso no degenerado, esto se convierte en un isomorfismo, de modo que la cohomología de Poisson de una variedad simpléctica recupera completamente su cohomología de De Rham .

La cohomología de Poisson es difícil de calcular en general, pero los grupos de bajo grado contienen información geométrica importante sobre la estructura de Poisson:

Clase modular

La clase modular de una variedad de Poisson es una clase del primer grupo de cohomología de Poisson, que es la obstrucción a la existencia de una forma de volumen invariante bajo los flujos hamiltonianos. [13] Fue introducida por Koszul [14] y Weinstein. [15]

Recordemos que la divergencia de un campo vectorial respecto de una forma de volumen dada es la función definida por . El campo vectorial modular de una variedad de Poisson, respecto de una forma de volumen , es el campo vectorial definido por la divergencia de los campos vectoriales hamiltonianos: .

El campo vectorial modular es un 1-cociclo de Poisson, es decir, satisface . Además, dadas dos formas de volumen y , la diferencia es un campo vectorial hamiltoniano. En consecuencia, la clase de cohomología de Poisson no depende de la elección original de la forma de volumen , y se denomina clase modular de la variedad de Poisson.

Una variedad de Poisson se denomina unimodular si su clase modular se anula. Nótese que esto sucede si y solo si existe una forma de volumen tal que el campo vectorial modular se anule, es decir, para cada ; en otras palabras, es invariante bajo el flujo de cualquier campo vectorial hamiltoniano. Por ejemplo:

Homología de Poisson

La cohomología de Poisson fue introducida en 1977 por el propio Lichnerowicz; [1] una década más tarde, Brylinski introdujo una teoría de homología para las variedades de Poisson, utilizando el operador . [18]

Se han demostrado varios resultados que relacionan la homología y la cohomología de Poisson. [19] Por ejemplo, para variedades de Poisson unimodulares orientables , la homología de Poisson resulta ser isomorfa a la cohomología de Poisson: esto fue demostrado independientemente por Xu [20] y Evans-Lu-Weinstein. [16]

Mapas de Poisson

Un mapa suave entre variedades de Poisson se llamaMapa de Poisson si respeta las estructuras de Poisson, es decir, se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (compárese con las definiciones equivalentes de estructuras de Poisson anteriores):

Un mapa anti-Poisson satisface condiciones análogas con un signo menos en un lado.

Las variedades de Poisson son los objetos de una categoría , con funciones de Poisson como morfismos. Si una función de Poisson es también un difeomorfismo, entonces lo llamamos difeomorfismo de Poisson .

Ejemplos

Cabe señalar que el concepto de mapa de Poisson es fundamentalmente diferente al de mapa simpléctico . Por ejemplo, con sus estructuras simplécticas estándar, no existen mapas de Poisson , mientras que los mapas simplécticos abundan.

Realizaciones simplécticas

Una realización simpléctica en una variedad de Poisson M consiste en una variedad simpléctica junto con una función de Poisson que es una inmersión sobreyectiva. En términos generales, la función de una realización simpléctica es "desingularizar" una variedad de Poisson complicada (degenerada) pasándola a una más grande, pero más fácil (no degenerada).

Obsérvese que algunos autores definen realizaciones simplécticas sin esta última condición (de modo que, por ejemplo, la inclusión de una hoja simpléctica en una variedad de Poisson es un ejemplo) y llaman completa a una realización simpléctica donde es una inmersión sobreyectiva. Algunos ejemplos de realizaciones simplécticas (completas) incluyen los siguientes:

Una realización simpléctica se denomina completa si, para cualquier campo vectorial hamiltoniano completo , el campo vectorial también es completo. Si bien siempre existen realizaciones simplécticas para cada variedad de Poisson (y hay varias demostraciones disponibles), [6] [21] [22] las completas no existen, y su existencia juega un papel fundamental en el problema de integrabilidad para variedades de Poisson (ver más abajo). [23]

Integración de variedades de Poisson

Cualquier variedad de Poisson induce una estructura de algebroide de Lie en su fibrado cotangente , también llamado algebroide cotangente . La función de anclaje está dada por mientras que el corchete de Lie en se define como Varias nociones definidas para variedades de Poisson se pueden interpretar a través de su algebroide de Lie :

Es de crucial importancia notar que el algebroide de Lie no siempre es integrable en un grupooide de Lie.

Grupoides simplécticos

AEl grupoide simpléctico es ungrupoide de Lie junto con una forma simplécticaque también es multiplicativa, es decir, satisface la siguiente compatibilidad algebraica con la multiplicación de grupoides:. De manera equivalente, se pide que el gráfico desea unasubvariedad lagrangianade. Entre las diversas consecuencias, la dimensión dees automáticamente el doble de la dimensión de. La noción de grupoide simpléctico fue introducida a fines de los años 80 de forma independiente por varios autores.[24][25][21][11]

Un teorema fundamental establece que el espacio base de cualquier grupoide simpléctico admite una estructura de Poisson única tal que la función fuente y la función destino son, respectivamente, una función de Poisson y una función anti-Poisson. Además, el algebroide de Lie es isomorfo al algebroide cotangente asociado a la variedad de Poisson . [26] Por el contrario, si el fibrado cotangente de una variedad de Poisson es integrable a algún grupoide de Lie , entonces es automáticamente un grupoide simpléctico. [27]

En consecuencia, el problema de integrabilidad de una variedad de Poisson consiste en encontrar un grupoide de Lie (simpléctico) que integre su algebroide cotangente; cuando esto sucede, la estructura de Poisson se denomina integrable .

Si bien cualquier variedad de Poisson admite una integración local (es decir, un grupoide simpléctico donde la multiplicación se define solo localmente), [26] existen obstrucciones topológicas generales a su integrabilidad, provenientes de la teoría de integrabilidad para álgebroides de Lie. [28] Usando tales obstrucciones, uno puede demostrar que una variedad de Poisson es integrable si y solo si admite una realización simpléctica completa. [23]

El candidato para el grupoide simpléctico que integra una variedad de Poisson dada se llama grupoide de homotopía de Poisson y es simplemente el grupoide de Weinstein del algebroide cotangente , que consiste en el cociente del espacio de Banach de una clase especial de caminos en por una relación equivalente adecuada. De manera equivalente, se puede describir como un cociente simpléctico de dimensión infinita . [29]

Ejemplos de integraciones

Subvariedades

Una subvariedad de Poisson de es una subvariedad sumergida tal que el mapa de inmersión es un mapa de Poisson. De manera equivalente, se pregunta que todo campo vectorial hamiltoniano , para , es tangente a .

Esta definición es muy natural y satisface varias propiedades buenas, por ejemplo, la intersección transversal de dos subvariedades de Poisson es nuevamente una subvariedad de Poisson. Sin embargo, también tiene algunos problemas:

Para superar estos problemas, a menudo se utiliza la noción de transversal de Poisson (originalmente llamada subvariedad cosimpléctica). [6] Esta puede definirse como una subvariedad que es transversal a cada hoja simpléctica y tal que la intersección es una subvariedad simpléctica de . De ello se deduce que cualquier transversal de Poisson hereda una estructura de Poisson canónica de . En el caso de una variedad de Poisson no degenerada (cuya única hoja simpléctica es ella misma), las transversales de Poisson son lo mismo que las subvariedades simplécticas.

Las clases más generales de subvariedades juegan un papel importante en la geometría de Poisson, incluidas las subvariedades de Lie-Dirac, las subvariedades de Poisson-Dirac, las subvariedades coisotrópicas y las subvariedades pre-Poisson.

Véase también

Referencias

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