Polinomios de Laguerre

Secuencia de soluciones de ecuaciones diferenciales

Gráfico de color complejo del polinomio de Laguerre L n(x) con n como -1 dividido por 9 y x como z a la cuarta potencia desde -2-2i hasta 2+2i

En matemáticas , los polinomios de Laguerre , llamados así por Edmond Laguerre (1834–1886), son soluciones no triviales de la ecuación diferencial de Laguerre: que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden . Esta ecuación tiene soluciones no singulares solo si n es un entero no negativo. $${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=y(x)}$$

A veces se utiliza el nombre de polinomios de Laguerre para las soluciones de donde n sigue siendo un entero no negativo. En ese caso, también se los denomina polinomios de Laguerre generalizados , como se hará aquí (alternativamente, polinomios de Laguerre asociados o, en raras ocasiones, polinomios de Sonine , en honor a su inventor ^[1] Nikolay Yakovlevich Sonin ). $${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.}$$

De manera más general, una función de Laguerre es una solución cuando n no es necesariamente un entero no negativo.

Los polinomios de Laguerre también se utilizan para la cuadratura de Gauss-Laguerre para calcular numéricamente integrales de la forma $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$$

Estos polinomios, usualmente denotados L ₀ ,  L ₁ , ..., son una secuencia polinómica que puede definirse mediante la fórmula de Rodrigues ,

$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$reduciendo a la forma cerrada de una sección siguiente.

Son polinomios ortogonales respecto de un producto interno $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$$

Los polinomios de Rook en combinatoria son más o menos los mismos que los polinomios de Laguerre, salvo los cambios elementales de variables. Para más información, véase los polinomios de Tricomi-Carlitz .

Los polinomios de Laguerre surgen en mecánica cuántica, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo de un electrón. También describen las funciones estáticas de Wigner de sistemas osciladores en mecánica cuántica en el espacio de fases . Además, entran en la mecánica cuántica del potencial de Morse y del oscilador armónico isótropo 3D .

Los físicos a veces utilizan una definición para los polinomios de Laguerre que es mayor por un factor de n ! que la definición utilizada aquí. (Asimismo, algunos físicos pueden utilizar definiciones algo diferentes de los llamados polinomios de Laguerre asociados.)

Los primeros polinomios

Estos son los primeros polinomios de Laguerre:

Los primeros seis polinomios de Laguerre.

Definición recursiva, forma cerrada y función generadora

También se pueden definir los polinomios de Laguerre de forma recursiva, definiendo los dos primeros polinomios como y luego utilizando la siguiente relación de recurrencia para cualquier k ≥ 1 : Además, $${\displaystyle L_{0}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$$ $${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}$$ $${\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}$$

En la solución de algunos problemas de valores límite, los valores característicos pueden ser útiles: $${\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}$$

La forma cerrada es $${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

La función generadora para ellos también se deduce de esto: La forma del operador es $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.}$$ $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}$$

Los polinomios de índice negativo se pueden expresar utilizando los de índice positivo: $${\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}$$

Polinomios de Laguerre generalizados

Para α real arbitrario, las soluciones polinómicas de la ecuación diferencial ^[2] se denominan polinomios de Laguerre generalizados o polinomios de Laguerre asociados . $${\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0}$$

También se pueden definir los polinomios de Laguerre generalizados de forma recursiva, definiendo los dos primeros polinomios como $${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}$$

y luego utilizando la siguiente relación de recurrencia para cualquier k ≥ 1 : $${\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}$$

Los polinomios de Laguerre simples son el caso especial α = 0 de los polinomios de Laguerre generalizados: $${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$$

La fórmula de Rodrigues para ellos es $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}$$

La función generadora para ellos es $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}$$

Los primeros polinomios de Laguerre generalizados, L _n ^{( k )} ( x )

Ejemplos explícitos y propiedades de los polinomios de Laguerre generalizados

• Las funciones de Laguerre se definen mediante funciones hipergeométricas confluentes y la transformación de Kummer como ^[3] donde es un coeficiente binomial generalizado . Cuando n es un entero la función se reduce a un polinomio de grado n . Tiene la expresión alternativa ^[4] en términos de la función de Kummer de segundo tipo . $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).}$$ ${\textstyle {n+\alpha \choose n}}$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$$
• La forma cerrada de estos polinomios de Laguerre generalizados de grado n se deriva ^[5] aplicando el teorema de Leibniz para la diferenciación de un producto a la fórmula de Rodrigues. $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$$
• Los polinomios de Laguerre tienen una representación de operador diferencial, muy similar a los polinomios de Hermite, estrechamente relacionados entre sí. Es decir, sea y considere el operador diferencial . Entonces . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle M=xD^{2}+(\alpha +1)D}$ ${\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)}$
• Los primeros polinomios de Laguerre generalizados son:

• El coeficiente del término principal es (−1) ⁿ / n ! ;
• El término constante , que es el valor en 0, es $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};}$$
• Si α no es negativo, entonces L _n ^{( α )} tiene n raíces reales , estrictamente positivas (observe que es una cadena de Sturm ), que están todas en el intervalo ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}$
• El comportamiento asintótico de los polinomios para n grande , pero α fijo y x > 0 , se da por ^{[6] [7]} y se resume en donde es la función de Bessel . $${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},}$$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$

Como una integral de contorno

Dada la función generadora especificada anteriormente, los polinomios pueden expresarse en términos de una integral de contorno donde el contorno rodea el origen una vez en sentido antihorario sin encerrar la singularidad esencial en 1. $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$$

Relaciones de recurrencia

La fórmula de adición para polinomios de Laguerre: ^[8] $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).}$$

Los polinomios de Laguerre satisfacen las relaciones de recurrencia en particular y además $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}$$

Se pueden utilizar para derivar las cuatro reglas de 3 puntos. $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}$$

Combinados, dan lugar a relaciones de recurrencia adicionales y útiles. $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}$$

Como es un polinomio mónico de grado en , existe la descomposición en fracciones parciales La segunda igualdad se deduce de la siguiente identidad, válida para los enteros i y n e inmediata de la expresión de en términos de los polinomios de Charlier : Para la tercera igualdad se aplican las identidades cuarta y quinta de esta sección. ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ $${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}$$

Derivadas de polinomios de Laguerre generalizados

La diferenciación de la representación en serie de potencias de un polinomio de Laguerre generalizado k veces conduce a $${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Esto apunta a un caso especial ( α = 0 ) de la fórmula anterior: para el entero α = k el polinomio generalizado puede escribirse desplazando k, lo que a veces causa confusión con la notación de paréntesis habitual para una derivada. $${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}$$

Además, se cumple la siguiente ecuación: que se generaliza con la fórmula de Cauchy a $${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$$

La derivada con respecto a la segunda variable α tiene la forma, ^[9] Los polinomios de Laguerre generalizados obedecen a la ecuación diferencial que puede compararse con la ecuación obedecida por la derivada k -ésima del polinomio de Laguerre ordinario, $${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$$ $${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}$$

$${\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}$$donde solo para esta ecuación. ${\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}$

En la forma Sturm-Liouville la ecuación diferencial es

$${\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}$$

lo que demuestra que L^(α)
_nes un vector propio para el valor propio n .

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre generalizados son ortogonales sobre [0, ∞) con respecto a la medida con función de ponderación x ^α e ^{− x} : ^[10]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$$

Lo cual se desprende de

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$$

Si denota la distribución gamma, entonces la relación de ortogonalidad se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}$$

El polinomio de núcleo simétrico asociado tiene las representaciones ( fórmula de Christoffel-Darboux ) ^{[ cita requerida ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$$

recursivamente

$${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$$

Además, ^{[ ¿Se necesita aclaración? ¿Límite cuando n tiende a infinito? ]}

$${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}$$

Las desigualdades de Turán se pueden derivar aquí, lo cual es $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}$$

La siguiente integral es necesaria en el tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno ,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$$

Expansiones de la serie

Sea una función la que tiene la expansión en serie (formal) $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$$

Entonces $${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$$

La serie converge en el espacio de Hilbert asociado L ² [0, ∞) si y sólo si

$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$$

Más ejemplos de expansiones

Los monomios se representan como mientras que los binomios tienen la parametrización $${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}$$ $${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$$

Esto nos lleva directamente a la función exponencial. La función gamma incompleta tiene la representación $${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}$$

En mecánica cuántica

En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger para el átomo similar al hidrógeno se puede resolver exactamente mediante la separación de variables en coordenadas esféricas. La parte radial de la función de onda es un polinomio de Laguerre (generalizado). ^[11]

Las transiciones vibrónicas en la aproximación de Franck-Condon también se pueden describir utilizando polinomios de Laguerre. ^[12]

Teoremas de multiplicación

Erdélyi da los dos teoremas de multiplicación siguientes ^{: [13]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}$$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre generalizados están relacionados con los polinomios de Hermite : donde H _n ( x ) son los polinomios de Hermite basados ​​en la función de ponderación exp(− x ² ) , la llamada "versión del físico". $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$$

Debido a esto, los polinomios de Laguerre generalizados surgen en el tratamiento del oscilador armónico cuántico .

Relación con funciones hipergeométricas

Los polinomios de Laguerre pueden definirse en términos de funciones hipergeométricas , específicamente las funciones hipergeométricas confluentes , como donde es el símbolo de Pochhammer (que en este caso representa el factorial ascendente). $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$$ ${\displaystyle (a)_{n}}$

Fórmula de Hardy-Hille

Los polinomios de Laguerre generalizados satisfacen la fórmula de Hardy–Hille ^{[14] [15]} donde la serie de la izquierda converge para y . Usando la identidad (ver función hipergeométrica generalizada ), esto también puede escribirse como Esta fórmula es una generalización del núcleo de Mehler para polinomios de Hermite , que puede recuperarse de él usando las relaciones entre los polinomios de Laguerre y Hermite dadas anteriormente. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \alpha >-1}$ ${\displaystyle |t|<1}$ $${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}$$

Convención de Física

Los polinomios de Laguerre generalizados se utilizan para describir la función de onda cuántica de los orbitales de los átomos de hidrógeno . ^{[16] [17] [18]} La convención utilizada en este artículo expresa los polinomios de Laguerre generalizados como ^[19]

$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}$$

donde es la función hipergeométrica confluente . En la literatura de física, ^[18] los polinomios de Laguerre generalizados se definen como ${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)}$

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}$$

La versión de física está relacionada con la versión estándar por

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}$$

Existe otra convención, aunque menos utilizada, en la literatura de física ^{[20] [21] [22]}

$${\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}$$

Convención de cálculo umbral

Los polinomios de Laguerre generalizados están vinculados al cálculo umbral al ser secuencias de Sheffer para cuando se multiplican por . En la convención del cálculo umbral, ^[23] los polinomios de Laguerre predeterminados se definen como donde son los números de Lah sin signo . es una secuencia de polinomios de tipo binomial , es decir, satisfacen ${\displaystyle D/(D-I)}$ ${\displaystyle n!}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x)=n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$ ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ ${\textstyle ({\mathcal {L}}_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathcal {L}}_{k}(x){\mathcal {L}}_{n-k}(y)}$$

Véase también

• Polinomios ortogonales
• La fórmula de Rodrigues
• Polinomios de Angelescu
• Polinomios de Bessel
• Polinomios de Denisyuk
• Modo transversal , una aplicación importante de los polinomios de Laguerre para describir la intensidad del campo dentro de una guía de ondas o un perfil de rayo láser.

Notas

1. N. Sonine (1880). "Las investigaciones sobre las funciones cilíndricas y el desarrollo de funciones continúan en serie". Matemáticas. Ana. 16 (1): 1–80. doi :10.1007/BF01459227. S2CID  121602983.
2. A&S pág. 781
3. A&S pág. 509
4. A&S pág. 510
5. A&S pág. 775
6. Szegő, pág. 198.
7. D. Borwein, JM Borwein, RE Crandall, "Asintótica de Laguerre efectiva", SIAM J. Numer. Anal. , vol. 46 (2008), núm. 6, págs. 3285–3312 ​​doi :10.1137/07068031X
8. Ecuación A&S (22.12.6), pág. 785
9. Koepf, Wolfram (1997). "Identidades para familias de polinomios ortogonales y funciones especiales". Transformadas integrales y funciones especiales . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . doi :10.1080/10652469708819127. 
10. "Polinomio de Laguerre asociado".
11. Ratner, Schatz, Mark A., George C. (2001). Mecánica cuántica en química . 0-13-895491-7: Prentice Hall. págs. 90–91.{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw, Freddy T. (24 de junio de 2015). "Resolución de la ambigüedad en la relación entre el desplazamiento de Stokes y el parámetro de Huang–Rhys". Química física Física química . 17 (26): 16959–16969. Bibcode :2015PCCP...1716959D. doi :10.1039/C5CP02093J. hdl : 1874/321453 . ISSN  1463-9084. PMID  26062123. S2CID  34490576.
13. C. Truesdell, "Sobre los teoremas de adición y multiplicación para las funciones especiales", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Matemáticas , (1950) págs. 752–757.
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Referencias

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Enlaces externos

• Timothy Jones. "Los polinomios de Legendre y Laguerre y el modelo mecánico cuántico elemental del átomo de hidrógeno".
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Laguerre". MundoMatemático .