secuencia sheffer

Tipo de secuencia polinomial

En matemáticas , una secuencia de Sheffer o poweroid es una secuencia polinómica , es decir, una secuencia ( p _n ( x ): n = 0, 1, 2, 3,...) de polinomios en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado . , satisfaciendo condiciones relacionadas con el cálculo umbral en combinatoria . Llevan el nombre de Isador M. Sheffer .

Definición

Arreglar una secuencia polinomial ( p _n ). Defina un operador lineal Q en polinomios en x por

${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$

Esto determina Q en todos los polinomios. La secuencia polinómica p _n es una secuencia de Sheffer si el operador lineal Q que acabamos de definir es equivalente a desplazamiento ; tal Q es entonces un operador delta . Aquí, definimos un operador lineal Q en polinomios como equivalente a un desplazamiento si, siempre que f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) es un "desplazamiento" de g ( x ), entonces ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ); es decir, Q viaja con cada operador de turno : T _a Q = QT _a .

Propiedades

El conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo bajo la operación de composición umbral de secuencias polinómicas, definida de la siguiente manera. Supongamos que (  p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) y (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) son secuencias polinómicas, dadas por

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Entonces la composición umbral es la secuencia polinómica cuyo enésimo término es ${\displaystyle p\circ q}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(el subíndice n aparece en p _n , ya que este es el n término de esa secuencia, pero no en q , ya que se refiere a la secuencia como un todo y no a uno de sus términos).

El elemento de identidad de este grupo es la base monomial estándar.

${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$

Dos subgrupos importantes son el grupo de secuencias de Appell , que son aquellas secuencias para las que el operador Q es mera diferenciación , y el grupo de secuencias de tipo binomial , que son aquellas que satisfacen la identidad

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

Una secuencia de Sheffer (  p _n ( x ) : n  = 0, 1, 2, ... ) es de tipo binomial si y solo si ambas

${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$

y

${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,}$

El grupo de secuencias de Appell es abeliano ; el grupo de secuencias de tipo binomial no lo es. El grupo de secuencias de Appell es un subgrupo normal ; el grupo de secuencias de tipo binomial no lo es. El grupo de secuencias de Sheffer es un producto semidirecto del grupo de secuencias de Appell y el grupo de secuencias de tipo binomial. De ello se deduce que cada clase lateral del grupo de secuencias de Appell contiene exactamente una secuencia de tipo binomial. Dos secuencias de Sheffer están en la misma clase lateral si y sólo si el operador Q descrito anteriormente, llamado " operador delta " de esa secuencia, es el mismo operador lineal en ambos casos. (Generalmente, un operador delta es un operador lineal equivalente a desplazamiento en polinomios que reduce el grado en uno. El término se debe a F. Hildebrandt).

Si s _n ( x ) es una secuencia de Sheffer y p _n ( x ) es la única secuencia de tipo binomial que comparte el mismo operador delta, entonces

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$

A veces, el término secuencia de Sheffer se define como una secuencia que guarda esta relación con alguna secuencia de tipo binomial. En particular, si (  s _n ( x ) ) es una secuencia de Appell, entonces

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$

La secuencia de polinomios de Hermite , la secuencia de polinomios de Bernoulli y los monomios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2,...) son ejemplos de secuencias de Appell.

Una secuencia de Sheffer p _n se caracteriza por su función generadora exponencial

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$

donde A y B son series de potencias ( formales ) en t . Las secuencias de Sheffer son, por tanto, ejemplos de polinomios de Appell generalizados y, por tanto, tienen una relación de recurrencia asociada .

Ejemplos

Ejemplos de secuencias polinomiales que son secuencias de Sheffer incluyen:

• Los polinomios de Abel ;
• Los polinomios de Bernoulli ;
• El polinomio de Euler ;
• Los polinomios factoriales centrales;
• Los polinomios de Hermite ;
• Los polinomios de Laguerre ;
• Los monomios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... );
• Los polinomios de Mott ;
• Los polinomios de Bernoulli de segunda especie ;
• Los factoriales descendentes y ascendentes ;
• Los polinomios de Touchard ;
• Los polinomios de Mittag-Leffler ;

Referencias

• Rota, G.-C. ; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (junio de 1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria VIII: cálculo de operadores finitos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 42 (3): 684–750. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Reimpreso en la siguiente referencia.
• Rota, G.-C. ; Doubilet, P.; Greene, C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A.; Stanley, R. (1975). Cálculo de operadores finitos . Prensa académica. ISBN 0-12-596650-4.
• Sheffer, IM (1939). "Algunas propiedades de conjuntos polinomiales de tipo cero". Revista de Matemáticas de Duke . 5 (3): 590–622. doi :10.1215/S0012-7094-39-00549-1.
• Romano, Steven (1984). El cálculo umbral. Matemática Pura y Aplicada. vol. 111. Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2. SEÑOR  0741185.Reimpreso por Dover, 2005.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia de Sheffer". MundoMatemático .