Polinomios de Mittag-Leffler

Funciones matemáticas

En matemáticas, los polinomios de Mittag-Leffler son los polinomios g _n ( x ) o M _n ( x ) estudiados por Mittag-Leffler  (1891).

M _n ( x ) es un caso especial del polinomio de Meixner M _n ( x;b,c ) en b = 0, c = -1 .

Definición y ejemplos

Funciones generadoras

Los polinomios de Mittag-Leffler se definen respectivamente por las funciones generadoras

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x)t^{n}:={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}}$y

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:={\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}=(1+t)^{x}(1-t)^{-x}=\exp(2x{\text{ artanh }}t).}$

También tienen la función generadora bivariada ^[1]

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }g_{n}(m)x^{m}y^{n}={\frac {xy}{(1-x)(1-x-y-xy)}}.}$

Ejemplos

Los primeros polinomios se dan en la siguiente tabla. Los coeficientes de los numeradores de los se pueden encontrar en la OEIS, ^[2] aunque sin ninguna referencia, y los coeficientes de los también están en la OEIS ^{[3] .} ${\displaystyle g_{n}(x)}$ ${\displaystyle M_{n}(x)}$

Propiedades

Los polinomios están relacionados por y tenemos para . También . ${\displaystyle M_{n}(x)=2\cdot {n!}\,g_{n}(x)}$ ${\displaystyle g_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle g_{2k}({\frac {1}{2}})=g_{2k+1}({\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdots (2k)}}}$

Fórmulas explícitas

Las fórmulas explícitas son

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k-1}{\binom {n-1}{n-k}}{\binom {x}{k}}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}{\binom {n-1}{k}}{\binom {x}{k+1}}}$

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\binom {k+x}{n}}}$

${\displaystyle g_{n}(m)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n-1+m-k}{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\min(n,m)}{\frac {m}{n+m-k}}{\binom {n+m-k}{k,n-k,m-k}}}$

(el último muestra inmediatamente , una especie de fórmula de reflexión), y ${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$

${\displaystyle M_{n}(x)=(n-1)!\sum _{k=1}^{n}k2^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {x}{k}}}$, que también se puede escribir como

${\displaystyle M_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}}$, donde denota el factorial descendente. ${\displaystyle (x)_{n}=n!{\binom {x}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}$

En términos de la función hipergeométrica gaussiana , tenemos ^[4]

${\displaystyle g_{n}(x)=x\!\cdot {}_{2}\!F_{1}(1-n,1-x;2;2).}$

Fórmula de reflexión

Como se dijo anteriormente, para , tenemos la fórmula de reflexión . ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$

Fórmulas de recursión

Los polinomios se pueden definir recursivamente mediante ${\displaystyle M_{n}(x)}$

${\displaystyle M_{n}(x)=2xM_{n-1}(x)+(n-1)(n-2)M_{n-2}(x)}$, empezando con y . ${\displaystyle M_{-1}(x)=0}$ ${\displaystyle M_{0}(x)=1}$

Otra fórmula de recursión, que produce un número impar a partir de los pares anteriores y viceversa, es

${\displaystyle M_{n+1}(x)=2x\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-2k)!}}M_{n-2k}(x)}$, comenzando de nuevo con . ${\displaystyle M_{0}(x)=1}$

En cuanto a , tenemos varias fórmulas de recursión diferentes: ${\displaystyle g_{n}(x)}$

${\displaystyle \displaystyle (1)\quad g_{n}(x+1)-g_{n-1}(x+1)=g_{n}(x)+g_{n-1}(x)}$

${\displaystyle \displaystyle (2)\quad (n+1)g_{n+1}(x)-(n-1)g_{n-1}(x)=2xg_{n}(x)}$

${\displaystyle (3)\quad x{\Bigl (}g_{n}(x+1)-g_{n}(x-1){\Bigr )}=2ng_{n}(x)}$

${\displaystyle (4)\quad g_{n+1}(m)=g_{n}(m)+2\sum _{k=1}^{m-1}g_{n}(k)=g_{n}(1)+g_{n}(2)+\cdots +g_{n}(m)+g_{n}(m-1)+\cdots +g_{n}(1)}$

En cuanto a la fórmula de recursión (3), el polinomio es la única solución polinómica de la ecuación diferencial , normalizada de modo que . ^[5] Nótese además que (2) y (3) son duales entre sí en el sentido de que para , podemos aplicar la fórmula de reflexión a una de las identidades y luego intercambiar y para obtener la otra. (Como son polinomios, la validez se extiende desde los valores naturales a todos los valores reales de ). ${\displaystyle g_{n}(x)}$ ${\displaystyle x(f(x+1)-f(x-1))=2nf(x)}$ ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Valores iniciales

La tabla de los valores iniciales de (estos valores también se denominan "números figurados para los politopos cruzados n-dimensionales" en la OEIS ^[6] ) puede ilustrar la fórmula de recursión (1), que puede interpretarse como que cada entrada es la suma de las tres entradas vecinas: a su izquierda, arriba y arriba a la izquierda, p. ej . También ilustra la fórmula de reflexión con respecto a la diagonal principal, p. ej . ${\displaystyle g_{n}(m)}$ ${\displaystyle g_{5}(3)=51=33+8+10}$ ${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$ ${\displaystyle 3\cdot 44=4\cdot 33}$

Relaciones de ortogonalidad

Para la siguiente relación de ortogonalidad se cumple: ^[7] ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g_{n}(-iy)g_{m}(iy)}{y\sinh \pi y}}dy={\frac {1}{2n}}\delta _{mn}.}$

(Tenga en cuenta que esta no es una integral compleja. Como cada uno es un polinomio par o impar, los argumentos imaginarios simplemente producen signos alternos para sus coeficientes. Además, si y tienen paridad diferente, la integral se desvanece trivialmente). ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Identidad binomial

Al ser una secuencia de Sheffer de tipo binomial , los polinomios de Mittag-Leffler también satisfacen la identidad binomial ^[8] ${\displaystyle M_{n}(x)}$

${\displaystyle M_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k}(x)M_{n-k}(y)}$.

Representaciones integrales

Partiendo de la representación como función hipergeométrica, existen varias formas de representar directamente como integrales, ^[9] algunas de ellas incluso válidas para complejas , por ejemplo ${\displaystyle g_{n}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle (26)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-1}^{1}t^{n-1}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{z}dt}$

${\displaystyle (27)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{uz}{\frac {(\tanh {\frac {u}{2}})^{n}}{\sinh u}}du}$

${\displaystyle (32)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\cos({\frac {\pi z}{2}})\cos(nu)du}$

${\displaystyle (33)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\sin({\frac {\pi z}{2}})\sin(nu)du}$

${\displaystyle (34)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(1+e^{it})^{z}(2+e^{it})^{n-1}e^{-int}dt}$.

Formas cerradas de familias integrales

Existen varias familias de integrales con expresiones de forma cerrada en términos de valores zeta donde los coeficientes de los polinomios de Mittag-Leffler aparecen como coeficientes. Todas esas integrales se pueden escribir en una forma que contenga un factor o , y el grado del polinomio de Mittag-Leffler varía con . Una forma de calcular esas integrales es obtener para ellas las fórmulas de recursión correspondientes como para los polinomios de Mittag-Leffler utilizando la integración por partes. ${\displaystyle \tan ^{\pm n}}$ ${\displaystyle \tanh ^{\pm n}}$ ${\displaystyle n}$

1. Por ejemplo, ^[10] define para ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle I(n,m):=\int _{0}^{1}{\dfrac {{\text{artanh}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{0}^{1}\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {1+x}{1-x}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\coth ^{m-2}z}{\sinh ^{2}z}}dz.}$

Estas integrales tienen la forma cerrada

${\displaystyle (1)\quad I(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\zeta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\zeta }})}$

en notación umbral, lo que significa que después de expandir el polinomio en , cada potencia debe reemplazarse por el valor zeta . Por ejemplo, de obtenemos para . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta ^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (k)}$ ${\displaystyle g_{6}(x)={\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})\ }$ ${\displaystyle \ I(n,7)={\frac {n!}{2^{n-1}}}{\frac {23~\zeta (n-1)+20~\zeta (n-3)+2~\zeta (n-5)}{45}}\ }$ ${\displaystyle n\geqslant 7}$

2. Asimismo, tomemos como ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle J(n,m):=\int _{1}^{\infty }{\dfrac {{\text{arcoth}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{1}^{\infty }\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {x+1}{x-1}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\tanh ^{m-2}z}{\cosh ^{2}z}}dz.}$

En la notación umbral, donde después de expandirse, debe reemplazarse por la función eta de Dirichlet , estas tienen la forma cerrada ${\displaystyle \eta ^{k}}$ ${\displaystyle \eta (k):=\left(1-2^{1-k}\right)\zeta (k)}$

${\displaystyle (2)\quad J(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\eta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\eta }})}$.

3. Lo siguiente ^[11] es válido para con la misma notación umbral para y , y completando por continuidad . ${\displaystyle n\geqslant m}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (1):=\ln 2}$

${\displaystyle (3)\quad \int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx=\cos {\Bigl (}{\frac {m}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {(\pi /2)^{n+1}}{n+1}}+\cos {\Bigl (}{\frac {m-n-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m}{2^{n}}}\zeta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\zeta }})+\sum \limits _{v=0}^{n}\cos {\Bigl (}{\frac {m-v-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m~\pi ^{n-v}}{(n-v)!~2^{n}}}\eta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\eta }}).}$

Nótese que para , esto también produce una forma cerrada para las integrales ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan ^{n}x}{x^{m}}}dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx+\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m-2}x}}dx.}$

4. Para , defina ^[12] . ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$ ${\displaystyle \quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx}$

Si es par y definimos , tenemos en notación umbral, es decir reemplazando por , ${\displaystyle n+m}$ ${\displaystyle h_{k}:=(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\frac {(k-1)!(2^{k}-1)\zeta (k)}{2^{k-1}\pi ^{k-1}}}}$ ${\displaystyle h^{k}}$ ${\displaystyle h_{k}}$

${\displaystyle (4)\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\dfrac {n\cdot 2^{m-1}}{(m-1)!}}(-h)^{m-1}g_{n}(h).}$

Tenga en cuenta que aquí solo aparecen valores zeta impares (odd ) (a menos que los denominadores se expresen como valores zeta pares), por ejemplo ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K(5,3)=-{\frac {2}{3}}(3h_{3}+10h_{5}+2h_{7})=-7{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{2}}}+310{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-1905{\frac {\zeta (7)}{\pi ^{6}}},}$

${\displaystyle K(6,2)={\frac {4}{15}}(23h_{3}+20h_{5}+2h_{7}),\quad K(6,4)={\frac {4}{45}}(23h_{5}+20h_{7}+2h_{9}).}$

5. Si es impar, la misma integral es mucho más complicada de evaluar, incluida la inicial . Sin embargo, resulta que el patrón subsiste si definimos ^[13] , equivalentemente . Entonces tiene la siguiente forma cerrada en notación umbral, reemplazando por : ${\displaystyle n+m}$ ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{3}(x)}{x^{2}}}dx}$ ${\displaystyle s_{k}:=\eta '(-k)=2^{k+1}\zeta (-k)\ln 2-(2^{k+1}-1)\zeta '(-k)}$ ${\displaystyle s_{k}={\frac {\zeta (-k)}{\zeta '(-k)}}\eta (-k)+\zeta (-k)\eta (1)-\eta (-k)\eta (1)}$ ${\displaystyle K(n,m)}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle (5)\quad K(n,m)=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\frac {n\cdot 2^{m}}{(m-1)!}}(-s)^{m-2}g_{n}(s)}$, p.ej

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,3)=-{\frac {8}{15}}(23s_{3}+20s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,5)=-{\frac {8}{45}}(23s_{5}+20s_{7}+2s_{9}).}$

Nótese que en virtud de la derivada logarítmica de la ecuación funcional de Riemann , tomada después de aplicar la fórmula de reflexión de Euler , ^[14] estas expresiones en términos de pueden escribirse en términos de , por ejemplo ${\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}(1-s)=\log \pi -{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1-s}{2}}\right)}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\zeta '(2j)}{\zeta (2j)}}}$

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7})={\frac {1}{9}}\left\{{\frac {1643}{420}}-{\frac {16}{315}}\ln 2+3{\frac {\zeta '(4)}{\zeta (4)}}-20{\frac {\zeta '(6)}{\zeta (6)}}+17{\frac {\zeta '(8)}{\zeta (8)}}\right\}.}$

6. Para , la misma integral diverge porque el integrando se comporta como para . Pero la diferencia de dos integrales de este tipo con diferencias de grado correspondientes está bien definida y exhibe patrones muy similares, por ejemplo ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle K(n,m)}$ ${\displaystyle x^{n-m}}$ ${\displaystyle x\searrow 0}$

${\displaystyle (6)\quad K(n-1,n)-K(n,n+1)=\int \limits _{0}^{\infty }\left({\dfrac {\tanh ^{n-1}(x)}{x^{n}}}-{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{n+1}}}\right)dx=-{\frac {1}{n}}+{\frac {(n+1)\cdot 2^{n}}{(n-1)!}}s^{n-2}g_{n}(s)}$.

Véase también

• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Polinomios de Stirling
• Número de Poli-Bernoulli

Referencias

1. ver la sección de fórmulas de OEIS A142978
2. ver OEIS A064984
3. ver OEIS A137513
4. Özmen, Nejla y Nihal, Yılmaz (2019). "Sobre los polinomios de Mittag-Leffler y los polinomios de Mittag-Leffler deformados". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
5. ver la sección de comentarios de OEIS A142983
6. ver OEIS A142978
7. Stankovic, Miomir S.; Marinkovic, Sladjana D. y Rajkovic, Predrag M. (2010). "Polinomios de Mittag-Leffler deformados". arXiv : 1007.3612 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
8. Entrada de Mathworld "Polinomio de Mittag-Leffler"
9. Bateman, H. (1940). "El polinomio de Mittag-Leffler" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 26 (8): 491–496. Bibcode :1940PNAS...26..491B. doi : 10.1073/pnas.26.8.491 . ISSN  0027-8424. JSTOR  86958. MR  0002381. PMC 1078216 . PMID  16588390. 
10. ver al final de esta pregunta en Mathoverflow
11. respuesta en math.stackexchange
12. similar a esta pregunta en Mathoverflow
13. método utilizado en esta respuesta en Mathoverflow
14. o ver la fórmula (14) en https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

• Bateman, H. (1940), "El polinomio de Mittag-Leffler" (PDF) , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 26 (8): 491–496, Bibcode :1940PNAS...26..491B, doi : 10.1073/pnas.26.8.491 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86958, MR  0002381, PMC  1078216 , PMID  16588390
• Mittag-Leffler, G. (1891), "Sur la représentasion analytique des intégrales et des invariants d'une équation différentielle linéaire et homogène", Acta Mathematica (en francés), XV : 1–32, doi : 10.1007/BF02392600 , ISSN  0001-5962, JFM  23.0327.01
• Stankovic, Miomir S.; Marinkovic, Sladjana D.; Rajkovic, Predrag M. (2010), Polinomios de Mittag-Leffler deformados , arXiv : 1007.3612