Densidad espectral

Importancia relativa de ciertas frecuencias en una señal compuesta

La densidad espectral de una luz fluorescente en función de la longitud de onda óptica muestra picos en las transiciones atómicas, indicadas por las flechas numeradas.

La forma de onda de la voz a lo largo del tiempo (izquierda) tiene un amplio espectro de potencia de audio (derecha).

En el procesamiento de señales , el espectro de potencia de una señal de tiempo continuo describe la distribución de potencia en los componentes de frecuencia que componen esa señal. ^[1] Según el análisis de Fourier , cualquier señal física se puede descomponer en un número de frecuencias discretas, o un espectro de frecuencias en un rango continuo. El promedio estadístico de cualquier tipo de señal (incluido el ruido ) analizado en términos de su contenido de frecuencia, se denomina espectro . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$

Cuando la energía de la señal se concentra en un intervalo de tiempo finito, especialmente si su energía total es finita, se puede calcular la densidad espectral de energía . La densidad espectral de potencia (PSD, o simplemente espectro de potencia ) es la que se utiliza con más frecuencia y que se aplica a señales que existen en todo el tiempo o en un período de tiempo lo suficientemente grande (especialmente en relación con la duración de una medición) como para que pudiera haber existido en un intervalo de tiempo infinito. La PSD se refiere entonces a la distribución de energía espectral que se encontraría por unidad de tiempo, ya que la energía total de dicha señal en todo el tiempo generalmente sería infinita. La suma o integración de los componentes espectrales produce la potencia total (para un proceso físico) o la varianza (en un proceso estadístico), idéntica a la que se obtendría al integrar en el dominio del tiempo, como dicta el teorema de Parseval . ^[1] ${\displaystyle x^{2}(t)}$

El espectro de un proceso físico a menudo contiene información esencial sobre la naturaleza de . Por ejemplo, el tono y el timbre de un instrumento musical se determinan inmediatamente a partir de un análisis espectral. El color de una fuente de luz se determina por el espectro del campo eléctrico de la onda electromagnética a medida que fluctúa a una frecuencia extremadamente alta. La obtención de un espectro a partir de series de tiempo como estas implica la transformada de Fourier y generalizaciones basadas en el análisis de Fourier. En muchos casos, el dominio del tiempo no se emplea específicamente en la práctica, como cuando se utiliza un prisma dispersivo para obtener un espectro de luz en un espectrógrafo , o cuando se percibe un sonido a través de su efecto sobre los receptores auditivos del oído interno, cada uno de los cuales es sensible a una frecuencia particular. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E(t)}$

Sin embargo, este artículo se centra en situaciones en las que la serie temporal es conocida (al menos en un sentido estadístico) o medida directamente (por ejemplo, mediante un micrófono muestreado por una computadora). El espectro de potencia es importante en el procesamiento estadístico de señales y en el estudio estadístico de procesos estocásticos , así como en muchas otras ramas de la física y la ingeniería . Normalmente, el proceso es una función del tiempo, pero también se pueden analizar los datos en el dominio espacial que se descomponen en términos de frecuencia espacial . ^[1]

Unidades

En física , la señal puede ser una onda, como una onda electromagnética , una onda acústica o la vibración de un mecanismo. La densidad espectral de potencia (PSD) de la señal describe la potencia presente en la señal en función de la frecuencia, por unidad de frecuencia. La densidad espectral de potencia se expresa comúnmente en unidades del SI de ⁠vatios/hercio⁠ (abreviado como W/Hz). ^[2]

Cuando una señal se define en términos únicamente de un voltaje , por ejemplo, no hay una potencia única asociada con la amplitud indicada. En este caso, la "potencia" se calcula simplemente en términos del cuadrado de la señal, ya que esto siempre sería proporcional a la potencia real entregada por esa señal en una impedancia dada . Por lo tanto, se podrían usar unidades de V ²  Hz ⁻¹ para la PSD. La densidad espectral de energía (ESD) tendría unidades de V ²  s Hz ⁻¹ , ya que la energía tiene unidades de potencia multiplicada por el tiempo (por ejemplo, vatio-hora ). ^[3]

En el caso general, las unidades de PSD serán la relación de unidades de varianza por unidad de frecuencia; así, por ejemplo, una serie de valores de desplazamiento (en metros) a lo largo del tiempo (en segundos) tendrá PSD en unidades de metros cuadrados por hercio, m ² /Hz. En el análisis de vibraciones aleatorias , las unidades de g ²  Hz ⁻¹ se utilizan con frecuencia para la PSD de la aceleración , donde g denota la fuerza g . ^[4]

Matemáticamente, no es necesario asignar dimensiones físicas a la señal ni a la variable independiente. En la siguiente discusión, el significado de x ( t ) permanecerá sin especificar, pero se asumirá que la variable independiente es el tiempo.

Unilateral vs bilateral

Una PSD puede ser una función unilateral de solo frecuencias positivas o una función bilateral de frecuencias positivas y negativas pero con solo la mitad de la amplitud. Las PSD de ruido generalmente son unilaterales en ingeniería y bilaterales en física. ^[5]

Definición

Densidad espectral de energía

La densidad espectral de energía describe cómo se distribuye la energía de una señal o una serie temporal con la frecuencia. Aquí, el término energía se utiliza en el sentido generalizado del procesamiento de señales; ^[6] es decir, la energía de una señal es: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$

La densidad espectral de energía es más adecuada para transitorios (es decir, señales similares a pulsos) que tienen una energía total finita. Finita o no, el teorema de Parseval (o teorema de Plancherel) nos da una expresión alternativa para la energía de la señal: ^[7] donde: es el valor de la transformada de Fourier de en la frecuencia (en Hz ). El teorema también es válido en los casos de tiempo discreto. Dado que la integral del lado izquierdo es la energía de la señal, el valor de se puede interpretar como una función de densidad multiplicada por un intervalo de frecuencia infinitesimalmente pequeño, que describe la energía contenida en la señal en la frecuencia en el intervalo de frecuencia . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ $${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$

Por lo tanto, la densidad espectral de energía de se define como: ^[8] ${\displaystyle x(t)}$

La función y la autocorrelación de forman un par de transformadas de Fourier, un resultado también conocido como teorema de Wiener-Khinchin (véase también Periodograma ). ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Como ejemplo físico de cómo se podría medir la densidad espectral de energía de una señal, supongamos que representa el potencial (en voltios ) de un pulso eléctrico que se propaga a lo largo de una línea de transmisión de impedancia , y supongamos que la línea termina con una resistencia adaptada (de modo que toda la energía del pulso se entrega a la resistencia y ninguna se refleja de vuelta). Por la ley de Ohm , la potencia entregada a la resistencia en el tiempo es igual a , por lo que la energía total se encuentra integrando con respecto al tiempo durante la duración del pulso. Para encontrar el valor de la densidad espectral de energía en la frecuencia , se podría insertar entre la línea de transmisión y la resistencia un filtro de paso de banda que pase solo un rango estrecho de frecuencias ( , digamos) cerca de la frecuencia de interés y luego medir la energía total disipada a través de la resistencia. El valor de la densidad espectral de energía en se estima entonces en . En este ejemplo, dado que la potencia tiene unidades de V ² Ω ⁻¹ , la energía tiene unidades de V ²  s Ω ⁻¹  = J , y por lo tanto la estimación de la densidad espectral de energía tiene unidades de J Hz ⁻¹ , como se requiere. En muchas situaciones, es común olvidar el paso de dividir por para que la densidad espectral de energía tenga en cambio unidades de V ²  Hz ⁻¹ . ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle Z}$

Esta definición se generaliza de manera directa a una señal discreta con un número infinito contable de valores , como una señal muestreada en tiempos discretos : donde es la transformada de Fourier de tiempo discreto de   El intervalo de muestreo es necesario para mantener las unidades físicas correctas y garantizar que recuperemos el caso continuo en el límite.   Pero en las ciencias matemáticas, el intervalo a menudo se establece en 1, lo que simplifica los resultados a expensas de la generalidad. (ver también frecuencia normalizada ) ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Densidad espectral de potencia

Espectro de potencia de la anisotropía de la temperatura de la radiación de fondo cósmico de microondas medida en términos de escala angular. La línea continua es un modelo teórico, a modo de comparación.

La definición anterior de densidad espectral de energía es adecuada para transitorios (señales similares a pulsos) cuya energía se concentra alrededor de una ventana de tiempo; entonces, generalmente existen las transformadas de Fourier de las señales. Para señales continuas en todo el tiempo, uno debe definir más bien la densidad espectral de potencia (PSD) que existe para procesos estacionarios ; esto describe cómo se distribuye la potencia de una señal o serie temporal sobre la frecuencia, como en el ejemplo simple dado anteriormente. Aquí, la potencia puede ser la potencia física real o, más a menudo, por conveniencia con señales abstractas, simplemente se identifica con el valor al cuadrado de la señal. Por ejemplo, los estadísticos estudian la varianza de una función a lo largo del tiempo (o sobre otra variable independiente) y, utilizando una analogía con las señales eléctricas (entre otros procesos físicos), es habitual referirse a ella como el espectro de potencia incluso cuando no hay potencia física involucrada. Si uno creara una fuente de voltaje físico que la siguiera y la aplicara a los terminales de una resistencia de un ohmio , entonces, de hecho, la potencia instantánea disipada en esa resistencia estaría dada por vatios . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Por lo tanto, la potencia media de una señal a lo largo de todo el tiempo viene dada por el siguiente promedio temporal, donde el período está centrado en un tiempo arbitrario : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Sin embargo, para poder hacer las matemáticas que siguen, es más conveniente tratar con límites de tiempo en la señal misma en lugar de límites de tiempo en los límites de la integral. Como tal, tenemos una representación alternativa de la potencia promedio, donde y es la unidad dentro del período arbitrario y cero en el resto del tiempo. Claramente, en los casos en que la expresión anterior para P no es cero, la integral debe crecer sin límite a medida que T crece sin límite. Esa es la razón por la que no podemos usar la energía de la señal, que es esa integral divergente, en tales casos. ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ ${\displaystyle w_{T}(t)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

Al analizar el contenido de frecuencia de la señal , uno podría querer calcular la transformada de Fourier ordinaria ; sin embargo, para muchas señales de interés la transformada de Fourier no existe formalmente. ^{[nb 1]} De todas formas, el teorema de Parseval nos dice que podemos reescribir la potencia promedio de la siguiente manera. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

Entonces la densidad espectral de potencia se define simplemente como el integrando anterior. ^{[9] [10]}

A partir de aquí, debido al teorema de convolución , también podemos ver como la transformada de Fourier de la convolución temporal de y , donde * representa el conjugado complejo. Teniendo en cuenta que y haciendo, , tenemos: donde se ha utilizado el teorema de convolución al pasar de la 3ª a la 4ª línea. ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ ${\displaystyle x_{T}(t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

Ahora bien, si dividimos la convolución temporal anterior por el período y tomamos el límite como , se convierte en la función de autocorrelación de la señal sin ventana , que se denota como , siempre que sea ergódico , lo que es cierto en la mayoría de los casos prácticos, pero no en todos. ^{[nb 2]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Desde aquí vemos, asumiendo nuevamente la ergodicidad de , que la densidad espectral de potencia se puede encontrar como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación ( teorema de Wiener-Khinchin ). ^[11] ${\displaystyle x(t)}$

Muchos autores utilizan esta igualdad para definir realmente la densidad espectral de potencia. ^[12]

La potencia de la señal en una banda de frecuencia dada , donde , se puede calcular integrando sobre la frecuencia. Dado que , se puede atribuir una cantidad igual de potencia a las bandas de frecuencia positiva y negativa, lo que explica el factor de 2 en la siguiente forma (tales factores triviales dependen de las convenciones utilizadas): De manera más general, se pueden utilizar técnicas similares para estimar una densidad espectral variable en el tiempo. En este caso, el intervalo de tiempo es finito en lugar de acercarse al infinito. Esto da como resultado una cobertura espectral y una resolución reducidas ya que no se muestrean frecuencias menores que, y los resultados en frecuencias que no son un múltiplo entero de no son independientes. Simplemente utilizando una sola de esas series de tiempo, el espectro de potencia estimado será muy "ruidoso"; sin embargo, esto se puede aliviar si es posible evaluar el valor esperado (en la ecuación anterior) utilizando un número grande (o infinito) de espectros de corto plazo correspondientes a conjuntos estadísticos de realizaciones de evaluados durante la ventana de tiempo especificada. ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$ ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ $${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle x(t)}$

Al igual que con la densidad espectral de energía, la definición de la densidad espectral de potencia se puede generalizar a variables de tiempo discretas . Como antes, podemos considerar una ventana de con la señal muestreada en tiempos discretos para un período de medición total . Tenga en cuenta que se puede obtener una única estimación de la PSD a través de un número finito de muestreos. Como antes, la PSD real se logra cuando (y por lo tanto ) se acerca al infinito y se aplica formalmente el valor esperado. En una aplicación del mundo real, normalmente se promediaría una PSD de medición finita a lo largo de muchos ensayos para obtener una estimación más precisa de la PSD teórica del proceso físico subyacente a las mediciones individuales. Esta PSD calculada a veces se denomina periodograma . Este periodograma converge a la PSD verdadera a medida que el número de estimaciones, así como el intervalo de tiempo promedio, se acercan al infinito. ^[13] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle -N\leq n\leq N}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ ${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$ $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Si dos señales poseen densidades espectrales de potencia, entonces la densidad espectral cruzada se puede calcular de manera similar; como la PSD está relacionada con la autocorrelación, también lo está la densidad espectral cruzada con la correlación cruzada .

Propiedades de la densidad espectral de potencia

Algunas propiedades de la PSD incluyen: ^[14]

• El espectro de potencia es siempre real y no negativo, y el espectro de un proceso de valor real también es una función par de la frecuencia: . ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• Para un proceso estocástico continuo x(t), la función de autocorrelación R _xx ( t ) se puede reconstruir a partir de su espectro de potencia S _xx (f) utilizando la transformada de Fourier inversa
• Utilizando el teorema de Parseval , se puede calcular la varianza (potencia promedio) de un proceso integrando el espectro de potencia en todas las frecuencias: $${\displaystyle P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$$
• Para un proceso real x ( t ) con densidad espectral de potencia , se puede calcular el espectro integrado o distribución espectral de potencia , que especifica la potencia promedio limitada en banda contenida en frecuencias desde DC a f usando: ^[15] Nótese que la expresión anterior para potencia total (varianza de la señal) es un caso especial donde  f → ∞ . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$ $${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$$

Densidad espectral de potencia cruzada

Dadas dos señales y , cada una de las cuales posee densidades espectrales de potencia y , es posible definir una densidad espectral de potencia cruzada ( CPSD ) o densidad espectral cruzada ( CSD ). Para comenzar, consideremos la potencia promedio de dicha señal combinada. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Utilizando la misma notación y métodos que los utilizados para la derivación de la densidad espectral de potencia, explotamos el teorema de Parseval y obtenemos donde, de nuevo, las contribuciones de y ya se entienden. Nótese que , por lo que la contribución completa a la potencia cruzada es, generalmente, del doble de la parte real de cada CPSD individual . Al igual que antes, a partir de aquí reformulamos estos productos como la transformada de Fourier de una convolución temporal, que cuando se divide por el período y se lleva al límite se convierte en la transformada de Fourier de una función de correlación cruzada . ^[16] donde es la correlación cruzada de con y es la correlación cruzada de con . A la luz de esto, se considera que la PSD es un caso especial de la CSD para . Si y son señales reales (por ejemplo, voltaje o corriente), sus transformadas de Fourier y suelen estar restringidas a frecuencias positivas por convención. Por lo tanto, en el procesamiento de señales típico, la CPSD completa es solo una de las CPSD escaladas por un factor de dos. $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$ $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Para las señales discretas _{x n e y n} , _la relación entre la densidad espectral cruzada y la covarianza cruzada es $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

Estimación

El objetivo de la estimación de la densidad espectral es estimar la densidad espectral de una señal aleatoria a partir de una secuencia de muestras de tiempo. Según lo que se conozca sobre la señal, las técnicas de estimación pueden implicar enfoques paramétricos o no paramétricos , y pueden basarse en análisis del dominio del tiempo o del dominio de la frecuencia. Por ejemplo, una técnica paramétrica común implica ajustar las observaciones a un modelo autorregresivo . Una técnica no paramétrica común es el periodograma .

La densidad espectral generalmente se estima utilizando métodos de transformada de Fourier (como el método de Welch ), pero también se pueden utilizar otras técnicas como el método de máxima entropía .

Conceptos relacionados

• El centroide espectral de una señal es el punto medio de su función de densidad espectral, es decir, la frecuencia que divide la distribución en dos partes iguales.
• La frecuencia de borde espectral ( SEF ), expresada habitualmente como "SEF x ", representa la frecuencia por debajo de la cual se encuentra x por ciento de la potencia total de una señal dada; típicamente, x está en el rango de 75 a 95. Es más particularmente una medida popular utilizada en la monitorización de EEG , en cuyo caso la SEF se ha utilizado de diversas maneras para estimar la profundidad de la anestesia y las etapas del sueño . ^{[17] [18]}
• Una envolvente espectral es la curva envolvente de la densidad del espectro. Describe un punto en el tiempo (una ventana, para ser precisos). Por ejemplo, en la teledetección con un espectrómetro , la envolvente espectral de una característica es el límite de sus propiedades espectrales , tal como se define por el rango de niveles de brillo en cada una de las bandas espectrales de interés.
• La densidad espectral es una función de la frecuencia, no del tiempo. Sin embargo, se puede calcular la densidad espectral de una ventana pequeña de una señal más larga y representarla gráficamente en función del tiempo asociado con la ventana. Este gráfico se denomina espectrograma . Esta es la base de varias técnicas de análisis espectral, como la transformada de Fourier de tiempo corto y las wavelets .
• Un "espectro" generalmente significa la densidad espectral de potencia, como se discutió anteriormente, que representa la distribución del contenido de la señal sobre la frecuencia. Para las funciones de transferencia (por ejemplo, diagrama de Bode , chirp ), la respuesta de frecuencia completa se puede graficar en dos partes: potencia versus frecuencia y fase versus frecuencia: la densidad espectral de fase , espectro de fase o fase espectral . Con menos frecuencia, las dos partes pueden ser las partes real e imaginaria de la función de transferencia. Esto no debe confundirse con la respuesta de frecuencia de una función de transferencia, que también incluye una fase (o equivalentemente, una parte real e imaginaria) como una función de la frecuencia. La respuesta al impulso en el dominio del tiempo generalmente no se puede recuperar de manera única a partir de la densidad espectral de potencia sola sin la parte de fase. Aunque también son pares de transformadas de Fourier, no hay simetría (como la hay para la autocorrelación ) que obligue a que la transformada de Fourier tenga un valor real. Consulte Pulso ultracorto#Fase espectral , ruido de fase , retardo de grupo . ${\displaystyle h(t)}$
• A veces se encuentra una densidad espectral de amplitud ( ASD ), que es la raíz cuadrada de la PSD; la ASD de una señal de voltaje tiene unidades de V Hz ^−1/2 . ^[19] Esto es útil cuando la forma del espectro es bastante constante, ya que las variaciones en la ASD serán entonces proporcionales a las variaciones en el nivel de voltaje de la señal en sí. Pero se prefiere matemáticamente utilizar la PSD, ya que solo en ese caso el área bajo la curva es significativa en términos de potencia real sobre todas las frecuencias o sobre un ancho de banda especificado.

Aplicaciones

Cualquier señal que pueda representarse como una variable que varía en el tiempo tiene un espectro de frecuencia correspondiente. Esto incluye entidades familiares como la luz visible (percibida como color ), las notas musicales (percibidas como tono ), la radio/TV (especificada por su frecuencia o, a veces, longitud de onda ) e incluso la rotación regular de la Tierra. Cuando estas señales se ven en forma de espectro de frecuencia, se revelan ciertos aspectos de las señales recibidas o los procesos subyacentes que las producen. En algunos casos, el espectro de frecuencia puede incluir un pico distintivo correspondiente a un componente de onda sinusoidal . Y, además, puede haber picos correspondientes a armónicos de un pico fundamental, lo que indica una señal periódica que no es simplemente sinusoidal. O un espectro continuo puede mostrar intervalos de frecuencia estrechos que están fuertemente realzados correspondientes a resonancias, o intervalos de frecuencia que contienen una potencia casi nula, como los que produciría un filtro de muesca .

Electrotecnia

Espectrograma de una señal de radio FM con la frecuencia en el eje horizontal y el tiempo aumentando hacia arriba en el eje vertical.

El concepto y el uso del espectro de potencia de una señal son fundamentales en la ingeniería eléctrica , especialmente en los sistemas de comunicación electrónica , incluidas las comunicaciones por radio , los radares y sistemas relacionados, además de la tecnología de teledetección pasiva . Los instrumentos electrónicos llamados analizadores de espectro se utilizan para observar y medir los espectros de potencia de las señales.

El analizador de espectro mide la magnitud de la transformada de Fourier de corta duración (STFT) de una señal de entrada. Si la señal que se analiza puede considerarse un proceso estacionario, la STFT es una buena estimación suavizada de su densidad espectral de potencia.

Cosmología

Las fluctuaciones primordiales , las variaciones de densidad en el universo temprano, se cuantifican mediante un espectro de potencia que da la potencia de las variaciones en función de la escala espacial.

Véase también

• Bispectro
• Temperatura de brillo
• Colores del ruido
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Densidad espectral del ruido
• Estimación de la densidad espectral
• Eficiencia espectral
• Fuga espectral
• Distribución de potencia espectral
• Reducir la probabilidad
• Función de ventana

Notas

1. Algunos autores, por ejemplo (Risken y Frank 1996, p. 30) todavía utilizan la transformada de Fourier no normalizada de manera formal para formular una definición de la densidad espectral de potencia, donde es la función delta de Dirac . Estas afirmaciones formales a veces pueden ser útiles para orientar la intuición, pero siempre deben utilizarse con el máximo cuidado. $${\displaystyle \langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi f(\omega )\delta (\omega -\omega '),}$$ ${\displaystyle \delta (\omega -\omega ')}$
2. El teorema de Wiener-Khinchin da sentido a esta fórmula para cualquier proceso estacionario de sentido amplio bajo hipótesis más débiles: no necesita ser absolutamente integrable, solo necesita existir. Pero la integral ya no puede interpretarse como de costumbre. La fórmula también tiene sentido si se interpreta como que involucra distribuciones (en el sentido de Laurent Schwartz , no en el sentido de una función de distribución acumulativa estadística ) en lugar de funciones. Si es continua, el teorema de Bochner puede usarse para demostrar que su transformada de Fourier existe como una medida positiva , cuya función de distribución es F (pero no necesariamente como una función y no necesariamente posee una densidad de probabilidad). ${\displaystyle R_{xx}}$ ${\displaystyle R_{xx}}$

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Referencias

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Enlaces externos

• Scripts de Matlab sobre densidad espectral de potencia