Módulo plano

Algebraic structure in ring theory

En álgebra , los módulos planos incluyen módulos libres , módulos proyectivos y, sobre un dominio ideal principal , módulos libres de torsión . Formalmente, un módulo M sobre un anillo R es plano si al tomar el producto tensorial sobre R con M se conservan secuencias exactas . Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una secuencia se obtiene una secuencia exacta si y solo si la secuencia original es exacta.

La planitud fue introducida por Jean-Pierre Serre  (1956) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique .

Definición

Un módulo izquierdo M sobre un anillo R es plano si se cumple la siguiente condición: para cada función lineal inyectiva de módulos R derechos , la función ${\displaystyle \varphi :K\to L}$

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

también es inyectiva, donde el mapa es inducido por ${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$ ${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

Para esta definición, basta con restringir las inyecciones a las inclusiones de ideales finitamente generados en R. ${\displaystyle \varphi }$

De manera equivalente, un R -módulo M es plano si el producto tensorial con M es un funtor exacto ; es decir, si, para cada secuencia corta exacta de R -módulos, la secuencia también es exacta. (Esta es una definición equivalente ya que el producto tensorial es un funtor exacto recto ). ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$ ${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$

Estas definiciones se aplican también si R es un anillo no conmutativo y M es un módulo R izquierdo ; en este caso, K , L y J deben ser módulos R derechos , y los productos tensoriales no son módulos R en general, sino solo grupos abelianos .

Caracterizaciones

La planitud también se puede caracterizar por la siguiente condición ecuacional, lo que significa que R - relaciones lineales en M se derivan de relaciones lineales en R .

Un módulo R izquierdo M es plano si y sólo si, para cada relación lineal

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

con y , existen elementos y tales que ^[1] ${\displaystyle r_{i}\in R}$ ${\displaystyle x_{i}\in M}$ ${\displaystyle y_{j}\in M}$ ${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$para ${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

y

${\textstyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad }$para ${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

Equivale a definir n elementos de un módulo, y una función lineal de a este módulo, que mapea la base estándar de a los n elementos. Esto permite reescribir la caracterización anterior en términos de homomorfismos, de la siguiente manera. ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$

Un R -módulo M es plano si y solo si se cumple la siguiente condición: para cada función donde es un R -módulo libre finitamente generado , y para cada R -submódulo finitamente generado de la función se factoriza a través de una función g a un R -módulo libre tal que ${\displaystyle f:F\to M,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(K)=0:}$

Propiedad factorial de un módulo plano

Relaciones con otras propiedades del módulo

La planicidad está relacionada con otras propiedades de los módulos, como ser libre, proyectivo o libre de torsión. En particular, cada módulo plano es libre de torsión , cada módulo proyectivo es plano y cada módulo libre es proyectivo.

Existen módulos finitamente generados que son planos y no proyectivos. Sin embargo, los módulos planos finitamente generados son todos proyectivos sobre los anillos que se consideran más comúnmente. Además, un módulo finitamente generado es plano si y solo si es localmente libre, lo que significa que todas las localizaciones en ideales primos son módulos libres.

Esto se resume en parte en el siguiente gráfico.

Propiedades de los módulos en el álgebra conmutativa

Módulos sin torsión

Todo módulo plano está libre de torsión . Esto resulta de la caracterización anterior en términos de relaciones tomando m = 1 .

Lo contrario se cumple para los números enteros y, más generalmente, para los dominios ideales principales y los anillos de Dedekind .

Un dominio integral sobre el cual cada módulo libre de torsión es plano se denomina dominio de Prüfer .

Módulos libres y proyectivos

Un módulo M es proyectivo si y sólo si hay un módulo libre G y dos aplicaciones lineales y tales que En particular, todo módulo libre es proyectivo (tomemos y ). ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle p:G\to M}$ ${\displaystyle p\circ i=\mathrm {id} _{M}.}$ ${\displaystyle G=M}$ ${\displaystyle i=p=\mathrm {id} _{M}}$

Todo módulo proyectivo es plano. Esto se puede demostrar a partir de las caracterizaciones anteriores de planicidad y proyectividad en términos de aplicaciones lineales tomando y ${\displaystyle g=i\circ f}$ ${\displaystyle h=p.}$

Por el contrario, los módulos planos finitamente generados son proyectivos en condiciones moderadas que generalmente se satisfacen en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . Esto hace que el concepto de planitud sea útil principalmente para módulos que no se generan finitamente.

Un módulo finitamente presentado (que es el cociente de un módulo libre finitamente generado por un submódulo finitamente generado) que es plano es siempre proyectivo. Esto se puede demostrar tomando f sobreyectiva y en la caracterización anterior de la planicidad en términos de aplicaciones lineales. La condición implica la existencia de una aplicación lineal tal que y por lo tanto Como f es sobreyectiva, se tiene por lo tanto y M es proyectiva. ${\displaystyle K=\ker f}$ ${\displaystyle g(K)=0}$ ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle i\circ f=g,}$ ${\displaystyle h\circ i\circ f=h\circ g=f.}$ ${\displaystyle h\circ i=\mathrm {id} _{M},}$

Sobre un anillo noetheriano , cada módulo plano finitamente generado es proyectivo, ya que cada módulo finitamente generado se presenta finitamente. El mismo resultado es cierto sobre un dominio integral , incluso si no es noetheriano. ^[2]

En un anillo local cada módulo plano finitamente generado es libre. ^[3]

Un módulo plano finitamente generado que no es proyectivo se puede construir de la siguiente manera. Sea el conjunto de las sucesiones infinitas cuyos términos pertenecen a un cuerpo fijo F . Es un anillo conmutativo con adición y multiplicación definidas por componentes. Este anillo es absolutamente plano (es decir, todo módulo es plano). El módulo donde I es el ideal de las sucesiones con un número finito de términos distintos de cero, es por tanto plano y finitamente generado (solo un generador), pero no es proyectivo. ${\displaystyle R=F^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R/I,}$

No-ejemplos

• Si I es un ideal en un anillo conmutativo noetheriano R , entonces no es un módulo plano, excepto si I es generado por un idempotente (es decir, un elemento igual a su cuadrado). En particular, si R es un dominio integral , es plano solo si es igual a R o es el ideal cero . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$
• En un dominio integral, un módulo plano está libre de torsión . Por lo tanto, un módulo que contiene elementos de torsión distintos de cero no es plano. En particular, y todos los cuerpos de características positivas son módulos no planos , donde es el anillo de los números enteros y es el cuerpo de los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sumas directas, límites y productos

Una suma directa de módulos es plana si y sólo si cada uno es plano. ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Un límite directo de plano es plano. En particular, un límite directo de módulos libres es plano. A la inversa, todo módulo plano puede escribirse como un límite directo de módulos libres finitamente generados . ^[4]

Los productos directos de módulos planos no necesitan ser, en general, planos. De hecho, dado un anillo R , todo producto directo de módulos R planos es plano si y sólo si R es un anillo coherente (es decir, todo ideal finitamente generado está finitamente presentado). ^[5]

Extensiones de anillo plano

Un homomorfismo de anillo es plano si S es un módulo R plano para la estructura de módulo inducida por el homomorfismo. Por ejemplo, el anillo polinómico R [ t ] es plano sobre R , para cualquier anillo R . ${\displaystyle R\to S}$

Para cualquier subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo , la localización es un R - álgebra plana (es proyectiva sólo en casos excepcionales). Por ejemplo, es plana y no proyectiva sobre ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Si es un ideal de un anillo conmutativo noetheriano , la completitud de con respecto a es plana. ^[6] Es fielmente plana si y sólo si está contenida en el radical de Jacobson de (Véase también anillo de Zariski .) ^[7] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A.}$

Propiedad local

En esta sección, R denota un anillo conmutativo . Si es un ideal primo de R , la localización en se denota, como es habitual, con como índice. Es decir, y, si M es un R -módulo, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

Si M es un módulo R las tres condiciones siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle M}$es un módulo plano; ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es un módulo plano para cada ideal primo ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es un módulo plano para cada ideal máximo ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Esta propiedad es fundamental en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica, ya que reduce el estudio de la planicidad al caso de los anillos locales . A menudo se expresan diciendo que la planicidad es una propiedad local .

Morfismos planos de esquemas

La definición de un morfismo plano de esquemas resulta inmediatamente de la propiedad local de planitud.

Un morfismo de esquemas es un morfismo plano si el mapa inducido está en anillos locales ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

es un homomorfismo de anillo plano para cualquier punto x en X .

Por lo tanto, las propiedades de los homomorfismos de anillos planos (o fielmente planos) se extienden naturalmente a las propiedades geométricas de los morfismos planos en geometría algebraica.

Por ejemplo, considere el álgebra plana (ver más abajo). La inclusión induce el morfismo plano. ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]\hookrightarrow R}$

${\displaystyle \pi :\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t]).}$

Cada fibra (geométrica) es la curva de ecuación (Ver también degeneración plana y deformación a cono normal ). ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ ${\displaystyle xy=t.}$

Sea un anillo polinómico sobre un anillo noetheriano conmutativo y un divisor distinto de cero. Entonces es plano sobre si y solo si es primitivo (los coeficientes generan el ideal unitario). ^[8] Un ejemplo es ^[9] que es plano (e incluso libre) sobre (véase también más abajo el significado geométrico). Tales extensiones planas se pueden utilizar para producir ejemplos de módulos planos que no son libres y no resultan de una localización. ${\displaystyle S=R[x_{1},\dots ,x_{r}]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle S/fS}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

Planitud fiel

Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una secuencia se obtiene una secuencia exacta si y solo si la secuencia original es exacta. Aunque el concepto está definido para módulos sobre un anillo conmutativo no necesario, se utiliza principalmente para álgebras conmutativas . Por lo tanto, este es el único caso que se considera aquí, incluso si algunos resultados se pueden generalizar al caso de módulos sobre un anillo no conmutativo.

En esta sección se presenta un homomorfismo de anillos conmutativos, que da lugar a las estructuras de un álgebra y un módulo. Si un módulo es plano (o fielmente plano), se dice comúnmente que es plano (o fielmente plano) sobre y que es plano (o fielmente plano). ${\displaystyle f\colon R\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle f}$

Si es plano las siguientes condiciones son equivalentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$

• ${\displaystyle S}$es fielmente plano.
• Para cada ideal máximo de , se tiene ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• Si es un módulo distinto de cero, entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• Para cada ideal primo de existe un ideal primo de tal que En otras palabras, la función inducida por en los espectros es sobreyectiva. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}}).}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f,}$es inyectiva, y es un subanillo puro de , es decir, es inyectiva para cada -módulo . ^[a] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

La segunda condición implica que un homomorfismo local plano de anillos locales es fielmente plano. De la última condición se sigue que para cada ideal de (tomemos ). En particular, si es un anillo noetheriano, entonces también es noetheriano. ${\displaystyle I=IS\cap R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M=R/I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

La penúltima condición puede enunciarse en la siguiente forma reforzada: es sumergible , lo que significa que la topología de Zariski de es la topología cociente de la de (este es un caso especial del hecho de que un morfismo cuasicompacto fielmente plano de esquemas tiene esta propiedad. ^[10] ). Véase también Morfismo plano § Propiedades de los morfismos planos . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$

Ejemplos

• Un homomorfismo de anillo tal que sea un módulo R libre distinto de cero es fielmente plano. Por ejemplo: ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle S}$
  • Toda extensión de campo es fielmente plana. Esta propiedad está implícitamente detrás del uso de la complejización para demostrar resultados en espacios vectoriales reales.
  • Un anillo polinomial es una extensión fielmente plana de su anillo de coeficientes.
  • Si es un polinomio mónico , la inclusión es fielmente plana. ${\displaystyle p\in R[x]}$ ${\displaystyle R\hookrightarrow R[t]/\langle p\rangle }$
• Sea el producto directo de las localizaciones en el es fielmente plano sobre si y sólo si genera el ideal unitario de (es decir, si es una combinación lineal del ). ^[11] ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}\in R.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}R[t_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• La suma directa de las localizaciones de todos sus ideales primos es un módulo fielmente plano que no es un álgebra, excepto si hay un número finito de ideales primos. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$

Los dos últimos ejemplos están implícitamente detrás del amplio uso de la localización en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica.

• Para un homomorfismo de anillo dado existe un complejo asociado llamado complejo de Amitsur : ^[12] ${\displaystyle f:A\to B,}$

$${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {\delta ^{0}}{\to }}B\otimes _{A}B{\overset {\delta ^{1}}{\to }}B\otimes _{A}B\otimes _{A}B\to \cdots }$$donde los operadores cofronterizos son las sumas alternadas de las funciones obtenidas al insertar 1 en cada punto; por ejemplo, . Entonces (Grothendieck) este complejo es exacto si es fielmente plano. ${\displaystyle \delta ^{n}}$ ${\displaystyle \delta ^{0}(b)=b\otimes 1-1\otimes b}$ ${\displaystyle f}$

Homomorfismos locales fielmente planos

A continuación se presenta una caracterización de un homomorfismo fielmente plano para un homomorfismo no necesariamente plano. Dado un homomorfismo local inyectivo tal que es un ideal primario - , el homomorfismo es fielmente plano si y solo si el teorema de transición se cumple para él; es decir, para cada ideal primario - de , ^[13] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})\hookrightarrow (S,{\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle S\to B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {q}}S)=\operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {m}}S)\operatorname {length} _{R}(R/{\mathfrak {q}}).}$

Caracterización homológica mediante funtores Tor

La planitud también se puede expresar utilizando los funtores Tor , los funtores derivados por la izquierda del producto tensorial. Un módulo izquierdo es plano si y solo si ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$para todos y todos los módulos correctos ). ^[b] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

De hecho, basta con comprobar que el primer término de Tor se anula, es decir, M es plano si y sólo si

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

para cualquier módulo o, incluso más restrictivamente, cuando y es cualquier ideal finitamente generado. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=R/I}$ ${\displaystyle I\subset R}$

Usando las secuencias largas y exactas del functor Tor , uno puede entonces probar fácilmente hechos acerca de una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

Si y son planos, entonces también lo es . Además, si y son planos, entonces también lo es . Si y son planos, no es necesario que sean planos en general. Sin embargo, si es puro en y es plano, entonces y son planos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Resoluciones planas

Una resolución plana de un módulo es una resolución de la forma ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

donde todos son módulos planos. Cualquier resolución libre o proyectiva es necesariamente una resolución plana. Las resoluciones planas se pueden utilizar para calcular el functor Tor . ${\displaystyle F_{i}}$

La longitud de una resolución plana finita es el primer subíndice n tal que no es cero y para . Si un módulo admite una resolución plana finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones planas finitas de se llama su dimensión plana ^[14] y se denota . Si no admite una resolución plana finita, entonces por convención se dice que la dimensión plana es infinita. Como ejemplo, considere un módulo tal que . En esta situación, la exactitud de la secuencia indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, ella misma es plana. ^[c] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$ ${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$ ${\displaystyle M}$

En algunas áreas de la teoría de módulos, una resolución plana debe satisfacer el requisito adicional de que cada mapa sea una precubierta plana del núcleo del mapa a la derecha. Para las resoluciones proyectivas, esta condición es casi invisible: una precubierta proyectiva es simplemente un epimorfismo de un módulo proyectivo. Estas ideas están inspiradas en el trabajo de Auslander en aproximaciones. Estas ideas también son familiares a partir de la noción más común de resoluciones proyectivas mínimas, donde se requiere que cada mapa sea una cubierta proyectiva del núcleo del mapa a la derecha. Sin embargo, las cubiertas proyectivas no necesitan existir en general, por lo que las resoluciones proyectivas mínimas solo son de uso limitado sobre anillos como los números enteros.

cubiertas planas

Aunque no siempre existen cubiertas proyectivas para módulos, se especuló que para anillos generales, cada módulo tendría una cubierta plana, es decir, cada módulo M sería la imagen epimórfica de un módulo plano F tal que cada función de un módulo plano sobre M se factoriza a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo. Esta conjetura de cubierta plana fue enunciada explícitamente por primera vez en Enochs (1981, p. 196). La conjetura resultó ser verdadera, se resolvió positivamente y fue demostrada simultáneamente por L. Bican, R. El Bashir y E. Enochs. ^[15] Esto fue precedido por importantes contribuciones de P. Eklof, J. Trlifaj y J. Xu.

Dado que existen cubiertas planas para todos los módulos sobre todos los anillos, las resoluciones planas mínimas pueden reemplazar a las resoluciones proyectivas mínimas en muchas circunstancias. La medición de la desviación de las resoluciones planas con respecto a las resoluciones proyectivas se denomina álgebra homológica relativa y se aborda en obras clásicas como Mac Lane (1963) y en trabajos más recientes centrados en resoluciones planas como Enochs y Jenda (2000).

En matemáticas constructivas

Los módulos planos han aumentado su importancia en las matemáticas constructivas , donde los módulos proyectivos son menos útiles. Por ejemplo, que todos los módulos libres sean proyectivos es equivalente al axioma completo de elección , por lo que los teoremas sobre módulos proyectivos, incluso si se prueban de manera constructiva, no necesariamente se aplican a los módulos libres. Por el contrario, no se necesita ninguna elección para probar que los módulos libres son planos, por lo que los teoremas sobre módulos planos aún pueden aplicarse. ^[16]

Véase también

• Planitud genérica
• Morfismo plano
• Anillo regular de von Neumann : anillos sobre los cuales todos los módulos son planos.
• Anillo normalmente plano

Notas

1. Demostración: Supongamos que es fielmente plano. Para un módulo R, la función se muestra como un subanillo puro y, por lo tanto, es inyectiva. Por lo tanto, es inyectiva. A la inversa, si es un módulo sobre , entonces ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S=R\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\to M\otimes _{R}(S\otimes S)\simeq (M\otimes _{R}S)\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\neq M\subset M\otimes _{R}S.}$
2. De manera similar, un módulo derecho es plano si y solo si para todos y todos los módulos izquierdos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,X)=0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$
3. Un módulo isomorfo a un módulo plano es por supuesto plano.

Citas

1. Bourbaki, Cap. I, § 2. Proposición 13, Corolario 1
2. Cartier 1958, Léme 5, pág. 249
3. Matsumura 1986, Teorema 7.10
4. Lazard 1969
5. Persecución 1960
6. Matsumura 1970, Corolario 1 del Teorema 55, p. 170
7. Matsumura 1970, Teorema 56
8. Eisenbud 1995, Ejercicio 6.4
9. Artin, pág. 3
10. SGA I, Exposición VIII., Corola 4.3
11. Artin 1999, Ejercicio (3) después de la Proposición III.5.2
12. "Complejo Amitsur". ncatlab.org .
13. Matsumura 1986, Cap. 8, Ejercicio 22.1
14. Lam 1999, pág. 183
15. Bican, El Bashir y Enocs 2001
16. Richman 1997

Referencias

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