Cardinalidad

Definición del número de elementos de un conjunto

El conjunto de todos los sólidos platónicos tiene 5 elementos. Por lo tanto, la cardinalidad de es 5 o, escrito simbólicamente, . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|=5}$

En matemáticas , la cardinalidad describe una relación entre conjuntos que compara su tamaño relativo. ^[1] Por ejemplo, los conjuntos y tienen el mismo tamaño ya que cada uno contiene 3 elementos . A partir de finales del siglo XIX, este concepto se generalizó a los conjuntos infinitos , lo que permite distinguir entre diferentes tipos de infinito y realizar operaciones aritméticas con ellos. Hay dos nociones que se utilizan a menudo cuando se hace referencia a la cardinalidad: una que compara conjuntos directamente mediante biyecciones e inyecciones , y otra que utiliza números cardinales . ^[2] La cardinalidad de un conjunto también puede denominarse su tamaño , cuando no es posible confundirlo con otras nociones de tamaño. ^[a] ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle B=\{2,4,6\}}$

Cuando dos conjuntos, ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , tienen la misma cardinalidad, normalmente se escribe como ; sin embargo, si se hace referencia al número cardinal de un conjunto individual , simplemente se denota , con una barra vertical a cada lado; ^[3] esta es la misma notación que valor absoluto , y el significado depende del contexto. El número cardinal de un conjunto puede denotarse alternativamente por , , o . ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)}$ ${\displaystyle \#A}$

Historia

En una variedad de especies animales actuales se observa un sentido rudimentario de cardinalidad, una conciencia de que los grupos de cosas o eventos se comparan con otros grupos al contener más, menos o la misma cantidad de instancias, lo que sugiere un origen hace millones de años. ^[4] La expresión humana de cardinalidad se observa ya enHace 40.000 años, con la equiparación del tamaño de un grupo con un grupo de muescas registradas, o una colección representativa de otras cosas, como palos y conchas. [ ^5] La abstracción de la cardinalidad como número es evidente hacia el año 3000 a. C., en las matemáticas sumerias y la manipulación de números sin referencia a un grupo específico de cosas o eventos. ^[6]

Desde el siglo VI a. C., los escritos de los filósofos griegos muestran indicios de la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Si bien consideraban la noción de infinito como una serie interminable de acciones, como sumar 1 a un número repetidamente, no consideraban que el tamaño de un conjunto infinito de números fuera una cosa. ^[7] La ​​antigua noción griega de infinito también consideraba la división de las cosas en partes repetidas sin límite. En los Elementos de Euclides , la conmensurabilidad se describía como la capacidad de comparar la longitud de dos segmentos de línea, a y b , como una razón, siempre que hubiera un tercer segmento, sin importar cuán pequeño fuera, que pudiera colocarse de extremo a extremo un número entero de veces en a y b . Pero con el descubrimiento de los números irracionales , se vio que incluso el conjunto infinito de todos los números racionales no era suficiente para describir la longitud de cada segmento de línea posible. ^[8] Aun así, no existía el concepto de conjuntos infinitos como algo que tuviera cardinalidad.

Para comprender mejor los conjuntos infinitos, Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , formuló en  1880 una noción de cardinalidad . Examinó el proceso de equiparar dos conjuntos con biyección , una correspondencia biunívoca entre los elementos de dos conjuntos basada en una relación única. En 1891, con la publicación del argumento diagonal de Cantor , demostró que hay conjuntos de números que no se pueden colocar en correspondencia biunívoca con el conjunto de números naturales, es decir, conjuntos incontables que contienen más elementos que los que hay en el conjunto infinito de números naturales. ^[9]

Comparación de conjuntos

Función biyectiva de N al conjunto E de los números pares . Aunque E es un subconjunto propio de N , ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

N no tiene la misma cardinalidad que su conjunto potencia P ( N ): Para cada función f desde N hasta P ( N ), el conjunto T = { n ∈ N : n ∉ f ( n )} no está de acuerdo con cada conjunto en el rango de f , por lo tanto f no puede ser sobreyectiva. La imagen muestra un ejemplo f y la T correspondiente ; rojo : n ∈ f ( n )\ T , azul : n ∈ T \ f ( n ).

Aunque la cardinalidad de un conjunto finito es simplemente comparable a su número de elementos, la extensión de la noción a conjuntos infinitos generalmente comienza con la definición de la noción de comparación de conjuntos arbitrarios (algunos de los cuales son posiblemente infinitos).

Definición 1: |A| = |B|

Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección (también conocida como correspondencia biyectiva) de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , ^[10] es decir, una función de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ que es tanto inyectiva como sobreyectiva . Se dice que estos conjuntos son equipotentes , equipolentes o equinumerosos .

Por ejemplo, el conjunto de números pares no negativos tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números naturales , ya que la función es una biyección de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ (ver imagen). ${\displaystyle E=\{0,2,4,6,{\text{...}}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,{\text{...}}\}}$ ${\displaystyle f(n)=2n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E}$

Para los conjuntos finitos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , si existe alguna biyección de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , entonces cada función inyectiva o sobreyectiva de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ es una biyección. Esto ya no es cierto para los conjuntos infinitos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ . Por ejemplo, la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle E}$ , definida por es inyectiva, pero no sobreyectiva ya que 2, por ejemplo, no se asigna a, y ⁠ ⁠ de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ , definida por (ver: operación módulo ) es sobreyectiva, pero no inyectiva, ya que 0 y 1, por ejemplo, ambos se asignan a 0. Ni ⁠ ⁠ ni ⁠ ⁠ pueden desafiar , que fue establecida por la existencia de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle g(n)=4n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h(n)=n-(n{\text{ mod }}2)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |E|=|\mathbb {N} |}$ ${\displaystyle f}$

Definición 2: |A| ≤ |B|

⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ tiene cardinalidad menor o igual que la cardinalidad de ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , si existe una función inyectiva de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ en ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ .

Si y , entonces (un hecho conocido como teorema de Schröder–Bernstein ). El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que o para cada ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . ^{[11] [12]} ${\displaystyle |A|\leq |B|}$ ${\displaystyle |B|\leq |A|}$ ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle |A|\leq |B|}$ ${\displaystyle |B|\leq |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Definición 3: |A| < |B|

⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad de ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , si hay una función inyectiva, pero no una función biyectiva, de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ .

Por ejemplo, el conjunto ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ de todos los números naturales tiene cardinalidad estrictamente menor que su conjunto potencia ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ , porque es una función inyectiva de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ , y se puede demostrar que ninguna función de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ puede ser biyectiva (ver imagen). Por un argumento similar, ⁠ ⁠ tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad del conjunto ⁠ ⁠ de todos los números reales . Para pruebas, véase el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontabilidad de Cantor . ${\displaystyle g(n)=\{n\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Números cardinales

En la sección anterior, la "cardinalidad" de un conjunto se definió funcionalmente. En otras palabras, no se definió como un objeto específico en sí mismo. Sin embargo, dicho objeto puede definirse de la siguiente manera.

La relación de tener la misma cardinalidad se llama equinumerosidad y es una relación de equivalencia sobre la clase de todos los conjuntos. La clase de equivalencia de un conjunto A bajo esta relación, entonces, consiste en todos aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad que A. Hay dos maneras de definir la "cardinalidad de un conjunto":

1. La cardinalidad de un conjunto A se define como su clase de equivalencia bajo equinumerosidad.
2. Se designa un conjunto representativo para cada clase de equivalencia. La opción más común es el ordinal inicial de esa clase . Esto suele tomarse como la definición de número cardinal en la teoría de conjuntos axiomáticos .

Suponiendo el axioma de elección , las cardinalidades de los conjuntos infinitos se denotan

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

Para cada ordinal , es el número cardinal menor mayor que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La cardinalidad de los números naturales se denota por aleph-null ( ), mientras que la cardinalidad de los números reales se denota por " " (una escritura fraktur minúscula "c"), y también se conoce como la cardinalidad del continuo . Cantor demostró, utilizando el argumento diagonal , que . Podemos demostrar que , siendo esta también la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$

La hipótesis del continuo dice que , es decir, es el número cardinal más pequeño mayor que , es decir, no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales. La hipótesis del continuo es independiente de ZFC , una axiomatización estándar de la teoría de conjuntos; es decir, es imposible probar la hipótesis del continuo o su negación a partir de ZFC, siempre que ZFC sea consistente. Para más detalles, véase § Cardinalidad del continuo a continuación. ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Conjuntos finitos, contables e incontables

Si se cumple el axioma de elección , se cumple la ley de tricotomía para la cardinalidad. Por lo tanto, podemos hacer las siguientes definiciones:

• Cualquier conjunto X con cardinalidad menor que la de los números naturales , o |  X  | < |  N  |, se dice que es un conjunto finito .
• Cualquier conjunto X que tenga la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales, o |  X  | = |  N  | = , se dice que es un conjunto infinito contable . ^[10] ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Cualquier conjunto X con cardinalidad mayor que la de los números naturales, o |  X  | > |  N  |, por ejemplo |  R  | = > |  N  |, se dice que es incontable . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Conjuntos infinitos

Nuestra intuición obtenida de los conjuntos finitos se rompe cuando se trata de conjuntos infinitos . A finales del siglo XIX, Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros rechazaron la visión de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. ^{[16] [ cita requerida ]} Un ejemplo de esto es la paradoja de Hilbert del Grand Hotel . De hecho, Dedekind definió un conjunto infinito como uno que puede colocarse en una correspondencia uno a uno con un subconjunto estricto (es decir, que tiene el mismo tamaño en el sentido de Cantor); esta noción de infinito se llama infinito de Dedekind . Cantor introdujo los números cardinales y demostró, de acuerdo con su definición de tamaño basada en la biyección, que algunos conjuntos infinitos son mayores que otros. La cardinalidad infinita más pequeña es la de los números naturales ( ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo ( ) es mayor que la de los números naturales ( ); es decir, hay más números reales R que números naturales N . Es decir, Cantor demostró que (véase Beth 1 ) satisface: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}$

(ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontabilidad de Cantor ).

La hipótesis del continuo establece que no existe ningún número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir,

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Sin embargo, esta hipótesis no puede probarse ni refutarse dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos ZFC ampliamente aceptada , si ZFC es consistente.

La aritmética cardinal se puede utilizar para demostrar no sólo que el número de puntos en una línea de números reales es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa línea, sino que este es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita. Estos resultados son altamente contraintuitivos, porque implican que existen subconjuntos propios y superconjuntos propios de un conjunto infinito S que tienen el mismo tamaño que S , aunque S contiene elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los superconjuntos de S contienen elementos que no están incluidos en él.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia biunívoca entre el intervalo (−½π, ½π) y R (véase también la paradoja de Hilbert del Grand Hotel ).

El segundo resultado fue demostrado por primera vez por Cantor en 1878, pero se hizo más evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se retuercen y giran lo suficiente para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo, hipercubo o espacio de dimensión finita. Estas curvas no son una prueba directa de que una línea tiene el mismo número de puntos que un espacio de dimensión finita, pero pueden usarse para obtener dicha prueba .

Cantor también demostró que existen conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que (véase su argumento y teorema diagonal generalizado ). Entre ellos se incluyen, por ejemplo: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• el conjunto de todos los subconjuntos de R , es decir, el conjunto potencia de R , escrito P ( R ) o 2 ^R
• el conjunto R ^R de todas las funciones desde R hasta R

Ambos tienen cardinalidad

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}}$

(ver Beth dos ).

Las igualdades cardinales se pueden demostrar utilizando la aritmética cardinal : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.}$

Ejemplos y propiedades

• Si X = { a , b , c } e Y = {manzanas, naranjas, duraznos}, donde a , b y c son distintos, entonces |  X  | = |  Y  | porque { ( a , manzanas), ( b , naranjas), ( c , duraznos)} es una biyección entre los conjuntos X e Y . La cardinalidad de cada uno de X e Y es 3.
• Si |  X  | ≤ |  Y  |, entonces existe Z tal que |  X  | = |  Z  | y Z ⊆ Y .
• Si |  X  | ≤ |  Y  | y |  Y  | ≤ |  X  |, entonces |  X  | = |  Y  |. Esto es válido incluso para cardinales infinitos y se conoce como teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder .
• Los conjuntos con cardinalidad del continuo incluyen el conjunto de todos los números reales, el conjunto de todos los números irracionales y el intervalo . ${\displaystyle [0,1]}$

Unión e intersección

Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces

${\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert .}$

A partir de esto, se puede demostrar que, en general, las cardinalidades de las uniones e intersecciones están relacionadas por la siguiente ecuación: ^[17]

${\displaystyle \left\vert C\cup D\right\vert +\left\vert C\cap D\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert .}$

Definición de cardinalidad en la teoría de clases (BBG-NoMK)

Aquí denotamos una clase de todos los conjuntos, y denotamos la clase de todos los números ordinales. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mbox{Ord}}}$

${\displaystyle |A|:={\mbox{Ord}}\cap \bigcap \{\alpha \in {\mbox{Ord}}|\exists (f:A\to \alpha ):(f{\mbox{ injective}})\}}$

Usamos la intersección de una clase que está definida por , por lo tanto . En este caso ${\displaystyle (x\in \bigcap Q)\iff (\forall q\in Q:x\in q)}$ ${\displaystyle \bigcap \emptyset =V}$

${\displaystyle (x\mapsto |x|):V\to {\mbox{Ord}}}$.

Esta definición permite también obtener una cardinalidad de cualquier clase propia , en particular ${\displaystyle P}$

${\displaystyle |P|={\mbox{Ord}}}$

Esta definición es natural ya que concuerda con el axioma de limitación de tamaño que implica biyección entre y cualquier clase propia. ${\displaystyle V}$

Véase también

• Número aleph
• Número de Beth
• La paradoja de Cantor
• Teorema de Cantor
• Conjunto contable
• Cálculo
• Ordinalidad
• Principio del casillero

Referencias

1. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
2. Weisstein, Eric W. "Número cardinal". MathWorld .
3. "Cardinalidad | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
4. Cepelewicz, Jordana Los animales cuentan y usan el cero. ¿Hasta dónde llega su sentido numérico? , Quanta , 9 de agosto de 2021
5. "Las primeras herramientas de conteo para los humanos". Cronología de las matemáticas . Consultado el 26 de abril de 2018 .
6. Duncan J. Melville (2003). Cronología del tercer milenio Archivado el 7 de julio de 2018 en Wayback Machine , Matemáticas del tercer milenio . Universidad de St. Lawrence .
7. Allen, Donald (2003). "La historia del infinito" (PDF) . Texas A&M Mathematics . Archivado desde el original (PDF) el 1 de agosto de 2020 . Consultado el 15 de noviembre de 2019 .
8. Kurt Von Fritz (1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hípaso de Metaponto". Anales de las Matemáticas .
9. Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 1 : 75–78.
10. "Conjuntos infinitos y cardinalidad". Matemáticas LibreTexts . 2019-12-05 . Consultado el 2020-08-23 .
11. Friedrich M. Hartogs (1915), Félix Klein ; Walther von Dyck ; David Hilbert ; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung", Mathematische Annalen , 76 (4), Leipzig: B. G. Teubner: 438–443, doi :10.1007/bf01458215, ISSN  0025-5831, S2CID  121598654
12. Félix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn ; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlín/Heidelberg: Springer, p. 587, ISBN 3-540-42224-2- Edición original (1914)
13. Cohen, Paul J. (15 de diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 50 (6): 1143–1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287 . PMID  16578557. 
14. Cohen, Paul J. (15 de enero de 1964). "La independencia de la hipótesis del continuo, II". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . JSTOR  72252. PMC 300611 . PMID  16591132. 
15. Penrose, R (2005), El camino hacia la realidad: una guía completa de las leyes del universo , Vintage Books, ISBN 0-09-944068-7
16. Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 91 : 81-125
    Reimpreso en: Georg Cantor (1932), Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo (eds.), Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlín: Springer, págs. 378–439Aquí: p.413 abajo
17. Álgebra abstracta aplicada, KH Kim, FW Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7 (edición para estudiantes), ISBN 0-85312-563-5 (edición de biblioteca)  

1. Como la longitud y el área en geometría . – Una línea de longitud finita es un conjunto de puntos que tiene cardinalidad infinita.