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Glosario de teoría de campos

La teoría de campos es la rama de las matemáticas en la que se estudian los campos . Este es un glosario de algunos términos de la materia. (Véase teoría de campos (física) para las teorías de campos no relacionadas en física).

Definición de un campo

Un cuerpo es un anillo conmutativo ( F , +, *) en el que 0 ≠ 1 y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. En un cuerpo podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Los elementos distintos de cero de un campo F forman un grupo abeliano bajo la multiplicación; este grupo se denota típicamente por F × ;

El anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en F se denota por F [ x ].

Definiciones básicas

Característica
La característica del cuerpo F es el entero positivo más pequeño n tal que n ·1 = 0 ; aquí n ·1 representa n sumandos 1 + 1 + 1 + ... + 1 . Si no existe tal n , decimos que la característica es cero. Toda característica distinta de cero es un número primo . Por ejemplo, los números racionales , los números reales y los números p -ádicos tienen característica 0, mientras que el cuerpo finito Z p con p siendo primo tiene característica p .
Subcampo
Un subcuerpo de un cuerpo F es un subconjunto de F que está cerrado bajo las operaciones de cuerpo + y * de F y que, con estas operaciones, forma él mismo un cuerpo.
Campo principal
El campo primo del campo F es el único subcampo más pequeño de F.
Campo de extensión
Si F es un subcuerpo de E entonces E es un cuerpo de extensión de F. Entonces también decimos que E / F es una extensión de cuerpo .
Grado de una extensión
Dada una extensión E / F , el campo E puede considerarse como un espacio vectorial sobre el campo F , y la dimensión de este espacio vectorial es el grado de la extensión, denotado por [ E  : F ].
Extensión finita
Una extensión finita es una extensión de campo cuyo grado es finito.
Extensión algebraica
Si un elemento α de un campo de extensión E sobre F es la raíz de un polinomio distinto de cero en F [ x ], entonces α es algebraico sobre F . Si cada elemento de E es algebraico sobre F , entonces E / F es una extensión algebraica .
Grupo electrógeno
Dada una extensión de cuerpo E / F y un subconjunto S de E , escribimos F ( S ) para el subcuerpo más pequeño de E que contiene tanto a F como a S. Consiste en todos los elementos de E que pueden obtenerse utilizando repetidamente las operaciones +, −, *, / sobre los elementos de F y S. Si E = F ( S ) , decimos que E es generado por S sobre F.
Elemento primitivo
Un elemento α de un cuerpo de extensión E sobre un cuerpo F se denomina elemento primitivo si E = F ( α ), el cuerpo de extensión más pequeño que contiene α . Una extensión de este tipo se denomina extensión simple .
División de campo
Una extensión de campo generada por la factorización completa de un polinomio.
Extensión normal
Una extensión de campo generada por la factorización completa de un conjunto de polinomios.
Extensión separable
Una extensión generada por raíces de polinomios separables .
Campo perfecto
Un cuerpo tal que toda extensión finita es separable. Todos los cuerpos de característica cero y todos los cuerpos finitos son perfectos.
Grado imperfecto
Sea F un cuerpo de característica p > 0 ; entonces F p es un subcuerpo. El grado [ F  : F p ] se denomina grado imperfecto de F . El cuerpo F es perfecto si y sólo si su grado imperfecto es 1 . Por ejemplo, si F es un cuerpo de funciones de n variables sobre un cuerpo finito de característica p > 0 , entonces su grado imperfecto es p n . [1]
Campo algebraicamente cerrado
Un campo F es algebraicamente cerrado si cada polinomio en F [ x ] tiene una raíz en F ; equivalentemente: cada polinomio en F [ x ] es un producto de factores lineales.
Cierre algebraico
Un cierre algebraico de un cuerpo F es una extensión algebraica de F que es algebraicamente cerrada. Todo cuerpo tiene un cierre algebraico y es único hasta un isomorfismo que fija F .
Trascendental
Aquellos elementos de un cuerpo de extensión de F que no son algebraicos sobre F son trascendentales sobre F.
Elementos algebraicamente independientes
Los elementos de un campo de extensión de F son algebraicamente independientes sobre F si no satisfacen ninguna ecuación polinomial distinta de cero con coeficientes en F.
Grado de trascendencia
Número de elementos trascendentales algebraicamente independientes en una extensión de cuerpo. Se utiliza para definir la dimensión de una variedad algebraica .

Homomorfismos

Homomorfismo de campo
Un homomorfismo de campo entre dos campos E y F es un homomorfismo de anillo , es decir, una función
f  : E → F
tal que, para todo x , y en E ,
f ( x + y ) = f ( x )+ f ( y )
f ( xy ) = f ( x ) f ( y )
f (1) = 1.
Para los cuerpos E y F , estas propiedades implican que f (0) = 0 , f ( x −1 ) = f ( x ) −1 para x en E × , y que f es inyectiva . Los cuerpos, junto con estos homomorfismos, forman una categoría . Dos cuerpos E y F se denominan isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo .
y  : E → F .
Los dos campos son, por tanto, idénticos a todos los efectos prácticos; sin embargo, no necesariamente de manera única . Véase, por ejemplo, Complex conjugate .

Tipos de campos

Campo finito
Un campo con un número finito de elementos, también conocido como campo de Galois .
Campo ordenado
Un campo con un orden total compatible con sus operaciones.
Números racionales
Números reales
Números complejos
Campo numérico
Extensión finita del campo de los números racionales.
Números algebraicos
El campo de los números algebraicos es la extensión algebraicamente cerrada más pequeña del campo de los números racionales. Sus propiedades detalladas se estudian en la teoría de números algebraicos .
Campo cuadrático
Una extensión de grado dos de los números racionales.
Campo ciclotómico
Una extensión de los números racionales generada por una raíz de la unidad .
Campo totalmente real
Un campo numérico generado por una raíz de un polinomio, teniendo todas sus raíces números reales.
Campo formalmente real
Campo realmente cerrado
Campo global
Un campo numérico o un campo de función de una variable sobre un campo finito.
Campo local
Una finalización de algún campo global ( con respecto a un primo del anillo de enteros).
Campo completo
Un campo completo respecto a alguna valoración.
Campo pseudoalgebraicamente cerrado
Un campo en el que cada variedad tiene un punto racional . [2]
Campo henseliano
Un campo que satisface el lema de Hensel en lo que respecta a alguna valoración. Una generalización de campos completos.
Campo hilbertiano
Un campo que satisface el teorema de irreducibilidad de Hilbert : formalmente, uno para el cual la línea proyectiva no es delgada en el sentido de Serre . [3] [4]
Campo kroneckeriano
Un campo numérico algebraico totalmente real o una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real. [5]
Campo CM o campo J
Un campo numérico algebraico que es una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real. [6]
Campo vinculado
Un campo sobre el cual no existe ningún álgebra de bicuaterniones es un álgebra de división . [7]
Campo de Frobenius
Un campo pseudoalgebraicamente cerrado cuyo grupo de Galois absoluto tiene la propiedad de incrustación. [8]

Extensiones de campo

Sea E / F una extensión del campo.

Extensión algebraica
Una extensión en la que cada elemento de E es algebraico sobre F.
Extensión simple
Una extensión que se genera a partir de un único elemento, llamado elemento primitivo o elemento generador . [9] El teorema del elemento primitivo clasifica dichas extensiones. [10]
Extensión normal
Una extensión que divide una familia de polinomios: cada raíz del polinomio mínimo de un elemento de E sobre F también está en E.
Extensión separable
Una extensión algebraica en la que el polinomio mínimo de cada elemento de E sobre F es un polinomio separable , es decir, tiene raíces distintas. [11]
Extensión de Galois
Una extensión de campo normal y separable.
Extensión primaria
Una extensión E / F tal que el cierre algebraico de F en E es puramente inseparable sobre F ; equivalentemente, E es linealmente disjunto del cierre separable de F . [12]
Extensión puramente trascendental
Una extensión E / F en la que cada elemento de E que no esté en F es trascendental sobre F. [13] [14]
Extensión regular
Una extensión E / F tal que E es separable sobre F y F es algebraicamente cerrada en E . [12]
Extensión radical simple
Una extensión simple E / F generada por un solo elemento α que satisface α n = b para un elemento b de F . En la característica p , también tomamos una extensión por una raíz de un polinomio de Artin–Schreier como una extensión radical simple. [15]
Extensión radical
Una torre F = F 0 < F 1 < ⋅⋅⋅ < F k = E donde cada extensión F i / F i −1 es una extensión radical simple. [15]
Extensión autorregular
Una extensión E / F tal que E ⊗ F E es un dominio integral. [16]
Extensión totalmente trascendental
Una extensión E / F tal que F está algebraicamente cerrada en F. [14 ]
Clase distinguida
Una clase C de extensiones de campo con las tres propiedades [17]
  1. Si E es una C-extensión de F y F es una C-extensión de K entonces E es una C-extensión de K.
  2. Si E y F son C-extensiones de K en un campo común M , entonces el compuesto EF es una C-extensión de K .
  3. Si E es una C-extensión de F y E > K > F entonces E es una C-extensión de K.

Teoría de Galois

Extensión de Galois
Una extensión de campo normal y separable.
Grupo de Galois
El grupo de automorfismos de una extensión de Galois. Cuando se trata de una extensión finita, se trata de un grupo finito de orden igual al grado de la extensión. Los grupos de Galois para extensiones infinitas son grupos profinitos .
Teoría de Kummer
La teoría de Galois de tomar raíces n- ésimas, dadas suficientes raíces de la unidad . Incluye la teoría general de extensiones cuadráticas .
Teoría de Artin-Schreier
Cubre un caso excepcional de la teoría de Kummer, en la característica p .
Base normal
Una base en el sentido del espacio vectorial de L sobre K , sobre la que el grupo de Galois de L sobre K actúa transitivamente.
Producto tensorial de campos
Una pieza fundamental diferente del álgebra, que incluye la operación compositum ( unión de campos).

Extensiones de la teoría de Galois

Problema inverso de la teoría de Galois
Dado un grupo G , encuentre una extensión del número racional u otro campo con G como grupo de Galois.
Teoría diferencial de Galois
Tema en el que se estudian los grupos de simetría de ecuaciones diferenciales siguiendo los lineamientos tradicionales de la teoría de Galois. En realidad, se trata de una idea antigua y una de las motivaciones de Sophus Lie para fundar la teoría de los grupos de Lie . Probablemente, no haya alcanzado una forma definitiva.
La teoría de Galois de Grothendieck
Un enfoque muy abstracto de la geometría algebraica , introducido para estudiar el análogo del grupo fundamental .

Citas

  1. ^ Fried y Jarden 2008, pág. 45
  2. ^ Fried y Jarden 2008, pág. 214
  3. ^ Serre 1992, pág. 19
  4. ^ Schinzel 2000, pág. 298
  5. ^ Schinzel 2000, pág. 5
  6. ^ Washington 1996
  7. ^ Lam 2005, pág. 342
  8. ^ Fried y Jarden 2008, pág. 564
  9. ^ Romano 2007, pág. 46
  10. ^ Lang 2002, pág. 243
  11. ^ Fried y Jarden 2008, pág. 28
  12. ^ ab Fried y Jarden 2008, pág. 44
  13. ^ Romano 2007, pág. 102
  14. ^ por Isaacs 1994, pág. 389
  15. ^Ab Roman 2007, pág. 273
  16. ^ Cohn 2003, pág. 427
  17. ^ Lang 2002, pág. 228

Referencias