Modelo de Black-Scholes

Modelo matemático de los mercados financieros

El modelo Black–Scholes / ˌ b l æ k ˈ ʃ oʊ l z / ^[1] o modelo Black–Scholes–Merton es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contiene instrumentos de inversión derivados . A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica en el modelo, conocida como ecuación de Black–Scholes , se puede deducir la fórmula de Black–Scholes , que da una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único dado el riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con la tasa neutral al riesgo ). La ecuación y el modelo llevan el nombre de los economistas Fischer Black y Myron Scholes . Robert C. Merton , quien escribió por primera vez un artículo académico sobre el tema, a veces también se le atribuye el mérito.

El principio fundamental del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de una manera específica para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina " cobertura delta revisada continuamente " y es la base de estrategias de cobertura más complejas, como las que utilizan los bancos de inversión y los fondos de cobertura .

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes, por los participantes del mercado de opciones. ^{[2] : 751} Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que ha dado lugar a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y la gestión de riesgos. Los participantes del mercado utilizan con frecuencia los conocimientos del modelo, como lo ejemplifica la fórmula de Black-Scholes, a diferencia de los precios reales. Estos conocimientos incluyen límites sin arbitraje y precios neutrales al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que rige el precio de la opción, permite la fijación de precios utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene un único parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura media del activo subyacente, aunque sí se puede obtener a partir del precio de otras opciones. Como el valor de la opción (ya sea de venta o de compra) aumenta en este parámetro, se puede invertir para producir una " superficie de volatilidad " que luego se utiliza para calibrar otros modelos, por ejemplo, para los derivados OTC .

Historia

Los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, inventando así el argumento de neutralidad de riesgo . ^{[3] [4]} Basaron su pensamiento en el trabajo realizado previamente por investigadores de mercado y profesionales, incluidos Paul Samuelson , Louis Bachelier , Sheen Kassouf , Edward O. Thorp y Case Sprenkle . Black y Scholes intentaron entonces aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras, debido a la falta de gestión de riesgos en sus operaciones. En 1970, decidieron volver al entorno académico. ^[5] Después de tres años de esfuerzos, la fórmula, llamada así en honor a ellos por hacerla pública, finalmente se publicó en 1973 en un artículo titulado "La fijación de precios de las opciones y los pasivos corporativos", en el Journal of Political Economy . ^{[6] [7] [8]} Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de fijación de precios de opciones y acuñó el término " modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes ".

La fórmula provocó un auge en el comercio de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo. ^[9]

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía en 1997 por su trabajo; el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del título subyacente. ^[10] Aunque no era elegible para el premio debido a su muerte en 1995, Black fue mencionado como colaborador por la Academia Sueca . ^[11]

Hipótesis fundamentales

El modelo de Black-Scholes supone que el mercado consta de al menos un activo riesgoso, normalmente llamado acciones, y un activo sin riesgo, normalmente llamado mercado monetario , efectivo o bono .

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

• Tasa libre de riesgo: La tasa de rendimiento del activo libre de riesgo es constante y por lo tanto se denomina tasa de interés libre de riesgo .
• Caminata aleatoria: el retorno logarítmico instantáneo del precio de las acciones es una caminata aleatoria infinitesimal con deriva; más precisamente, el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico y se supone que la deriva y la volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad varían con el tiempo, se puede deducir una fórmula de Black-Scholes modificada adecuadamente, siempre que la volatilidad no sea aleatoria.
• La acción no paga dividendos . ^{[Nota 1]}

Los supuestos sobre el mercado son:

• No hay posibilidad de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener una ganancia sin riesgo).
• Capacidad de tomar prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a una tasa sin riesgo.
• Capacidad de comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de acciones (esto incluye ventas en corto ).
• Las transacciones anteriores no generan ningún tipo de tarifa o costo (es decir, mercado sin fricciones ).

Con estos supuestos, supongamos que existe un título derivado que también se negocia en este mercado. Se especifica que este título tendrá un cierto pago en una fecha específica en el futuro, dependiendo de los valores tomados por la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce la trayectoria que tomará el precio de la acción en el futuro, el precio del derivado puede determinarse en el momento actual. Para el caso especial de una opción europea de compra o venta, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta , consistente en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá del precio de la acción". ^[12] Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución está dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en posteriores ampliaciones del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), ^{[ cita requerida ]} los costos de transacción y los impuestos (Ingersoll, 1976), ^{[ cita requerida ]} y el pago de dividendos. ^[13]

Notación

La notación utilizada en el análisis del modelo de Black-Scholes se define de la siguiente manera (definiciones agrupadas por tema):

General y relacionado con el mercado:

${\displaystyle t}$es un tiempo en años; que generalmente representa el año actual. ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle r}$es la tasa de interés libre de riesgo anualizada , compuesta continuamente (también conocida como la fuerza del interés ).

Activos relacionados:

${\displaystyle S(t)}$es el precio del activo subyacente en el momento t , también denotado como . ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \mu }$es la tasa de deriva de , anualizada. ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar de los rendimientos de las acciones. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precios logarítmicos de las acciones, una medida de su volatilidad .

Opción relacionada:

${\displaystyle V(S,t)}$es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el momento t, en particular:

${\displaystyle C(S,t)}$es el precio de una opción de compra europea y

${\displaystyle P(S,t)}$es el precio de una opción de venta europea.

${\displaystyle T}$Es el momento de vencimiento de la opción.

${\displaystyle \tau }$es el tiempo hasta el vencimiento: . ${\displaystyle \tau =T-t}$

${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio de la opción, también conocido como precio de ejercicio.

${\displaystyle N(x)}$denota la función de distribución acumulativa normal estándar :

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$

${\displaystyle N'(x)}$denota la función de densidad de probabilidad normal estándar :

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Ecuación de Black-Scholes

Simulación de movimientos brownianos geométricos con parámetros de datos de mercado

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe el precio de la opción, donde es el precio del subyacente y es el tiempo: ${\displaystyle V(S,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

Una idea financiera clave que subyace a esta ecuación es que se puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de la cuenta bancaria (efectivo) de tal manera que se "elimine el riesgo". Esto implica que existe un precio único para la opción dado por la fórmula de Black-Scholes (véase la siguiente sección).

Fórmula de Black-Scholes

Opción call europea valorada mediante la ecuación de valoración de Black-Scholes para variar el precio del activo y el tiempo hasta el vencimiento . En este ejemplo en particular, el precio de ejercicio se establece en 1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de compra y venta europeas . Este precio es coherente con la ecuación de Black-Scholes. Esto se deduce de que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros Black-Scholes es:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$

El precio de una opción de venta correspondiente basada en la paridad put-call con factor de descuento es: ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,}$

Formulación alternativa

La introducción de variables auxiliares permite simplificar la fórmula y reformularla en una forma que puede ser más conveniente (este es un caso especial de la fórmula de Black '76 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$es el factor de descuento

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$es el precio a futuro del activo subyacente, y ${\displaystyle S=DF}$

Dada la paridad put-call, que se expresa en estos términos como:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

El precio de una opción de venta es:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

Interpretación

Es posible tener interpretaciones intuitivas de la fórmula de Black-Scholes, siendo la sutileza principal la interpretación de por qué hay dos términos diferentes. ^[14] ${\displaystyle d_{\pm }}$

La fórmula se puede interpretar descomponiendo primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias : una opción de compra con activo o nada menos una opción de compra con efectivo o nada (posición larga en una opción de compra con activo o nada, posición corta en una opción de compra con efectivo o nada). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra con activo o nada solo produce el activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra con efectivo o nada solo produce efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales a los valores de las opciones binarias de compra. Estas opciones binarias se negocian con menos frecuencia que las opciones de compra tradicionales, pero son más fáciles de analizar.

Así que la fórmula:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

se descompone como:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

donde es el valor actual de una opción de compra de activos o nada y es el valor actual de una opción de compra de efectivo o nada. El factor D es para descontar, porque la fecha de vencimiento es en el futuro y eliminarlo cambia el valor actual a valor futuro (valor al vencimiento). Por lo tanto, es el valor futuro de una opción de compra de activos o nada y es el valor futuro de una opción de compra de efectivo o nada. En términos neutrales al riesgo, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida neutral al riesgo. ${\displaystyle DN(d_{+})F}$ ${\displaystyle DN(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})~F}$ ${\displaystyle N(d_{-})~K}$

Una interpretación ingenua y ligeramente incorrecta de estos términos es que es la probabilidad de que la opción expire en el dinero , multiplicada por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras que es la probabilidad de que la opción expire en el dinero multiplicada por el valor del efectivo al vencimiento K. Esta interpretación es incorrecta porque o bien ambos binarios expiran en el dinero o ambos expiran fuera del dinero (se intercambia efectivo por el activo o no), pero las probabilidades y no son iguales. De hecho, pueden interpretarse como medidas de monetización (en desviaciones estándar) y como probabilidades de expirar ITM ( porcentaje de monetización ), en el numerario respectivo , como se analiza a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo, , es correcta, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del activo subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un simple producto de "probabilidad por valor", mientras que es más complicada, ya que la probabilidad de expirar en el dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. ^[14] Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo mismo (una cantidad fija del activo), y por lo tanto estas cantidades son independientes si uno cambia el numerario al activo en lugar del efectivo. ${\displaystyle N(d_{+})F}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{-}),}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\displaystyle N(d_{\pm })}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})F}$

Si se utiliza spot S en lugar de forward F, en lugar del término there is , que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral al riesgo para el numerario apropiado). El uso de d ₋ para moneyness en lugar de moneyness estandarizado  –en otras palabras, la razón del factor– se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal ; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico . Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que al reemplazar por en la fórmula se obtiene un valor negativo para las opciones de compra fuera del dinero. ^{[14] : 6} ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$

En detalle, los términos son las probabilidades de que la opción expire en el dinero según la medida de probabilidad martingala exponencial equivalente (numérico = acción) y la medida de probabilidad martingala equivalente (numérico = activo libre de riesgo), respectivamente. ^[14] La densidad de probabilidad neutral al riesgo para el precio de la acción es ${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$ ${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

donde se define como arriba. ${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$

En concreto, es la probabilidad de que se ejerza la opción de compra siempre que se asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. , sin embargo, no se presta a una interpretación de probabilidad simple. se interpreta correctamente como el valor actual, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento es superior al precio de ejercicio. ^[15] Para una discusión relacionada -y una representación gráfica- véase el método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales . ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle SN(d_{+})}$

La medida de probabilidad martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo . Nótese que ambas son probabilidades en un sentido teórico de medida , y ninguna de ellas es la probabilidad real de vencimiento en el dinero según la medida de probabilidad real . Para calcular la probabilidad según la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, equivalentemente, el precio de mercado del riesgo .

Derivaciones

Una derivación estándar para resolver la EPD de Black-Scholes se proporciona en el artículo Ecuación de Black-Scholes .

La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de EDP, cuando se descuenta apropiadamente, es en realidad una martingala . Por lo tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad de riesgo y se puede hacer sin conocimiento de EDP. ^[14] Nótese que la expectativa del pago de la opción no se realiza bajo la medida de probabilidad del mundo real , sino una medida artificial neutral al riesgo , que difiere de la medida del mundo real. Para la lógica subyacente, consulte la sección "Valoración neutral al riesgo" en Precios racionales , así como la sección "Precios de derivados: el mundo Q " en Finanzas matemáticas ; para más detalles, una vez más, consulte Hull . ^{[16] : 307–309}

Las opciones griegas

" Las griegas " miden la sensibilidad del valor de un producto derivado o de una cartera financiera a los cambios en los valores de los parámetros mientras se mantienen fijos los demás parámetros. Son derivadas parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Una griega, "gamma" (así como otras que no se enumeran aquí) es una derivada parcial de otra griega, "delta" en este caso.

Los griegos son importantes no sólo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para quienes comercian activamente. Las instituciones financieras suelen fijar valores límite (de riesgo) para cada uno de los griegos que sus operadores no deben superar. ^[17]

Delta es la variable griega más importante, ya que suele ser la que conlleva el mayor riesgo. Muchos operadores pondrán a cero su delta al final del día si no están especulando sobre la dirección del mercado y siguen un enfoque de cobertura neutral respecto del delta, tal como lo define Black-Scholes. Cuando un operador busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, también puede intentar neutralizar la gamma de la cartera , ya que esto garantizará que la cobertura sea efectiva en un rango más amplio de movimientos de precios subyacentes.

A continuación se dan las fórmulas griegas de Black-Scholes en forma cerrada . Se pueden obtener mediante la diferenciación de la fórmula de Black-Scholes.

Nótese que, a partir de las fórmulas, resulta claro que el valor gamma es el mismo para las opciones call y put, y que el valor vega también es el mismo para las opciones call y put. Esto se puede ver directamente a partir de la paridad put-call , ya que la diferencia entre una opción put y una opción call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo que un forward tiene cero gamma y cero vega). N' es la función de densidad de probabilidad normal estándar.

En la práctica, algunas sensibilidades suelen cotizarse en términos reducidos, para que coincidan con la escala de los cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, rho suele informarse dividido por 10.000 (cambio de tasa de 1 punto básico), vega por 100 (cambio de punto de volumen de 1) y theta por 365 o 252 (disminución de 1 día basada en días calendario o días de negociación por año).

Téngase en cuenta que "Vega" no es una letra del alfabeto griego; el nombre surge de una lectura errónea de la letra griega nu (traducida de diversas formas como , ν y ν) como una V. ${\displaystyle \nu }$

Extensiones del modelo

El modelo anterior se puede ampliar para tipos y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también se puede utilizar para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, se dispone de soluciones de forma cerrada si el dividendo es una proporción conocida del precio de la acción. Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (en el corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y se dispone de una variedad de técnicas de solución (por ejemplo, retículas y cuadrículas ).

Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuo

En el caso de las opciones sobre índices, es razonable hacer la suposición simplificadora de que los dividendos se pagan de forma continua y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendos abonado durante el período de tiempo se modela entonces de la siguiente manera: ${\displaystyle [t,t+dt]}$

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

para alguna constante (el rendimiento del dividendo ). ${\displaystyle q}$

Bajo esta formulación se puede demostrar que el precio libre de arbitraje implícito en el modelo de Black-Scholes es:

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

y

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

¿Dónde ahora?

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

es el precio forward modificado que se presenta en los términos : ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

y

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$. ^[18]

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos

También es posible extender el marco de Black-Scholes a las opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto resulta útil cuando la opción se ejecuta sobre una sola acción.

Un modelo típico es suponer que una proporción del precio de las acciones se paga en momentos predeterminados . El precio de las acciones se modela entonces de la siguiente manera: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

donde es el número de dividendos que se han pagado hasta el momento . ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$

El precio de una opción de compra sobre dichas acciones es nuevamente:

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

¿Dónde ahora?

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

Es el precio a futuro de las acciones que pagan dividendos.

Opciones americanas

El problema de hallar el precio de una opción americana está relacionado con el problema de parada óptima de hallar el momento de ejecutar la opción. Como la opción americana puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[19]

junto con donde denota el pago al precio de la acción y la condición terminal: . ${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$ ${\displaystyle H(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$

En general, esta desigualdad no tiene una solución en forma cerrada, aunque una opción de compra americana sin dividendos es igual a una opción de compra europea y el método Roll–Geske–Whaley proporciona una solución para una opción de compra americana con un dividendo; ^{[20] [21]} véase también la aproximación de Black .

Barone-Adesi y Whaley ^[22] presentan otra fórmula de aproximación. En ella, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima de ejercicio anticipado. Con algunas suposiciones, se obtiene una ecuación cuadrática que aproxima la solución para esta última. Esta solución implica encontrar el valor crítico , , de modo que uno sea indiferente entre el ejercicio anticipado y la tenencia hasta el vencimiento. ^{[23] [24]} ${\displaystyle s*}$

Bjerksund y Stensland ^[25] ofrecen una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. En este caso, si el precio del activo subyacente es mayor o igual al precio de activación, es óptimo ejercerlo, y el valor debe ser igual a ; de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción de compra europea con vencimiento al alza ... y (ii) un reembolso que se recibe en la fecha de vencimiento si la opción se vence antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se puede modificar fácilmente para la valoración de una opción de venta, utilizando la paridad put-call . Esta aproximación es computacionalmente económica y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa para fijar el precio de opciones a largo plazo que Barone-Adesi y Whaley. ^[26] ${\displaystyle S-X}$

Put perpetuo

A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones de venta estadounidenses, es posible derivar dicha fórmula para el caso de una opción perpetua, lo que significa que la opción nunca vence (es decir, ). ^[27] En este caso, la descomposición temporal de la opción es igual a cero, lo que lleva a que la EDP de Black-Scholes se convierta en una EDO: Sea el límite de ejercicio inferior, por debajo del cual es óptimo ejercer la opción. Las condiciones de contorno son: Las soluciones de la EDO son una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes cualesquiera: Para , la sustitución de esta solución en la EDO para produce: Reordenando los términos da: Usando la fórmula cuadrática , las soluciones para son: Para tener una solución finita para la opción de venta perpetua, dado que las condiciones de contorno implican límites finitos superior e inferior en el valor de la opción de venta, es necesario establecer , lo que lleva a la solución . De la primera condición de contorno, se sabe que: Por lo tanto, el valor de la opción put perpetua se convierte en: La segunda condición de contorno da como resultado la ubicación del límite de ejercicio inferior: Para concluir, para , la opción put americana perpetua vale: ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0}$$ ${\displaystyle S_{-}}$ $${\displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K}$$ $${\displaystyle V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$ ${\displaystyle S_{-}\leq S}$ ${\displaystyle i={1,2}}$ $${\displaystyle \left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0}$$ $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{1}=0}$ ${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$ $${\displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}}$$ $${\displaystyle V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}}$$ $${\displaystyle V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$ ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$ $${\displaystyle V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}}$$

Opciones binarias

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes con la función de Heaviside como condición de contorno, se obtiene un precio de opciones que paga una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo. ^[28]

De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra (o de venta) convencional se puede interpretar descomponiendo una opción de compra en una opción de compra con activo o nada menos una opción de compra con efectivo o nada, y lo mismo para una opción de venta: las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos de la fórmula de Black-Scholes.

Llamada de efectivo o nada

Paga una unidad de efectivo si el precio al contado es superior al precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

Opción de venta en efectivo o nada

Paga una unidad de efectivo si el precio al contado es inferior al precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

Llamada de activos o nada

Paga una unidad de activo si el precio spot es superior al precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

Opción de venta con opción de activo o nada

Paga una unidad de activo si el precio spot está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

Divisas (FX)

Si se denota por S el tipo de cambio FOR/DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional), se puede observar que pagar 1 unidad de moneda nacional si el precio al contado al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como pagar una opción de compra o venta en efectivo o nada, respectivamente. De manera similar, pagar 1 unidad de moneda extranjera si el precio al contado al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como pagar una opción de compra o venta en activo o nada, respectivamente. Por lo tanto, tomando , la tasa de interés extranjera, , la tasa de interés nacional y el resto como se indicó anteriormente, se pueden obtener los siguientes resultados: ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle r_{d}}$

En el caso de una opción call digital (se trata de una opción call FOR/put DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor actual:

${\displaystyle C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,}$

En el caso de una opción put digital (se trata de una opción put FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor actual:

${\displaystyle P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,}$

En el caso de una opción call digital (se trata de una opción call FOR/put DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor actual:

${\displaystyle C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,}$

En el caso de una opción put digital (se trata de una opción put FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor actual:

${\displaystyle P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,}$

Sesgar

En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en el dinero * unidad, descontada al valor actual. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora la asimetría de la distribución del activo. Los creadores de mercado ajustan dicha asimetría, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente en todos los precios de ejercicio, incorporando una variable donde la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así la asimetría de la volatilidad en cuenta. La asimetría es importante porque afecta a la opción binaria considerablemente más que a las opciones regulares. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (K)}$

Una opción de compra binaria es, en vencimientos largos, similar a un diferencial de compra ajustado que utiliza dos opciones tradicionales. Se puede modelar el valor de una opción binaria de pago en efectivo o nada, C , en el precio de ejercicio K , como un diferencial infinitesimalmente ajustado, donde es una opción de compra europea tradicional: ^{[29] [30]} ${\displaystyle C_{v}}$

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$

Por lo tanto, el valor de un call binario es el negativo de la derivada del precio de un call vanilla con respecto al precio de ejercicio:

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

Cuando se toma en cuenta la asimetría de la volatilidad, es una función de : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando la asimetría:

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$es la vega de la opción de compra de vainilla; a veces se la denomina "pendiente de sesgo" o simplemente "sesgo". Si el sesgo es normalmente negativo, el valor de una opción de compra binaria será mayor al tener en cuenta el sesgo. ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$

Relación con las opciones de vainilla griegas

Dado que una opción de compra binaria es una derivada matemática de una opción de compra vanilla con respecto al precio de ejercicio, el precio de una opción de compra binaria tiene la misma forma que el delta de una opción de compra vanilla, y el delta de una opción de compra binaria tiene la misma forma que el gamma de una opción de compra vanilla.

Black-Scholes en la práctica

El supuesto de normalidad del modelo de Black-Scholes no captura movimientos extremos como las caídas del mercado de valores .

No todas las hipótesis del modelo de Black-Scholes son válidas empíricamente. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero su aplicación adecuada exige comprender sus limitaciones: seguirlo ciegamente expone al usuario a riesgos inesperados. ^{[31] [ ¿ Fuente poco fiable? ]} Entre las limitaciones más importantes se encuentran:

• la subestimación de movimientos extremos, lo que genera un riesgo de cola , que puede cubrirse con opciones fuera del dinero ;
• la suposición de un comercio instantáneo y sin costes, lo que implica un riesgo de liquidez que es difícil de cubrir;
• la suposición de un proceso estacionario, que produce riesgo de volatilidad , que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
• la suposición de tiempo continuo y comercio continuo, lo que genera un riesgo de brecha, que puede cubrirse con cobertura Gamma;
• El modelo tiende a subvalorar las opciones muy fuera del dinero y a sobrevalorar las opciones muy dentro del dinero. ^[32]

En resumen, si bien en el modelo Black-Scholes se pueden cubrir perfectamente las opciones simplemente mediante la cobertura delta , en la práctica hay muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados obtenidos con el modelo Black-Scholes difieren de los precios reales debido a los supuestos simplificadores del modelo. Una limitación importante es que, en la realidad, los precios de los títulos no siguen un proceso log-normal estacionario estricto , ni se conoce realmente el tipo de interés libre de riesgo (y no es constante a lo largo del tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar los cambios de volatilidad. Hace tiempo que se observan discrepancias de precios entre el modelo empírico y el modelo Black-Scholes en opciones que están muy fuera del dinero , lo que corresponde a cambios extremos de precios; tales eventos serían muy raros si los rendimientos se distribuyeran log-normalmente, pero se observan con mucha más frecuencia en la práctica.

Sin embargo, la fijación de precios de Black-Scholes se utiliza ampliamente en la práctica, ^{[2] : 751  [33]} porque es:

• Fácil de calcular
• una aproximación útil, particularmente cuando se analiza la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
• Una base sólida para modelos más refinados
• reversible, ya que la salida original del modelo, el precio, se puede usar como entrada y una de las otras variables se puede resolver; la volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como una convención de cotización ).

El primer punto es evidentemente útil. Los demás pueden analizarse más a fondo:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo suelen ser útiles para establecer coberturas en las proporciones adecuadas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden realizar ajustes.

Base para modelos más refinados: El modelo Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para hacer frente a algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, se los considera como variables y, por lo tanto, como fuentes adicionales de riesgo. Esto se refleja en las griegas (el cambio en el valor de la opción ante un cambio en estos parámetros, o equivalentemente, las derivadas parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estas griegas mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan en cambio fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de estrés .

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de suponer una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede utilizar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio determinados. Al resolver la volatilidad sobre un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita . En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, se obtiene una transformación de coordenadas del dominio de precios al dominio de volatilidad . En lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar a través de precios de ejercicio, duraciones y frecuencias de cupones), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a la negociación de volatilidad en los mercados de opciones.

La sonrisa de la volatilidad

Una de las características atractivas del modelo Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el plazo hasta el vencimiento, el precio de ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función creciente monótona de la volatilidad implícita.

Calculando la volatilidad implícita de las opciones negociadas con diferentes precios de ejercicio y vencimientos, se puede poner a prueba el modelo Black-Scholes. Si el modelo Black-Scholes fuera válido, la volatilidad implícita de una acción en particular sería la misma para todos los precios de ejercicio y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico 3D de la volatilidad implícita en función del precio de ejercicio y el vencimiento) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento determinado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas asimétricas: en comparación con los precios de ejercicio bajos , la volatilidad implícita es sustancialmente mayor para los precios de ejercicio altos y ligeramente menor para los precios de ejercicio altos. Las divisas tienden a tener curvas más simétricas, con una volatilidad implícita más baja en los precios de ejercicio bajos y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen un comportamiento inverso al de las acciones, con una volatilidad implícita más alta para los precios de ejercicio más altos.

A pesar de la existencia de la sonrisa de volatilidad (y la violación de todos los demás supuestos del modelo de Black-Scholes), la PDE de Black-Scholes y la fórmula de Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado y utilizar una volatilidad implícita de ella en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como utilizar "el número equivocado en la fórmula equivocada para obtener el precio correcto". ^[34] Este enfoque también proporciona valores utilizables para los ratios de cobertura (los griegos). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, strikes, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas .

Valoración de opciones sobre bonos

El modelo Black–Scholes no se puede aplicar directamente a los bonos debido al pull-to-par . A medida que el bono llega a su fecha de vencimiento, todos los precios relacionados con el bono se conocen, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo Black–Scholes simple no refleja este proceso. Se han utilizado una gran cantidad de extensiones de Black–Scholes, comenzando con el modelo Black , para abordar este fenómeno. ^[35] Véase Opción sobre bonos § Valoración .

Curva de tipos de interés

En la práctica, las tasas de interés no son constantes, sino que varían según el plazo (frecuencia de los cupones), lo que da como resultado una curva de tasas de interés que puede interpolarse para elegir una tasa adecuada para utilizar en la fórmula de Black-Scholes. Otro factor a tener en cuenta es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos, que es inversamente proporcional.

Tasa de acciones corta

La toma de posiciones cortas en acciones , como es inherente a la derivación, no suele estar libre de costos; de manera equivalente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña comisión . En cualquier caso, esto puede considerarse un dividendo continuo a los efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no haya una asimetría evidente entre el costo de endeudamiento de acciones a corto plazo y el ingreso por el préstamo de acciones a largo plazo. ^{[ cita requerida ]}

Críticas y comentarios

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb sostienen que el modelo Black-Scholes simplemente reformula modelos existentes ampliamente utilizados en términos de una "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante . ^[36] También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "en realidad idéntica" a la ecuación de valoración de opciones de compra de Black-Scholes. ^[37] Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula de Black-Scholes en 1967, pero se la guardó para sí mismo para ganar dinero para sus inversores. ^[38] Emanuel Derman y Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían propuesto modelos similares antes de Black y Scholes. ^[39] En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo. ^{[33] [40]}

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway , Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares de las opciones, produce resultados extraños cuando se valora la variedad a largo plazo... La fórmula Black-Scholes se ha acercado al estatus de escritura sagrada en finanzas... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos de tiempo prolongados, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes casi con certeza entendieron bien este punto. Pero sus seguidores devotos pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres pusieron cuando revelaron por primera vez la fórmula". ^[41]

El matemático británico Ian Stewart , autor del libro de 2012 titulado In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World , ^{[42] [43]} dijo que Black-Scholes había "apuntalado un crecimiento económico masivo" y que el "sistema financiero internacional estaba negociando derivados valorados en un cuatrillón de dólares por año" en 2007. Dijo que la ecuación de Black-Scholes era la "justificación matemática para el comercio" y, por lo tanto, "un ingrediente en un rico guiso de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa" que contribuyó a la crisis financiera de 2007-08 . ^[44] Aclaró que "la ecuación en sí no era el problema real", sino su abuso en la industria financiera. ^[44]

El modelo de Black-Scholes supone precios subyacentes positivos; si el subyacente tiene un precio negativo , el modelo no funciona directamente. ^{[45] [46]} Cuando se trabaja con opciones cuyo subyacente puede volverse negativo, los profesionales pueden utilizar un modelo diferente, como el modelo de Bachelier ^{[46] [47]} o simplemente agregar una compensación constante a los precios.

Véase también

• Modelo de opciones binomiales , un método numérico discreto para calcular los precios de las opciones
• Modelo Black , una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes
• Black Shoals , una obra de arte financiera
• Modelo browniano de los mercados financieros
• Método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales
• Matemáticas financieras (contiene una lista de artículos relacionados)
• Método de pago difuso para la valoración de opciones reales
• Ecuación del calor , en la que se puede transformar la EDP de Black-Scholes
• Difusión de salto
• Modelo de opciones de Monte Carlo , utilizando simulación en la valoración de opciones con características complicadas
• Análisis de opciones reales
• Volatilidad estocástica

Notas

1. Aunque el modelo original no suponía dividendos, extensiones triviales del modelo pueden incorporar un factor de rendimiento de dividendos continuo.

Referencias

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Referencias primarias

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Aspectos históricos y sociológicos

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• Thorp, Ed. "Un hombre para todos los mercados" Random House, 2017. ISBN 978-1-4000-6796-1 

Lectura adicional

• Haug, E. G (2007). "Valoración de opciones y cobertura de la teoría a la práctica". Derivados: modelos sobre modelos . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9.El libro ofrece una serie de referencias históricas que respaldan la teoría de que los operadores de opciones utilizan principios de cobertura y fijación de precios mucho más sólidos que el modelo de Black, Scholes y Merton.
• Triana, Pablo (2009). Dando lecciones a los pájaros sobre el vuelo: ¿pueden las teorías matemáticas destruir los mercados financieros? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5.El libro analiza críticamente el modelo de Black, Scholes y Merton.

Enlaces externos

Discusión del modelo

• Ajay Shah. Black, Merton y Scholes: su trabajo y sus consecuencias. Economic and Political Weekly, XXXII(52):3337–3342, diciembre de 1997
• La ecuación matemática que provocó la quiebra de los bancos, por Ian Stewart en The Observer , 12 de febrero de 2012
• Cuando no es posible cubrirse continuamente: las correcciones a Black-Scholes, Emanuel Derman

Derivación y solución

• Solución de la ecuación de Black-Scholes mediante la función de Green, Prof. Dennis Silverman
• La ecuación de Black-Scholes Artículo expositivo del matemático Terence Tao .

Implementaciones informáticas

• Black–Scholes en varios idiomas
• Black–Scholes en Java -pasando al enlace de abajo-
• Black-Scholes en Java
• Modelo de fijación de precios de opciones de Chicago (versión gráfica)
• Modelo de superficie de volatilidad implícita de Black-Scholes-Merton (Java)
• Calculadora Black-Scholes en línea

Histórico

• Trillion Dollar Bet (La apuesta de un billón de dólares)—Sitio web complementario de un episodio de Nova emitido originalmente el 8 de febrero de 2000. "La película cuenta la fascinante historia de la invención de la fórmula Black-Scholes, un Santo Grial matemático que alteró para siempre el mundo de las finanzas y le valió a sus creadores el Premio Nobel de Economía en 1997".
• BBC Horizon Un programa de televisión sobre la llamada fórmula Midas y la quiebra de Long-Term Capital Management (LTCM)
• Revista BBC News Magazine Black–Scholes: La fórmula matemática vinculada a la crisis financiera (artículo del 27 de abril de 2012)