Fórmula de suma de velocidades

Ecuación utilizada en física relativista.

La teoría especial de la relatividad, formulada en 1905 por Albert Einstein , implica que la suma de velocidades no se comporta de acuerdo con la simple suma de vectores .

En física relativista , una fórmula de suma de velocidades es una ecuación que especifica cómo combinar las velocidades de los objetos de una manera que sea consistente con el requisito de que la velocidad de ningún objeto puede exceder la velocidad de la luz . Este tipo de fórmulas se aplican a transformaciones de Lorentz sucesivas , por lo que también relacionan diferentes marcos. La adición de velocidad que lo acompaña es un efecto cinemático conocido como precesión de Thomas , mediante el cual los sucesivos impulsos de Lorentz no colineales se vuelven equivalentes a la composición de una rotación del sistema de coordenadas y un impulso.

Las aplicaciones estándar de las fórmulas de suma de velocidades incluyen el desplazamiento Doppler , la navegación Doppler , la aberración de la luz y el arrastre de la luz en el agua en movimiento observado en el experimento de Fizeau de 1851 . ^[1]

La notación emplea u como velocidad de un cuerpo dentro de un marco de Lorentz S , y v como velocidad de un segundo marco S ′ , medida en S , y u ′ como la velocidad transformada del cuerpo dentro del segundo marco.

Historia

La velocidad de la luz en un fluido es más lenta que la velocidad de la luz en el vacío y cambia si el fluido se mueve junto con la luz. En 1851, Fizeau midió la velocidad de la luz en un fluido que se movía paralelo a la luz utilizando un interferómetro . Los resultados de Fizeau no estaban de acuerdo con las teorías predominantes en ese momento. Fizeau determinó experimentalmente correctamente el término cero de una expansión de la ley de la suma relativistamente correcta en términos de V ⁄ c como se describe a continuación. El resultado de Fizeau llevó a los físicos a aceptar la validez empírica de la teoría bastante insatisfactoria de Fresnel de que un fluido que se mueve con respecto al éter estacionario arrastra parcialmente la luz consigo, es decir, la velocidad es c ⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V. de c ⁄ n + V , donde c es la velocidad de la luz en el éter, n es el índice de refracción del fluido y V es la velocidad del fluido con respecto al éter.

La aberración de la luz , cuya explicación más sencilla es la fórmula relativista de la suma de velocidades, junto con el resultado de Fizeau, desencadenaron el desarrollo de teorías como la teoría del electromagnetismo del éter de Lorentz en 1892. En 1905, Albert Einstein , con el advenimiento de la relatividad especial , derivó la Fórmula de configuración estándar ( V en la dirección x ) para la suma de velocidades relativistas. ^[2] Las cuestiones relacionadas con el éter se fueron resolviendo gradualmente a lo largo de los años a favor de la relatividad especial.

relatividad galileana

Galileo observó que una persona a bordo de un barco que se mueve uniformemente tiene la impresión de estar en reposo y ve un cuerpo pesado que cae verticalmente hacia abajo. ^[3] Esta observación se considera ahora como la primera declaración clara del principio de la relatividad mecánica. Galileo vio que, desde el punto de vista de una persona parada en la orilla, el movimiento de caer hacia abajo sobre el barco se combinaría con el movimiento hacia adelante del barco, o se sumaría a él. ^[4] En términos de velocidades, se puede decir que la velocidad del cuerpo que cae con respecto a la costa es igual a la velocidad de ese cuerpo con respecto al barco más la velocidad del barco con respecto a la costa.

En general, para tres objetos A (por ejemplo, Galileo en la costa), B (por ejemplo, un barco), C (por ejemplo, un cuerpo que cae en un barco), el vector de velocidad de C con respecto a A (velocidad del objeto que cae como lo ve Galileo) es la suma de la velocidad de C con respecto a B (velocidad del objeto que cae con respecto al barco) más la velocidad v de B con respecto a A (velocidad del barco alejándose de la costa). La suma aquí es la suma vectorial del álgebra vectorial y la velocidad resultante generalmente se representa en la forma ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}$$

El cosmos de Galileo se compone de espacio y tiempo absolutos y la suma de velocidades corresponde a la composición de las transformaciones galileanas . El principio de la relatividad se llama relatividad galileana . Es obedecido por la mecánica newtoniana .

Relatividad especial

Según la teoría de la relatividad especial , la estructura del barco tiene una frecuencia de reloj y una medida de distancia diferentes, y la noción de simultaneidad en la dirección del movimiento se altera, por lo que se cambia la ley de la suma de velocidades. Este cambio no se nota a bajas velocidades, pero a medida que la velocidad aumenta hacia la velocidad de la luz se vuelve importante. La ley de la suma también se llama ley de composición de velocidades . Para movimientos colineales, la velocidad del objeto (por ejemplo, una bala de cañón disparada horizontalmente hacia el mar) medida desde el barco la mediría alguien parado en la orilla y observando toda la escena a través de un telescopio como ^[5]

$${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$$

^[6]

$${\displaystyle {c-u \over c+u}=\left({c-u' \over c+u'}\right)\left({c-v \over c+v}\right).}$$

el espacio-tiempo de Minkowskilas transformaciones de Lorentzmecánica relativista

Configuración estándar

Las fórmulas para los impulsos en la configuración estándar se derivan más directamente de tomar diferenciales del impulso de Lorentz inverso en la configuración estándar. ^{[7] [8]} Si el marco preparado viaja con velocidad con el factor de Lorentz en la dirección x positiva en relación con el marco no preparado, entonces los diferenciales son ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$${\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}$$

Divide las tres primeras ecuaciones por la cuarta,

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},}$$

o

$${\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}$$

cual es

Transformación de velocidad ( componentes cartesianas )

$${\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\displaystyle u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\displaystyle u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

en el que las expresiones para las velocidades preparadas se obtuvieron utilizando la receta estándar reemplazando v por –v e intercambiando coordenadas preparadas y no preparadas. Si se eligen las coordenadas de modo que todas las velocidades se encuentren en un plano (común) x – y , entonces las velocidades se pueden expresar como

$${\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',}$$

coordenadas polares^{[2] [9]}

Transformación de velocidad ( Componentes polares del plano )

$${\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}$$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}$

Detalles para ti

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}}$$

---

La prueba tal como se presenta es muy formal. Hay otras pruebas más complicadas que pueden resultar más esclarecedoras, como la siguiente.

Una prueba utilizando 4 vectores y matrices de transformación de Lorentz.

Dado que una transformación relativista rota el espacio y el tiempo entre sí de manera similar a como las rotaciones geométricas en el plano rotan los ejes x e y , es conveniente usar las mismas unidades para el espacio y el tiempo; de lo contrario, aparece un factor de conversión de unidades en todas las fórmulas relativistas. siendo la velocidad de la luz . En un sistema donde las longitudes y los tiempos se miden en las mismas unidades, la velocidad de la luz no tiene dimensiones y es igual a 1 . Luego, una velocidad se expresa como fracción de la velocidad de la luz.

Para encontrar la ley de transformación relativista, es útil introducir las cuatro velocidades V = ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , que es el movimiento del barco alejándose de la costa, medido desde la orilla, y U ′ = ( U′ ₀ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) que es el movimiento de la mosca alejándose del barco, medido desde el barco. La velocidad de cuatro se define como un vector de cuatro con una longitud relativista igual a 1 , dirigido al futuro y tangente a la línea mundial del objeto en el espacio-tiempo. Aquí, V ₀ corresponde a la componente de tiempo y V ₁ a la componente x de la velocidad del barco visto desde la costa. Es conveniente tomar el eje x como la dirección del movimiento del barco alejándose de la costa, y el eje y de modo que el plano x – y sea el plano abarcado por el movimiento del barco y la mosca. Esto da como resultado que varios componentes de las velocidades sean cero: V ₂ = V ₃ = U′ ₃ = 0

La velocidad ordinaria es la relación entre la velocidad a la que aumentan las coordenadas espaciales y la velocidad a la que aumentan las coordenadas temporales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}}$$

Dado que la longitud relativista de V es 1 ,

$${\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,}$$

entonces

$${\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}$$

La matriz de transformación de Lorentz que convierte velocidades medidas en el marco del barco al marco de la costa es la inversa de la transformación descrita en la página de transformación de Lorentz , por lo que los signos menos que aparecen allí deben invertirse aquí:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Esta matriz rota el vector puro del eje del tiempo (1, 0, 0, 0) a ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) y todas sus columnas son relativistas ortogonales entre sí, por lo que define una transformación de Lorentz.

Si una mosca se mueve con cuatro velocidades U′ en el marco del barco, y se impulsa multiplicando por la matriz anterior, la nueva cuatro velocidades en el marco de la costa es U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}}$$

Dividiendo por la componente de tiempo U ₀ y sustituyendo las componentes de los cuatro vectores U′ y V en términos de las componentes de los tres vectores u′ y v se obtiene la ley de composición relativista como

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}}$$

La forma de la ley de composición relativista puede entenderse como un efecto del fracaso de la simultaneidad a distancia. Para el componente paralelo, la dilatación del tiempo disminuye la velocidad, la contracción de la longitud la aumenta y los dos efectos se cancelan. La falla de la simultaneidad significa que la mosca está cambiando porciones de simultaneidad como la proyección de u′ sobre v . Dado que este efecto se debe enteramente a la división del tiempo, el mismo factor multiplica la componente perpendicular, pero para la componente perpendicular no hay contracción de longitud, por lo que la dilatación del tiempo se multiplica por un factor de 1 ⁄ V ₀ = √ (1 − v ₁ ² ) .

Configuración general

Descomposición de u de 3 velocidades en componentes paralelas y perpendiculares, y cálculo de las componentes. El procedimiento para u ′ es idéntico.

A partir de la expresión en coordenadas para v paralela al eje x , las expresiones para los componentes perpendiculares y paralelos se pueden convertir en forma vectorial de la siguiente manera, un truco que también funciona para las transformaciones de Lorentz de otras cantidades físicas 3D originalmente en la configuración estándar. . Introduzca el vector de velocidad u en el marco no preparado y u ′ en el marco preparado, y divídalos en componentes paralelos (∥) y perpendiculares (⊥) al vector de velocidad relativa v (consulte el cuadro oculto a continuación), de esta manera

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },}$$

luego, con los vectores de base estándar cartesianose _x , e _y , e _z

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}$$

·producto escalarvcualquiervectores

Se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}$$

donde α _v = 1/ γ _v es el recíproco del factor de Lorentz . El orden de los operandos en la definición se elige para que coincida con el de la configuración estándar de la que se deriva la fórmula.

el álgebra

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}$$

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Descomposición en componentes paralelas y perpendiculares en términos de V

Es necesario encontrar la componente paralela o perpendicular de cada vector, ya que la otra componente se eliminará mediante la sustitución de los vectores completos.

La componente paralela de u ′ se puede encontrar proyectando el vector completo en la dirección del movimiento relativo

$${\displaystyle \mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,}$$

y la componente perpendicular de u' ′ se puede encontrar mediante las propiedades geométricas del producto cruz (ver figura arriba a la derecha),

$${\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.}$$

En cada caso, v / v es un vector unitario en la dirección del movimiento relativo.

Las expresiones para u _|| y u _⊥ se puede encontrar de la misma manera. Sustituyendo el componente paralelo en

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},}$$

da como resultado la ecuación anterior. ^[10]

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Usando una identidad en y , ^{[11] [nb 1]} ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle \gamma _{v}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}$$

y en la dirección hacia adelante (v positiva, S → S')

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}$$

donde la última expresión es mediante la fórmula estándar de análisis vectorial v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u . La primera expresión se extiende a cualquier número de dimensiones espaciales, pero el producto cruzado se define sólo en tres dimensiones. Los objetos A , B , C, donde B tiene velocidad v con respecto a A y C tiene velocidad u con respecto a A , pueden ser cualquier cosa. En particular, pueden ser tres cuadros, o podrían ser el laboratorio, una partícula en descomposición y uno de los productos de desintegración de la partícula en descomposición.

Propiedades

La suma relativista de 3 velocidades no es lineal , por lo que en general

$${\displaystyle (\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

el número real λ

$${\displaystyle (-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

Además, debido a los últimos términos, en general no es conmutativo.

$${\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,}$$

asociativo

$${\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}$$

Merece una mención especial que si u y v′ se refieren a velocidades de marcos paralelos por pares (paralelos preparados a los no preparados y doblemente preparados paralelos a los preparados), entonces, de acuerdo con el principio de reciprocidad de velocidades de Einstein, el marco no preparado se mueve con velocidad − u relativa a la marco preparado, y el marco preparado se mueve con velocidad − v′ en relación con el marco doblemente preparado, por lo tanto (− v′ ⊕ − u ) es la velocidad del marco no preparado en relación con el marco doblemente preparado, y uno podría esperar tener u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) por aplicación ingenua del principio de reciprocidad. Esto no es cierto, aunque las magnitudes son iguales. Los fotogramas sin imprimación y doblemente imprimados no son paralelos, sino que están relacionados mediante una rotación. Esto está relacionado con el fenómeno de la precesión de Tomás y no se trata más aquí.

Las normas están dadas por ^[12]

$${\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

$${\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}$$

Fórmula inversa encontrada utilizando el procedimiento estándar de intercambiar v por -v y u por u′ .

Está claro que la no conmutatividad se manifiesta como una rotación adicional del sistema de coordenadas cuando se trata de dos impulsos, ya que la norma al cuadrado es la misma para ambos órdenes de impulsos.

Los factores gamma para las velocidades combinadas se calculan como

$${\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$$

Prueba detallada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

Fórmula inversa encontrada utilizando el procedimiento estándar de intercambiar v por − v y u por u′ .

Convenciones de notación

Las notaciones y convenciones para la suma de velocidades varían de un autor a otro. Se pueden usar diferentes símbolos para la operación, o para las velocidades involucradas, y los operandos se pueden cambiar para la misma expresión, o los símbolos se pueden cambiar para la misma velocidad. También se puede utilizar un símbolo completamente independiente para la velocidad transformada, en lugar del símbolo primo utilizado aquí. Dado que la suma de velocidades no es conmutativa, no se pueden cambiar los operandos o símbolos sin cambiar el resultado.

Ejemplos de notación alternativa incluyen:

Sin operando específico

Landau y Lifshitz (2002) (usando unidades donde c = 1)

$${\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}$$

Ordenamiento de operandos de izquierda a derecha

Mocanú (1992)

$${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Ungar (1988)

$${\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Ordenamiento de operandos de derecha a izquierda

Sexl y Urbantke (2001)

$${\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}$$

Aplicaciones

A continuación se detallan algunas aplicaciones clásicas de las fórmulas de suma de velocidades, al desplazamiento Doppler, a la aberración de la luz y al arrastre de la luz en el agua en movimiento, que producen expresiones relativistas válidas para estos fenómenos. También es posible utilizar la fórmula de suma de velocidades, asumiendo la conservación del impulso (apelando a la invariancia rotacional ordinaria), la forma correcta de la parte de 3 vectores del impulso de cuatro vectores , sin recurrir al electromagnetismo, o a priori desconocido ser versiones relativistas válidas del formalismo lagrangiano . Se trata de que un experimentador rebote bolas de billar relativistas entre sí. Esto no se detalla aquí, pero consulte como referencia Lewis & Tolman (1909) versión Wikisource (fuente principal) y Sard (1970, Sección 3.2).

experimento de fizeau

Hippolyte Fizeau (1819-1896), físico francés, fue en 1851 el primero en medir la velocidad de la luz en el agua corriente.

_{Cuando la luz se propaga en un medio, su velocidad se reduce, en el sistema de} reposo del medio, a cm = c ⁄ n _m , donde n _m es el índice de refracción del medio m . La velocidad de la luz en un medio que se mueve uniformemente con velocidad V en la dirección x positiva , medida en el marco del laboratorio, viene dada directamente por las fórmulas de suma de velocidades. Para la dirección de avance (configuración estándar, índice de caída m en n ) se obtiene, ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Recolectar explícitamente las mayores contribuciones,

$${\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).}$$

Fizeau^{[14] [15]}

Aberración de la luz

Otra aplicación básica es considerar la desviación de la luz, es decir, el cambio de su dirección, al transformarse a un nuevo sistema de referencia con ejes paralelos, lo que se denomina aberración de la luz . En este caso, v ′ = v = c , y la inserción en la fórmula para tan θ produce

$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}$$

Para este caso también se puede calcular sen θ y cos θ a partir de las fórmulas estándar, ^[16]

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

Trigonometría

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}$$

---

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

James Bradley (1693-1762) FRS , proporcionó una explicación de la aberración de la luz correcta en el nivel clásico, ^[17] en desacuerdo con las teorías posteriores que prevalecieron en el siglo XIX basadas en la existencia del éter .

las manipulaciones trigonométricas son esencialmente idénticas en el caso cos a las manipulaciones en el caso sin . Considere la diferencia,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}}$$

v ⁄ c

$${\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',}$$

porque1/2( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, pecado1/2( θ − θ ′) ≈1/2( θ − θ ′)

Así la cantidad

$${\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}$$

ángulo de aberración clásicoV ⁄ c → 0

Desplazamiento Doppler relativista

Christian Doppler (1803-1853) fue un matemático y físico austríaco que descubrió que la frecuencia observada de una onda depende de la velocidad relativa de la fuente y del observador.

Aquí se utilizarán componentes de velocidad en lugar de velocidad para lograr una mayor generalidad y para evitar quizás introducciones aparentemente ad hoc de signos menos. Los signos menos que aparecen aquí servirán, en cambio, para iluminar elementos cuando se consideren velocidades inferiores a la de la luz.

Para las ondas de luz en el vacío, la dilatación del tiempo junto con una simple observación geométrica es suficiente para calcular el desplazamiento Doppler en la configuración estándar (velocidad relativa colineal del emisor y del observador, así como de la onda de luz observada).

Todas las velocidades en lo que sigue son paralelas a la dirección x positiva común , por lo que se eliminan los subíndices de los componentes de la velocidad. En el cuadro de observadores, introduzca la observación geométrica.

$${\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}$$

como la distancia espacial, o longitud de onda , entre dos pulsos (crestas de onda), donde T es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos pulsos. El tiempo transcurrido entre el paso de dos pulsos en el mismo punto del espacio es el periodo de tiempo τ , y su inversa ν = 1 ⁄ τ es la frecuencia (temporal) observada . Las cantidades correspondientes en el marco de los emisores están dotadas de números primos. ^[18]

Para ondas de luz

$${\displaystyle s=s'=-c,}$$

^{[2] [19] [20]}

$${\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

T = γ _V T ′de dilatación del tiempo

Supongamos en cambio que la onda no está compuesta de ondas de luz con velocidad c , sino, para una fácil visualización, balas disparadas desde una ametralladora relativista, con velocidad s ′ en el marco del emisor. Entonces, en general, la observación geométrica es precisamente la misma . Pero ahora, s ′ ≠ s , y s viene dado por la suma de velocidades,

$${\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}$$

Entonces, el cálculo es esencialmente el mismo, excepto que aquí es más fácil realizarlo al revés con τ = 1 ⁄ ν en lugar de ν . uno encuentra

${\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)}$

Detalles en derivación

$${\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}$$

---

Observa que en el caso típico, la s ′ que entra es negativa . Sin embargo, la fórmula tiene validez general. ^{[nb 2]} Cuando s ′ = − c , la fórmula se reduce a la fórmula calculada directamente para las ondas de luz anteriores,

$${\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

Si el emisor no dispara balas en el espacio vacío, sino que emite ondas en un medio, entonces la fórmula aún se aplica , pero ahora puede ser necesario calcular primero s ′ a partir de la velocidad del emisor en relación con el medio.

Volviendo al caso de un emisor de luz, en el caso de que el observador y el emisor no sean colineales, el resultado tiene poca modificación, ^{[2] [21] [22]}

$${\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),}$$

θθ = 0θ = π /2factor de Lorentz

Geometría hiperbólica

Las funciones sinh , cosh y tanh . La función tanh relaciona la rapidez −∞ < ς < +∞ con la velocidad relativista −1 < β < +1 .

Asociada a la velocidad relativista de un objeto hay una cantidad cuya norma se llama rapidez . Estos se relacionan a través de ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$$

coordenadas cartesianasálgebra de Liegeneradores de impulsoespacio de rapidezisomorfoℝ ³de velocidades^[23]tangentes hiperbólicas. ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$

$${\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}}$$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}$$

El elemento lineal en el espacio de velocidades se deriva de la expresión para la velocidad relativa relativista en cualquier marco, ^[24] ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$

$${\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},}$$

en relaciónen el cuadro dadono lo ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{r}=v_{2}}$

El elemento de línea se encuentra poniendo o equivalentemente , ^[25] ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),}$$

siendo θ y φ las coordenadas habituales del ángulo esférico tomadas en la dirección z . Ahora introduzca ζ a través de ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}$$

y el elemento lineal en el espacio de rapidez se convierte en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}$$

Colisiones relativistas de partículas

En los experimentos de dispersión, el objetivo principal es medir la sección transversal de dispersión invariante . Esto ingresa la fórmula para la dispersión de dos tipos de partículas en un estado final que se supone tiene dos o más partículas, ^[26] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt}$$

o, en la mayoría de los libros de texto,

$${\displaystyle dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt}$$

dónde

• ${\displaystyle dVdt}$es el volumen del espacio-tiempo. Es una invariante bajo transformaciones de Lorentz.
• ${\displaystyle dN_{f}}$es el número total de reacciones que resultan en el estado final en el volumen del espacio-tiempo . Al ser un número, es invariante cuando se considera el mismo volumen espacio-temporal. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dVdt}$
• ${\displaystyle R_{f}=F\sigma }$es el número de reacciones que resultan en el estado final por unidad de espacio-tiempo, o velocidad de reacción . Esto es invariante. ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$se llama flujo incidente . Es necesario que esto sea invariante, pero no es así en el entorno más general.
• ${\displaystyle \sigma }$es la sección transversal de dispersión. Se requiere que sea invariante.
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$son las densidades de partículas en los haces incidentes. Estos no son invariantes como queda claro debido a la contracción de la longitud .
• ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$es la velocidad relativa de los dos haces incidentes. Esto no puede ser invariante ya que es necesario que lo sea. ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$

El objetivo es encontrar una expresión correcta para la velocidad relativa relativista y una expresión invariante para el flujo incidente. ${\displaystyle v_{rel}}$

De manera no relativista, se tiene para velocidad relativa . Si el sistema en el que se miden las velocidades es el sistema en reposo de tipo partícula , se requiere que para establecer la velocidad de la luz , la expresión para se deduce inmediatamente de la fórmula de la norma (segunda fórmula) en la configuración general como ^{[27] [ 28]} ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle v_{rel}}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}$$

La fórmula se reduce en el límite clásico a lo que debería y da el resultado correcto en los marcos de reposo de las partículas. La velocidad relativa se da incorrectamente en la mayoría, quizás en todos los libros sobre física de partículas y teoría cuántica de campos. ^[27] Esto es en su mayoría inofensivo, ya que si un tipo de partícula es estacionario o el movimiento relativo es colineal, entonces el resultado correcto se obtiene a partir de fórmulas incorrectas. La fórmula es invariante, pero no manifiestamente. Se puede reescribir en términos de cuatro velocidades como ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.}$$

La expresión correcta para el flujo, publicada por Christian Møller ^[29] en 1945, viene dada por ^[30]

$${\displaystyle F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}$$

Se observa que para velocidades colineales, . Para obtener una expresión manifiestamente invariante de Lorentz, se escribe con , donde está la densidad en el marco de reposo, para los flujos de partículas individuales y se llega a ^[31] ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}}$ ${\displaystyle J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})}$ ${\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}}$ ${\displaystyle n_{i}^{0}}$

$${\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.}$$

En la literatura, tanto la cantidad como la velocidad relativa se denominan ambas. En algunos casos (física estadística y literatura sobre materia oscura), se la denomina velocidad de Møller , en cuyo caso significa velocidad relativa. La verdadera velocidad relativa es en cualquier caso . ^[31] La discrepancia entre y es relevante, aunque en la mayoría de los casos las velocidades son colineales. En el LHC, el ángulo de cruce es pequeño, alrededor de 300 μ rad, pero en el antiguo Anillo de Intersección de Almacenamiento del CERN , era de aproximadamente 18 ^◦ . ^[32] ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{r}}$

Ver también

• Ley hiperbólica de los cosenos
• bicuaternión
• Velocidad relativa

Observaciones

1. Estas fórmulas se derivan de invertir α _v para v ² y aplicar la diferencia de dos cuadrados para obtener
   v ² = c ² (1 − α _v ² ) = c ² (1 − α _v )(1 + α _v )

   de modo que

   (1 − α _v )/v ²=1/c ² (1 + α _v )=γv_​/c ² (1 + γ _v ).
2. Tenga en cuenta que s ′ es negativo en el sentido en que está configurado el problema, es decir, el emisor con velocidad positiva dispara balas rápidas hacia el observador en un sistema no preparado. La convención es que − s > V debería producir una frecuencia positiva de acuerdo con el resultado para la velocidad última, s = − c . Por tanto, el signo menos es una convención, pero una convención muy natural, hasta el punto de ser canónica.
   La fórmula también puede dar como resultado frecuencias negativas. La interpretación entonces es que las balas se acercan desde el eje x negativo . Esto puede tener dos causas. El emisor puede tener una gran velocidad positiva y disparar balas lentas. También puede darse el caso de que el emisor tenga una velocidad negativa pequeña y esté disparando balas rápidas. Pero si el emisor tiene una gran velocidad negativa y dispara balas lentas, la frecuencia vuelve a ser positiva.
   Para que algunas de estas combinaciones tengan sentido, se debe requerir que el emisor haya estado disparando balas durante un tiempo suficientemente largo, en el límite de que el eje x en cualquier instante tenga balas equiespaciadas en todas partes.

Notas

1. Kleppner y Kolenkow 1978, capítulos 11 a 14
2. Einstein 1905, consulte la sección 5, "La composición de las velocidades".
3. Galileo 2001
4. Galilei 1954 Galileo utilizó esta idea para demostrar que la trayectoria del peso visto desde la orilla sería una parábola.
5. Arfken, George (2012). Física Universitaria. Prensa académica. pag. 367.ISBN​ 978-0-323-14202-1.Extracto de la página 367
6. Mermín 2005, pag. 37
7. Landau y Lifshitz 2002, pág. 13
8. Kleppner y Kolenkow 1978, pág. 457
9. Jackson 1999, pag. 531
10. Lerner y Trigg 1991, pág. 1053
11. Friedman 2002, págs. 1-21 harvnb error: no target: CITEREFFriedman2002 (help)
12. Landau y Lifshitz 2002, pág. 37 Ecuación (12.6) Esto se obtiene de manera muy diferente al considerar secciones transversales invariantes.
13. Kleppner y Kolenkow 1978, pág. 474
14. Fizeau y 1851E harvnb error: no target: CITEREFFizeau1851E (help)
15. Fizeau 1860 harvnb error: no target: CITEREFFizeau1860 (help)
16. Landau y Lifshitz 2002, pág. 14
17. Bradley 1727-1728
18. Kleppner y Kolenkow 1978, pág. 477 En la referencia, la velocidad de un emisor que se acerca se toma como positiva . De ahí la diferencia de signos.
19. Tipler y Mosca 2008, págs. 1328-1329
20. Mansfield y O'Sullivan 2011, págs. 491–492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 (help)
21. Lerner y Trigg 1991, pág. 259
22. Parker 1993, pag. 312
23. Jackson 1999, pag. 547
24. Landau y Lifshitz 2002, Ecuación 12.6
25. Landau y Lifshitz 2002, Problema p. 38
26. Canónigos 2017, pag. 1
27. Cannoni 2017, pag. 4
28. Landau y Lifshitz 2002
29. Moller 1945
30. Canónigos 2017, pag. 8
31. Cannoni 2017, pag. 13
32. Canónigos 2017, pag. 15

Referencias

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enlaces externos

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