Proyección vectorial

Concepto en álgebra lineal

La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial ) de un vector a sobre (o sobre) un vector b distinto de cero es la proyección ortogonal de a sobre una línea recta paralela a b . La proyección de a sobre b a menudo se escribe como o a _{∥ b} . ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicular a b , a veces también llamado vector rechazo de a de b (denotado o a _{⊥ b} ), ^[1] es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano ) que es ortogonal a b . Dado que ambos y son vectores y su suma es igual a a , el rechazo de a de b viene dado por: ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

$${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$

Proyección de a sobre b ( a ₁ ) y rechazo de a desde b ( a ₂ ).

Cuando 90° < θ ≤ 180° , a ₁ tiene dirección opuesta con respecto a b .

Para simplificar la notación, este artículo define y Por lo tanto, el vector es paralelo al vector es ortogonal a y ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}$

La proyección de a sobre b se puede descomponer en una dirección y una magnitud escalar escribiéndola como donde es un escalar, llamada proyección escalar de a sobre b , y b̂ es el vector unitario en la dirección de b . La proyección escalar se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$ ${\displaystyle a_{1}}$

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$$

⋅producto escalaralongitudaθánguloabopuestab

La proyección vectorial se puede calcular utilizando el producto escalar de y como: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Notación

Este artículo utiliza la convención de que los vectores se indican en negrita (por ejemplo, un ₁ ) y los escalares se escriben en fuente normal (por ejemplo, un ₁ ).

El producto escalar de los vectores a y b se escribe como , la norma de a se escribe ‖ a ‖, el ángulo entre a y b se denota θ . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

Definiciones basadas en el ángulo θ

Proyección escalar

La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

θab

Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.

Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b . Es decir, se define como

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$

vector unitariob ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

Rechazo de vectores

Por definición, el vector de rechazo de a sobre b es:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

Definiciones en términos de a y b

Cuando no se conoce θ , el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b , mediante la siguiente propiedad del producto escalar a ⋅ b

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

Proyección escalar

Por la propiedad mencionada anteriormente del producto escalar, la definición de proyección escalar queda como: ^[2]

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

En dos dimensiones, esto se convierte en

$${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Proyección vectorial

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$

^[3]

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Rechazo escalar

En dos dimensiones, el rechazo escalar equivale a la proyección de a sobre , que se gira 90° hacia la izquierda. Por eso, ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$

$${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Este producto escalar se denomina "producto escalar del delincuente". ^[4]

Rechazo de vectores

Por definición,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

Al utilizar el rechazo escalar utilizando el producto escalar perp, esto da

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

Propiedades

Si 0° ≤ θ ≤ 90°, como en este caso, la proyección escalar de a sobre b coincide con la longitud de la proyección vectorial.

Proyección escalar

La proyección escalar a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados . Coincide con la longitud ‖ c ‖ de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ si 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ si 90° < θ ≤ 180° .

Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector a ₁ que es nulo o paralelo a b . Más exactamente:

• a ₁ = 0 si θ = 90° ,
• a ₁ y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90° ,
• a ₁ y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180° .

Rechazo de vectores

El vector de rechazo de a sobre b es un vector a ₂ que es nulo u ortogonal a b . Más exactamente:

• a ₂ = 0 si θ = 0° o θ = 180° ,
• a ₂ es ortogonal a b si 0 < θ < 180° ,

Representación matricial

La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. ^{[ cita necesaria ]} Para proyectar un vector en el vector unitario a = ( a _x , a _y , a _z ) , sería necesario multiplicarlo por esta matriz de proyección:

$${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$$

Usos

La proyección vectorial es una operación importante en la ortonormalización de Gram-Schmidt de bases espaciales vectoriales . También se utiliza en el teorema del eje de separación para detectar si dos formas convexas se cruzan.

Generalizaciones

Dado que las nociones de longitud del vector y ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio producto interno de n dimensiones , esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector desde otro. .

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interno en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y rechazo. Para un espacio producto interno tridimensional , las nociones de proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector desde otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y rechazo de un vector desde un plano. ^[5] La proyección de un vector sobre un plano es su proyección ortogonal sobre ese plano. El rechazo de un vector de un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal a ese plano. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, el segundo es ortogonal.

Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y rechazo es igual al vector original. De manera similar, para espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y rechazo de un vector se pueden generalizar a las nociones de proyección sobre un hiperplano y rechazo de un hiperplano . En álgebra geométrica , se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y rechazo de un multivector general hacia/desde cualquier k -hoja invertible.

Ver también

• Proyección escalar
• Notación vectorial

Referencias

1. Perwass, G. (2009). Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería. pag. 83.ISBN​ 9783540890676.
2. "Proyecciones escalares y vectoriales". www.ck12.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
3. "Productos escalares y proyecciones".
4. Hill, FS Jr. (1994). Gemas gráficas IV . San Diego: Prensa académica. págs. 138-148.
5. MJ Baker, 2012. Proyección de un vector sobre un plano. Publicado en www.euclideanspace.com.

enlaces externos

• Proyección de un vector sobre un plano.