Densidad espectral

Importancia relativa de ciertas frecuencias en una señal compuesta

La densidad espectral de una luz fluorescente en función de la longitud de onda óptica muestra picos en las transiciones atómicas, indicados por las flechas numeradas.

La forma de onda de voz a lo largo del tiempo (izquierda) tiene un amplio espectro de potencia de audio (derecha).

En el procesamiento de señales , el espectro de potencia de una señal de tiempo continuo describe la distribución de potencia en los componentes de frecuencia que componen esa señal. ^[1] Según el análisis de Fourier , cualquier señal física se puede descomponer en una serie de frecuencias discretas o en un espectro de frecuencias en un rango continuo. El promedio estadístico de cualquier tipo de señal (incluido el ruido ) analizado en términos de su contenido de frecuencia se denomina espectro . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$

Cuando la energía de la señal se concentra alrededor de un intervalo de tiempo finito, especialmente si su energía total es finita, se puede calcular la densidad espectral de energía . Más comúnmente se usa la densidad espectral de potencia (o simplemente espectro de potencia ), que se aplica a señales que existen en todo el tiempo, o durante un período de tiempo lo suficientemente grande (especialmente en relación con la duración de una medición) que bien podría haber terminado. un intervalo de tiempo infinito. La densidad espectral de potencia (PSD) se refiere entonces a la distribución de energía espectral que se encontraría por unidad de tiempo, ya que la energía total de dicha señal en todo el tiempo sería generalmente infinita. La suma o integración de los componentes espectrales produce la potencia total (para un proceso físico) o la varianza (en un proceso estadístico), idéntica a la que se obtendría integrando en el dominio del tiempo, según lo dictado por el teorema de Parseval . ^[1] ${\displaystyle x^{2}(t)}$

El espectro de un proceso físico a menudo contiene información esencial sobre la naturaleza de . Por ejemplo, el tono y el timbre de un instrumento musical se determinan inmediatamente a partir de un análisis espectral. El color de una fuente de luz está determinado por el espectro del campo eléctrico de la onda electromagnética, ya que fluctúa a una frecuencia extremadamente alta. Obtener un espectro a partir de series temporales como estas implica la transformada de Fourier y generalizaciones basadas en el análisis de Fourier. En muchos casos, el dominio del tiempo no se emplea específicamente en la práctica, como cuando se utiliza un prisma dispersivo para obtener un espectro de luz en un espectrógrafo , o cuando un sonido se percibe a través de su efecto sobre los receptores auditivos del oído interno, cada uno de ellos. de los cuales es sensible a una frecuencia particular. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E(t)}$

Sin embargo, este artículo se concentra en situaciones en las que la serie temporal se conoce (al menos en un sentido estadístico) o se mide directamente (como por ejemplo mediante un micrófono muestreado por una computadora). El espectro de potencia es importante en el procesamiento estadístico de señales y en el estudio estadístico de procesos estocásticos , así como en muchas otras ramas de la física y la ingeniería . Normalmente, el proceso es una función del tiempo, pero de manera similar se puede analizar la descomposición de los datos en el dominio espacial en términos de frecuencia espacial . ^[1]

Unidades

En física , la señal podría ser una onda, como una onda electromagnética , una onda acústica o la vibración de un mecanismo. La densidad espectral de potencia (PSD) de la señal describe la potencia presente en la señal en función de la frecuencia, por unidad de frecuencia. La densidad espectral de potencia se expresa comúnmente en vatios por hercio (W/Hz). ^[2]

Cuando una señal se define únicamente en términos de voltaje , por ejemplo, no hay una potencia única asociada con la amplitud indicada. En este caso, la "potencia" simplemente se calcula en términos del cuadrado de la señal, ya que éste siempre sería proporcional a la potencia real entregada por esa señal en una impedancia determinada . Entonces se podrían usar unidades de V ²  Hz ⁻¹ para la PSD. La densidad espectral de energía (ESD) tendría unidades de V ²  s Hz ⁻¹ , ya que la energía tiene unidades de potencia multiplicada por el tiempo (por ejemplo, vatios-hora ). ^[3]

En el caso general, las unidades de PSD serán la relación de unidades de varianza por unidad de frecuencia; así, por ejemplo, una serie de valores de desplazamiento (en metros) a lo largo del tiempo (en segundos) tendrá PSD en unidades de metros cuadrados por hercio, m ² /Hz. En el análisis de vibraciones aleatorias , las unidades de g ²  Hz ⁻¹ se utilizan con frecuencia para la PSD de aceleración , donde g denota la fuerza g . ^[4]

Matemáticamente, no es necesario asignar dimensiones físicas a la señal ni a la variable independiente. En la siguiente discusión, el significado de x ( t ) no se especificará, pero se supondrá que la variable independiente es la del tiempo.

Definición

Densidad espectral de energía

La densidad espectral de energía describe cómo se distribuye la energía de una señal o una serie de tiempo con la frecuencia. Aquí, el término energía se utiliza en el sentido generalizado de procesamiento de señales; ^[5] es decir, la energía de una señal es: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$

La densidad espectral de energía es más adecuada para transitorios (es decir, señales tipo pulso) que tienen una energía total finita. Finita o no, el teorema de Parseval ^[6] (o teorema de Plancherel) nos da una expresión alternativa para la energía de la señal:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$

$${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$

transformada de FourierfrecuenciaHzfunción de densidad ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$

Por lo tanto, la densidad espectral de energía de se define como: ^[6] ${\displaystyle x(t)}$

La función y la autocorrelación de forman un par de transformadas de Fourier, un resultado también conocido como teorema de Wiener-Khinchin (ver también Periodograma ). ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Como ejemplo físico de cómo se podría medir la densidad espectral de energía de una señal, supongamos que representa el potencial (en voltios ) de un pulso eléctrico que se propaga a lo largo de una línea de transmisión de impedancia , y supongamos que la línea termina con una resistencia adaptada (de modo que toda la energía del pulso se entrega a la resistencia y nada se refleja). Según la ley de Ohm , la potencia entregada a la resistencia en el tiempo es igual a , por lo que la energía total se encuentra integrando con respecto al tiempo durante la duración del pulso. Para encontrar el valor de la densidad espectral de energía en la frecuencia , se podría insertar entre la línea de transmisión y la resistencia un filtro de paso de banda que pase solo un rango estrecho de frecuencias ( por ejemplo) cerca de la frecuencia de interés y luego medir la energía total disipada a través de la resistencia. Entonces se estima que el valor de la densidad espectral de energía es . En este ejemplo, dado que la potencia tiene unidades de V ² Ω ⁻¹ , la energía tiene unidades de V ²  s Ω ⁻¹  = J y, por lo tanto, la estimación de la densidad espectral de energía tiene unidades de J Hz ⁻¹ , según sea necesario. En muchas situaciones, es común olvidar el paso de dividir por para que la densidad espectral de energía tenga unidades de V ²  Hz ⁻¹ . ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle Z}$

Esta definición se generaliza de manera sencilla a una señal discreta con un número contablemente infinito de valores , como una señal muestreada en tiempos discretos : ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$

$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$

transformada de Fourier en tiempo discretofrecuencia normalizada ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Densidad espectral de potencia

El espectro de potencia de la anisotropía de la temperatura de la radiación cósmica de fondo de microondas medida en términos de escala angular. La línea continua es un modelo teórico, a modo de comparación.

La definición anterior de densidad espectral de energía es adecuada para transitorios (señales similares a pulsos) cuya energía se concentra alrededor de una ventana de tiempo; entonces generalmente existen las transformadas de Fourier de las señales. Para señales continuas durante todo el tiempo, es necesario definir la densidad espectral de potencia (PSD) que existe para procesos estacionarios ; esto describe cómo se distribuye la potencia de una señal o serie temporal a lo largo de la frecuencia, como en el ejemplo sencillo dado anteriormente. Aquí, la potencia puede ser la potencia física real o, más a menudo, por conveniencia con señales abstractas, simplemente se identifica con el valor al cuadrado de la señal. Por ejemplo, los estadísticos estudian la varianza de una función a lo largo del tiempo (o de otra variable independiente), y utilizando una analogía con las señales eléctricas (entre otros procesos físicos), se acostumbra referirse a ella como espectro de potencia incluso cuando no hay poder físico involucrado. Si uno creara una fuente de voltaje físico que lo siguiera y lo aplicara a los terminales de una resistencia de un ohmio , entonces, de hecho, la potencia instantánea disipada en esa resistencia estaría dada en vatios . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Por lo tanto , la potencia promedio de una señal a lo largo de todo el tiempo viene dada por el siguiente promedio de tiempo, donde el período se centra alrededor de un tiempo arbitrario : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Sin embargo, para abordar las matemáticas que siguen, es más conveniente tratar con límites de tiempo en la señal misma que con límites de tiempo en los límites de la integral. Como tal, tenemos una representación alternativa de la potencia promedio, donde y es unidad dentro del período arbitrario y cero en otros lugares. ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ ${\displaystyle w_{T}(t)}$

$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

es

Al analizar el contenido de frecuencia de la señal , se podría calcular la transformada ordinaria de Fourier ; sin embargo, para muchas señales de interés la transformada de Fourier no existe formalmente. ^{[N 1]} Independientemente, el teorema de Parseval nos dice que podemos reescribir la potencia promedio de la siguiente manera. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$

$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

Entonces la densidad espectral de potencia se define simplemente como el integrando anterior. ^{[8] [9]}

A partir de aquí, debido al teorema de convolución , también podemos ver la transformada de Fourier de la convolución temporal de y , donde * representa el conjugado complejo. Teniendo en cuenta que ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ ${\displaystyle x_{T}(t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

teorema de convolución al pasar de la 3ª a la 4ª línea.

Ahora, si dividimos la convolución de tiempo anterior por el período y tomamos el límite como , se convierte en la función de autocorrelación de la señal sin ventana , que se denota como , siempre que sea ergódica , lo cual es cierto en la mayoría, pero no en todas, casos prácticos. ^[10] . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Desde aquí vemos, asumiendo nuevamente la ergodicidad de , que la densidad espectral de potencia se puede encontrar como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación ( teorema de Wiener-Khinchin ). ${\displaystyle x(t)}$

Muchos autores utilizan esta igualdad para definir realmente la densidad espectral de potencia. ^[11]

La potencia de la señal en una banda de frecuencia determinada , donde , se puede calcular integrando la frecuencia. Dado que , se puede atribuir una cantidad igual de potencia a las bandas de frecuencia positivas y negativas, lo que representa el factor 2 de la siguiente forma (tales factores triviales dependen de las convenciones utilizadas): ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$ ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$

$${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$

conjuntos estadísticos ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle x(t)}$

Al igual que con la densidad espectral de energía, la definición de densidad espectral de potencia se puede generalizar a variables de tiempo discretas . Como antes, podemos considerar una ventana con la señal muestreada en momentos discretos durante un período de medición total . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle -N\leq n\leq N}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ ${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$

$${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$

periodograma^[12] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Si dos señales poseen densidades espectrales de potencia, entonces la densidad espectral cruzada se puede calcular de manera similar; Así como la PSD está relacionada con la autocorrelación, también lo está la densidad espectral cruzada con la correlación cruzada .

Propiedades de la densidad espectral de potencia.

Algunas propiedades del PSD incluyen: ^[13]

• El espectro de potencia es siempre real y no negativo, y el espectro de un proceso de valor real también es una función par de la frecuencia: . ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• Para un proceso estocástico continuo x(t), la función de autocorrelación R _xx ( t ) se puede reconstruir a partir de su espectro de potencia S _xx (f) utilizando la transformada inversa de Fourier.
• Usando el teorema de Parseval , se puede calcular la varianza (potencia promedio) de un proceso integrando el espectro de potencia en todas las frecuencias:
  $${\displaystyle P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$$
• Para un proceso real x ( t ) con densidad espectral de potencia , se puede calcular el espectro integrado o distribución espectral de potencia , que especifica la potencia promedio limitada en banda contenida en frecuencias desde DC hasta f usando: ^[14] ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$
  $${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$$
  Tenga en cuenta que la expresión anterior para la potencia total (varianza de la señal) es un caso especial donde  f → ∞ .

Densidad espectral de potencia cruzada

Dadas dos señales y , cada una de las cuales posee densidades espectrales de potencia y , es posible definir una densidad espectral de potencia cruzada ( CPSD ) o densidad espectral cruzada ( CSD ). Para empezar, consideremos la potencia promedio de dicha señal combinada. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Utilizando la misma notación y métodos utilizados para la derivación de la densidad espectral de potencia, explotamos el teorema de Parseval y obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$

CPSDde correlación cruzada^[15] ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ ${\displaystyle T\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$

correlación cruzadaCPSDCPSD ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$

$${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Para señales discretas x _n e y _n , la relación entre la densidad espectral cruzada y la covarianza cruzada es

$${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

Estimacion

El objetivo de la estimación de la densidad espectral es estimar la densidad espectral de una señal aleatoria a partir de una secuencia de muestras de tiempo. Dependiendo de lo que se sabe sobre la señal, las técnicas de estimación pueden implicar enfoques paramétricos o no paramétricos , y pueden basarse en análisis en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, una técnica paramétrica común implica ajustar las observaciones a un modelo autorregresivo . Una técnica no paramétrica común es el periodograma .

La densidad espectral suele estimarse mediante métodos de transformada de Fourier (como el método de Welch ), pero también se pueden utilizar otras técnicas como el método de máxima entropía .

Conceptos relacionados

• El centroide espectral de una señal es el punto medio de su función de densidad espectral, es decir, la frecuencia que divide la distribución en dos partes iguales.
• La frecuencia de borde espectral ( SEF ), generalmente expresada como "SEF x ", representa la frecuencia por debajo de la cual se ubica el x por ciento de la potencia total de una señal determinada; normalmente, x está en el rango de 75 a 95. Es más particularmente una medida popular utilizada en la monitorización EEG , en cuyo caso SEF se ha utilizado de diversas formas para estimar la profundidad de la anestesia y las etapas del sueño . ^{[16] [17] [18]}
• Una envolvente espectral es la curva envolvente de la densidad espectral. Describe un punto en el tiempo (una ventana, para ser precisos). Por ejemplo, en la teledetección que utiliza un espectrómetro , la envolvente espectral de una característica es el límite de sus propiedades espectrales , definidas por el rango de niveles de brillo en cada una de las bandas espectrales de interés. ^[19]
• La densidad espectral es función de la frecuencia, no función del tiempo. Sin embargo, se puede calcular la densidad espectral de una ventana pequeña de una señal más larga y representarla frente al tiempo asociado con la ventana. Un gráfico de este tipo se llama espectrograma . Ésta es la base de una serie de técnicas de análisis espectral, como la transformada de Fourier de corto tiempo y las wavelets .
• Un "espectro" generalmente significa la densidad espectral de potencia, como se analizó anteriormente, que representa la distribución del contenido de la señal a lo largo de la frecuencia. Para funciones de transferencia (p. ej., diagrama de Bode , chirrido ), la respuesta de frecuencia completa se puede representar gráficamente en dos partes: potencia versus frecuencia y fase versus frecuencia: la densidad espectral de fase , el espectro de fase o la fase espectral . Con menos frecuencia, las dos partes pueden ser las partes real e imaginaria de la función de transferencia. Esto no debe confundirse con la respuesta de frecuencia de una función de transferencia, que también incluye una fase (o equivalentemente, una parte real e imaginaria) en función de la frecuencia. La respuesta al impulso en el dominio del tiempo generalmente no puede recuperarse únicamente a partir de la densidad espectral de potencia únicamente sin la parte de fase. Aunque estos también son pares de transformadas de Fourier, no hay simetría (como la hay para la autocorrelación ) que obligue a que la transformada de Fourier tenga un valor real. Consulte Pulso ultracorto#Fase espectral , ruido de fase , retardo de grupo . ${\displaystyle h(t)}$
• A veces uno encuentra una densidad espectral de amplitud ( ASD ), que es la raíz cuadrada de la PSD; el ASD de una señal de voltaje tiene unidades de V Hz ^−1/2 . ^[20] Esto es útil cuando la forma del espectro es bastante constante, ya que las variaciones en el ASD serán proporcionales a las variaciones en el nivel de voltaje de la señal misma. Pero matemáticamente se prefiere usar la PSD, ya que sólo en ese caso el área bajo la curva es significativa en términos de potencia real en todas las frecuencias o en un ancho de banda específico.

Aplicaciones

Cualquier señal que pueda representarse como una variable que varía en el tiempo tiene un espectro de frecuencia correspondiente. Esto incluye entidades familiares como la luz visible (percibida como color ), las notas musicales (percibidas como tono ), la radio/TV (especificadas por su frecuencia o, a veces, longitud de onda ) e incluso la rotación regular de la Tierra. Cuando estas señales se ven en forma de espectro de frecuencia, se revelan ciertos aspectos de las señales recibidas o de los procesos subyacentes que las producen. En algunos casos, el espectro de frecuencia puede incluir un pico distinto correspondiente a un componente de onda sinusoidal . Y además puede haber picos correspondientes a armónicos de un pico fundamental, indicando una señal periódica que no es simplemente sinusoidal. O un espectro continuo puede mostrar intervalos de frecuencia estrechos que están fuertemente realzados correspondientes a resonancias, o intervalos de frecuencia que contienen una potencia casi nula como los que produciría un filtro de muesca .

Ingenieria Eléctrica

Espectrograma de una señal de radio FM con la frecuencia en el eje horizontal y el tiempo aumentando hacia arriba en el eje vertical.

El concepto y uso del espectro de potencia de una señal es fundamental en ingeniería eléctrica , especialmente en sistemas de comunicaciones electrónicas , incluidas radiocomunicaciones , radares y sistemas relacionados, además de la tecnología de detección remota pasiva . Los instrumentos electrónicos llamados analizadores de espectro se utilizan para observar y medir los espectros de potencia de las señales.

El analizador de espectro mide la magnitud de la transformada de Fourier de corto tiempo (STFT) de una señal de entrada. Si la señal que se analiza puede considerarse un proceso estacionario, la STFT es una buena estimación suavizada de su densidad espectral de potencia.

Cosmología

Las fluctuaciones primordiales , las variaciones de densidad en el universo primitivo, se cuantifican mediante un espectro de potencia que proporciona la potencia de las variaciones en función de la escala espacial.

Ciencia del clima

Se ha utilizado el análisis espectral de potencia para examinar las estructuras espaciales para la investigación climática. ^[21] Estos resultados sugieren que la turbulencia atmosférica vincula el cambio climático con una mayor volatilidad regional local en las condiciones climáticas. ^[22]

Ver también

• Biespectro
• Temperatura de brillo
• colores de ruido
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Densidad espectral de ruido
• Estimación de densidad espectral
• Eficiencia espectral
• Fuga espectral
• Distribución de energía espectral
• Probabilidad menor
• Función de ventana

Notas

1. Algunos autores (por ejemplo, Risken ^[7] ) todavía utilizan la transformada de Fourier no normalizada de forma formal para formular una definición de la densidad espectral de potencia.
   $${\displaystyle \langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi f(\omega )\delta (\omega -\omega '),}$$
   ¿Dónde está la función delta de Dirac ? Estas declaraciones formales a veces pueden resultar útiles para guiar la intuición, pero siempre deben utilizarse con sumo cuidado. ${\displaystyle \delta (\omega -\omega ')}$

Referencias

1. P Stoica y R Moisés (2005). «Análisis Espectral de Señales» (PDF) .
2. Gerard Maral (2003). Redes VSAT. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-86684-9.
3. Michael Peter Norton y Denis G. Karczub (2003). Fundamentos del análisis de ruido y vibraciones para ingenieros. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-49913-2.
4. Alessandro Birolini (2007). Ingeniería de Confiabilidad. Saltador. pag. 83.ISBN​ 978-3-540-49388-4.
5. Oppenheim; Verghese. Señales, sistemas e inferencia . págs. 32–4.
6. Stein, Jonathan Y. (2000). Procesamiento de señales digitales: una perspectiva informática . Wiley. pag. 115.
7. Hannes Risken (1996). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones (2ª ed.). Saltador. pag. 30.ISBN​ 9783540615309.
8. Fred Rieke; William Bialek y David Warland (1999). Spikes: exploración del código neuronal (neurociencia computacional) . Prensa del MIT . ISBN 978-0262681087.
9. Scott Millers y Donald Childers (2012). Probabilidad y procesos aleatorios . Prensa académica . págs. 370–5.
10. El teorema de Wiener-Khinchin da sentido a esta fórmula para cualquier proceso estacionario de sentido amplio bajo hipótesis más débiles: no necesita ser absolutamente integrable, solo necesita existir. Pero la integral ya no se puede interpretar como de costumbre. La fórmula también tiene sentido si se interpreta que involucra distribuciones (en el sentido de Laurent Schwartz , no en el sentido de una función de distribución acumulativa estadística ) en lugar de funciones. Si es continua, el teorema de Bochner se puede utilizar para demostrar que su transformada de Fourier existe como una medida positiva , cuya función de distribución es F (pero no necesariamente como una función y no necesariamente posee una densidad de probabilidad). ${\displaystyle R_{xx}}$ ${\displaystyle R_{xx}}$
11. Dennis Ward Ricker (2003). Procesamiento de señales de eco. Saltador. ISBN 978-1-4020-7395-3.
12. Robert Grover Brown y Patrick YC Hwang (1997). Introducción a las señales aleatorias y el filtrado de Kalman aplicado . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-12839-7.
13. Von Storch, H.; Zwiers, FW (2001). Análisis estadístico en la investigación climática . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-01230-0.
14. Introducción a la teoría del ruido y las señales aleatorias, Wilbur B. Davenport y Willian L. Root, IEEE Press, Nueva York, 1987, ISBN 0-87942-235-1 
15. William D Penny (2009). "Curso de Procesamiento de Señales, capítulo 7".
16. Iranmanesh, Saam; Rodríguez-Villegas, Esther (2017). "Un sistema de detección de husillo inactivo de potencia ultrabaja en chip". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas biomédicos . 11 (4): 858–866. doi :10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
17. Imtiaz, Syed Anas; Rodríguez-Villegas, Esther (2014). "Un algoritmo de bajo costo computacional para la detección del sueño REM mediante EEG de un solo canal". Anales de Ingeniería Biomédica . 42 (11): 2344–59. doi :10.1007/s10439-014-1085-6. PMC 4204008 . PMID  25113231. 
18. Drummond JC, Brann CA, Perkins DE, Wolfe DE: "Una comparación de la frecuencia media, la frecuencia del borde espectral, la relación de potencia de la banda de frecuencia, la potencia total y el cambio de dominancia en la determinación de la profundidad de la anestesia", Acta Anaesthesiol. Escanear. 35(8):693-9, noviembre de 1991.
19. Swartz, Diemo (1998). "Sobres espectrales". [1].
20. Michael Cerna y Audrey F. Harvey (2000). "Los fundamentos del análisis y la medición de señales basados ​​en FFT" (PDF) .
21. Comunicación, NBI (23 de mayo de 2022). "Un estudiante de astrofísica danés descubre un vínculo entre el calentamiento global y el clima localmente inestable". nbi.ku.dk. ​Consultado el 23 de julio de 2022 .
22. Sneppen, Albert (5 de mayo de 2022). "El espectro de poder del cambio climático". La revista física europea Plus . 137 (5): 555. arXiv : 2205.07908 . Código Bib : 2022EPJP..137..555S. doi :10.1140/epjp/s13360-022-02773-w. ISSN  2190-5444. S2CID  248652864.

enlaces externos

• Scripts de Matlab de densidad espectral de potencia