Sistemas fermiónicos causales

Candidato a teoría unificada de la física

La teoría de los sistemas fermiónicos causales es un enfoque para describir la física fundamental . Proporciona una unificación de las fuerzas débil , fuerte y electromagnética con la gravedad al nivel de la teoría clásica de campos . ^{[1] [2]} Además, ofrece la mecánica cuántica como un caso límite y ha revelado conexiones estrechas con la teoría cuántica de campos . ^{[3] [4]} Por lo tanto, es un candidato para una teoría física unificada. En lugar de introducir objetos físicos en una variedad espacio-temporal preexistente , el concepto general es derivar el espacio-tiempo así como todos los objetos en él como objetos secundarios de las estructuras de un sistema fermiónico causal subyacente. Este concepto también permite generalizar nociones de geometría diferencial al entorno no suave. ^{[5] [6]} En particular, se pueden describir situaciones en las que el espacio-tiempo ya no tiene una estructura de variedad en la escala microscópica (como una red espacio-temporal u otras estructuras discretas o continuas en la escala de Planck ). Como resultado, la teoría de los sistemas fermiónicos causales es una propuesta para la geometría cuántica y una aproximación a la gravedad cuántica .

Los sistemas de fermiones causales fueron introducidos por Felix Finster y colaboradores.

Motivación y concepto físico

El punto de partida físico es el hecho de que la ecuación de Dirac en el espacio de Minkowski tiene soluciones de energía negativa que suelen estar asociadas al mar de Dirac . Si tomamos en serio el concepto de que los estados del mar de Dirac forman parte integral del sistema físico, descubrimos que muchas estructuras (como las estructuras causales y métricas , así como los campos bosónicos) pueden recuperarse a partir de las funciones de onda de los estados del mar. Esto conduce a la idea de que las funciones de onda de todos los estados ocupados (incluidos los estados del mar) deben considerarse como los objetos físicos básicos, y que todas las estructuras en el espacio-tiempo surgen como resultado de la interacción colectiva de los estados del mar entre sí y con las partículas adicionales y los "agujeros" del mar. La implementación matemática de esta imagen conduce al marco de los sistemas de fermiones causales.

Más precisamente, la correspondencia entre la situación física anterior y el marco matemático se obtiene de la siguiente manera. Todos los estados ocupados abarcan un espacio de Hilbert de funciones de onda en el espacio de Minkowski . La información observable sobre la distribución de las funciones de onda en el espacio-tiempo está codificada en los operadores de correlación local que en una base ortonormal tienen la representación matricial ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle F(x),x\in {\hat {M}},}$ ${\displaystyle (\psi _{i})}$

${\displaystyle {\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)}$

(donde es el espinor adjunto ). Para convertir las funciones de onda en los objetos físicos básicos, se considera el conjunto como un conjunto de operadores lineales en un espacio de Hilbert abstracto . Se descartan todas las estructuras del espacio de Minkowski, excepto la medida de volumen , que se transforma en una medida correspondiente en los operadores lineales (la "medida universal" ). Las estructuras resultantes, es decir, un espacio de Hilbert junto con una medida en los operadores lineales en él, son los ingredientes básicos de un sistema de fermiones causales. ${\displaystyle {\overline {\psi }}}$ ${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$ ${\displaystyle d^{4}x}$

La construcción anterior también se puede llevar a cabo en espacios-tiempos más generales . Además, tomando la definición abstracta como punto de partida, los sistemas fermiónicos causales permiten la descripción de "espacio-tiempos cuánticos" generalizados. La imagen física es que un sistema fermiónico causal describe un espacio-tiempo junto con todas las estructuras y objetos que contiene (como las estructuras causal y métrica, las funciones de onda y los campos cuánticos). Para distinguir los sistemas fermiónicos causales físicamente admisibles, se deben formular ecuaciones físicas. En analogía con la formulación lagrangiana de la teoría clásica de campos , las ecuaciones físicas para los sistemas fermiónicos causales se formulan mediante un principio variacional, el llamado principio de acción causal . Dado que se trabaja con diferentes objetos básicos, el principio de acción causal tiene una estructura matemática novedosa en la que se minimiza una acción positiva bajo variaciones de la medida universal. La conexión con las ecuaciones físicas convencionales se obtiene en un cierto caso límite (el límite continuo ) en el que la interacción se puede describir de manera efectiva mediante campos de calibración acoplados a partículas y antipartículas , mientras que el mar de Dirac ya no es evidente.

Configuración matemática general

En esta sección se introduce el marco matemático de los sistemas fermiónicos causales.

Definición

Un sistema de fermiones causales de dimensión de espín es un triple donde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$es un espacio de Hilbert complejo .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el conjunto de todos los operadores lineales autoadjuntos de rango finito en los que (contando multiplicidades ) tienen como máximo valores propios positivos y como máximo negativos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \rho }$es una medida en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La medida se denomina medida universal . ${\displaystyle \rho }$

Como se describirá a continuación, esta definición es lo suficientemente rica como para codificar análogos de las estructuras matemáticas necesarias para formular teorías físicas. En particular, un sistema fermiónico causal da lugar a un espacio-tiempo junto con estructuras adicionales que generalizan objetos como los espinores , la métrica y la curvatura . Además, comprende objetos cuánticos como las funciones de onda y un estado de Fock fermiónico . ^[7]

El principio de acción causal

Inspirada en la formulación Langrangiana de la teoría de campos clásica, la dinámica de un sistema de fermiones causales se describe mediante un principio variacional definido de la siguiente manera.

Dado un espacio de Hilbert y la dimensión de espín , el conjunto se define como se indica anteriormente. Entonces, para cualquier , el producto es un operador de rango como máximo . No es necesariamente autoadjunto porque en general . Denotamos los valores propios no triviales del operador (contando las multiplicidades algebraicas ) por ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Además, el peso espectral se define por ${\displaystyle |.|}$

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

El lagrangiano se introduce por

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

La acción causal se define por

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

El principio de acción causal es minimizar las variaciones dentro de la clase de medidas de Borel (positivas) bajo las siguientes restricciones: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$

• Restricción de acotación: para alguna constante positiva . ${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$ ${\displaystyle C}$
• Restricción de seguimiento: se mantiene fija. ${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$
• Se conserva el volumen total . ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$

Aquí se considera la topología inducida por la -norma en los operadores lineales acotados en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Las restricciones impiden minimizadores triviales y aseguran la existencia, siempre que sea de dimensión finita. ^[8] Este principio variacional también tiene sentido en el caso de que el volumen total sea infinito si se consideran variaciones de variación acotada con . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \delta \rho }$ ${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$

Estructuras inherentes

En las teorías físicas contemporáneas, la palabra espacio-tiempo se refiere a una variedad lorentziana . Esto significa que el espacio-tiempo es un conjunto de puntos enriquecidos por estructuras topológicas y geométricas. En el contexto de los sistemas fermiónicos causales, el espacio-tiempo no necesita tener una estructura de variedad. En cambio, el espacio-tiempo es un conjunto de operadores en un espacio de Hilbert (un subconjunto de ). Esto implica estructuras inherentes adicionales que corresponden a objetos usuales en una variedad espacio-temporal y los generalizan. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Para un sistema fermiónico causal , definimos el espacio-tiempo como el soporte de la medida universal, ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

Con la topología inducida por , el espacio-tiempo es un espacio topológico . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

Estructura causal

Para , denotamos los valores propios no triviales del operador (contando las multiplicidades algebraicas ) por . Los puntos y se definen como separados espacialmente si todos tienen el mismo valor absoluto. Están separados temporalmente si no tienen todos el mismo valor absoluto y son todos reales. En todos los demás casos, los puntos y están separados de manera luminosa . ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Esta noción de causalidad encaja con la "causalidad" de la acción causal antes mencionada en el sentido de que si dos puntos del espacio -tiempo están separados espacialmente, entonces el lagrangiano desaparece. Esto corresponde a la noción física de causalidad de que los puntos del espacio-tiempo separados espacialmente no interactúan. Esta estructura causal es la razón de la noción de "causal" en el sistema de fermiones causales y la acción causal. ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$

Sea la proyección ortogonal sobre el subespacio . Entonces el signo de la función ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

distingue el futuro del pasado . A diferencia de la estructura de un conjunto parcialmente ordenado , la relación "se encuentra en el futuro de" no es, en general, transitiva. Pero sí lo es a escala macroscópica en ejemplos típicos. ^{[5] [6]}

Espinores y funciones de onda

Para cada espacio de espín se define por ; es un subespacio de dimensión como máximo . El producto escalar de espín definido por ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

es un producto interno indefinido de la firma con . ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle p,q\leq n}$

Una función de onda es una función ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

Sobre funciones de onda para las cuales la norma definida por ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

es finito (donde es el valor absoluto del operador simétrico ), se puede definir el producto interno ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Junto con la topología inducida por la norma , se obtiene un espacio de Kerin . ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$

A cualquier vector podemos asociar la función de onda ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(donde es nuevamente la proyección ortogonal al espacio de espín). Esto da lugar a una familia distinguida de funciones de onda, denominadas funciones de onda de los estados ocupados . ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$

El proyector fermiónico

El núcleo del proyector fermiónico está definido por ${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(donde es nuevamente la proyección ortogonal en el espacio de espín, y denota la restricción a ). El proyector fermiónico es el operador ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$ ${\displaystyle |_{S_{y}}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

que tiene el dominio denso de definición dado por todos los vectores que satisfacen las condiciones ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

Como consecuencia del principio de acción causal, el núcleo del proyector fermiónico tiene propiedades de normalización adicionales ^[9] que justifican el nombre de proyector .

Conexión y curvatura

Al ser un operador de un espacio de espín a otro, el núcleo del proyector fermiónico proporciona relaciones entre diferentes puntos del espacio-tiempo. Este hecho se puede utilizar para introducir una conexión de espín.

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

La idea básica es tomar una descomposición polar de . La construcción se vuelve más compleja por el hecho de que la conexión de espín debe inducir una conexión métrica correspondiente . ${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

donde el espacio tangente es un subespacio específico de los operadores lineales en dotado de una métrica lorentziana. La curvatura de espín se define como la holonomía de la conexión de espín, ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

De manera similar, la conexión métrica da lugar a la curvatura métrica . Estas estructuras geométricas dan lugar a una propuesta de geometría cuántica . ^[5]

Las ecuaciones de Euler-Lagrange y las ecuaciones de campo linealizadas

Un minimizador de la acción causal satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes . ^[10] Afirman que la función definida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell _{\kappa }}$

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(con dos parámetros de Lagrange y ) se desvanece y es mínima en el soporte de , ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Para el análisis, es conveniente introducir jets que consisten en una función de valor real en y un campo vectorial  en a lo largo de , y denotar la combinación de multiplicación y derivada direccional por . Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange implican que las ecuaciones débiles de Euler-Lagrange ${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

Mantener para cualquier chorro de prueba . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

Las familias de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange se generan infinitesimalmente mediante un jet que satisface las ecuaciones de campo linealizadas ${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

que debe cumplirse para todos los chorros de prueba , donde el laplaciano se define por   ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen la dinámica del sistema fermiónico causal, mientras que las pequeñas perturbaciones del sistema se describen mediante las ecuaciones de campo linealizadas.

Integrales de capa superficial conservadas

En el contexto de los sistemas fermiónicos causales, las integrales espaciales se expresan mediante las denominadas integrales de capa superficial . ^{[9] [10] [11]} En términos generales, una integral de capa superficial es una integral doble de la forma

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

donde una variable se integra sobre un subconjunto , y la otra variable se integra sobre el complemento de . Es posible expresar las leyes de conservación habituales para carga, energía, ... en términos de integrales de capa superficial. Las leyes de conservación correspondientes son una consecuencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange del principio de acción causal y las ecuaciones de campo linealizadas. Para las aplicaciones, las integrales de capa superficial más importantes son la integral de corriente , la forma simpléctica , el producto interno de capa superficial y la integral de capa superficial no lineal . ${\displaystyle \Omega \subset M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$

Dinámica del espacio de Fock bosónico

Con base en las leyes de conservación para las integrales de la capa superficial anteriores, la dinámica de un sistema fermiónico causal como se describe en las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal se puede reescribir como una dinámica lineal que preserva la norma en el espacio de Fock bosónico construido a partir de soluciones de las ecuaciones de campo linealizadas. ^[4] En la llamada aproximación holomórfica , la evolución temporal respeta la estructura compleja, dando lugar a una evolución temporal unitaria en el espacio de Fock bosónico.

Un estado de Fock fermiónico

Si tiene dimensión finita , eligiendo una base ortonormal de y tomando el producto de cuña de las funciones de onda correspondientes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

da un estado de un espacio de Fock fermiónico de partículas . Debido a la antisimetrización total, este estado depende de la elección de la base de solo por un factor de fase. ^[12] Esta correspondencia explica por qué los vectores en el espacio de partículas deben interpretarse como fermiones . También motiva el nombre de sistema fermiónico causal . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Principios físicos subyacentes

Los sistemas fermiónicos causales incorporan varios principios físicos de una manera específica:

• Un principio de calibración local : para representar las funciones de onda en componentes, se eligen bases de los espacios de espín. Denotando la firma del producto escalar de espín en por , una base pseudo-ortonormal de está dada por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

Luego, una función de onda se puede representar con funciones componentes, ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

La libertad de elegir las bases independientemente en cada punto del espacio-tiempo corresponde a transformaciones unitarias locales de las funciones de onda, ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

Estas transformaciones se interpretan como transformaciones de calibración locales . Se determina que el grupo de calibración es el grupo de isometría del producto escalar de espín. La acción causal es invariante de calibración en el sentido de que no depende de la elección de las bases de espín.

• Principio de equivalencia : para una descripción explícita del espacio-tiempo es necesario trabajar con coordenadas locales. La libertad de elección de dichas coordenadas generaliza la libertad de elección de sistemas de referencia generales en una variedad de espacio-tiempo. Por lo tanto, se respeta el principio de equivalencia de la relatividad general . La acción causal es generalmente covariante en el sentido de que no depende de la elección de coordenadas.
• Principio de exclusión de Pauli : El estado fermiónico de Fock asociado al sistema fermiónico causal permite describir el estado multipartícula mediante una función de onda totalmente antisimétrica. Esto concuerda con el principio de exclusión de Pauli .
• El principio de causalidad se incorpora a la forma de la acción causal en el sentido de que los puntos del espacio-tiempo con separación espacial no interactúan.

Casos limitantes

Los sistemas de fermiones causales tienen casos límite matemáticamente sólidos que brindan una conexión con las estructuras físicas convencionales.

Geometría de espín lorentziana de espacios-tiempos globalmente hiperbólicos

Partiendo de cualquier variedad de espín lorentziana globalmente hiperbólica con fibrado de espinores , se entra en el marco de los sistemas fermiónicos causales eligiendo como subespacio del espacio solución de la ecuación de Dirac . Definiendo el llamado operador de correlación local para por ${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$ ${\displaystyle S{\hat {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(donde es el producto interno de la fibra ) e introduciendo la medida universal como el avance de la medida del volumen en , ${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$ ${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

se obtiene un sistema fermiónico causal. Para que los operadores de correlación locales estén bien definidos, deben constar de secciones continuas, lo que normalmente hace necesario introducir una regularización en la escala microscópica . En el límite , todas las estructuras intrínsecas en el sistema fermiónico causal (como la estructura causal, la conexión y la curvatura) pasan a las estructuras correspondientes en la variedad de espín lorentziana. ^[5] Por lo tanto, la geometría del espacio-tiempo está codificada completamente en los sistemas fermiónicos causales correspondientes. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

Mecánica cuántica y ecuaciones de campo clásicas

Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal tienen un límite bien definido si los espacio-tiempos de los sistemas fermiónicos causales pasan al espacio de Minkowski . Más específicamente, se considera una secuencia de sistemas fermiónicos causales (por ejemplo, con dimensión finita para asegurar la existencia del estado fermiónico de Fock así como de minimizadores de la acción causal), de modo que las funciones de onda correspondientes pasan a una configuración de mares de Dirac en interacción que involucran estados de partículas adicionales o "agujeros" en los mares. Este procedimiento, conocido como el límite continuo , da ecuaciones efectivas que tienen la estructura de la ecuación de Dirac acoplada a ecuaciones de campo clásicas . Por ejemplo, para un modelo simplificado que involucra tres partículas fermiónicas elementales en dimensión de espín dos, se obtiene una interacción a través de un campo de calibración axial clásico ^[2] descrito por las ecuaciones acopladas de Dirac y Yang-Mills. ${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Tomando el límite no relativista de la ecuación de Dirac se obtiene la ecuación de Pauli o ecuación de Schrödinger , dando la correspondencia con la mecánica cuántica . Aquí y dependen de la regularización y determinan la constante de acoplamiento así como la masa en reposo. ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

De la misma manera, para un sistema que involucra neutrinos en dimensión de espín 4, se obtiene efectivamente un campo de calibración masivo acoplado al componente zurdo de los espinores de Dirac. ^[2] La configuración de fermiones del modelo estándar se puede describir en dimensión de espín 16. ^[1] ${\displaystyle SU(2)}$

Las ecuaciones de campo de Einstein

Para el sistema recién mencionado que involucra neutrinos, ^[2] el límite continuo también produce las ecuaciones de campo de Einstein acopladas a los espinores de Dirac,

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

hasta correcciones de orden superior en el tensor de curvatura. Aquí la constante cosmológica es indeterminada y denota el tensor de energía-momento de los espinores y del campo de calibración. La constante de gravitación depende de la longitud de regularización. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle T_{jk}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \kappa }$

Teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski

Partiendo del sistema acoplado de ecuaciones obtenido en el límite del continuo y expandiéndolo en potencias de la constante de acoplamiento, se obtienen integrales que corresponden a los diagramas de Feynman en el nivel de árbol. Los diagramas de bucles fermiónicos surgen debido a la interacción con los estados del mar, mientras que los diagramas de bucles bosónicos aparecen al tomar promedios sobre la estructura microscópica (en general no uniforme) del espacio-tiempo de un sistema fermiónico causal (la llamada mezcla microscópica ). ^[3] El análisis detallado y la comparación con la teoría cuántica de campos estándar es un trabajo en progreso. ^[4]

Referencias

1. Finster, Felix (2006). El principio del proyector fermiónico . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3974-4.OCLC 61211466  .Capítulos 1-4 Capítulos 5-8 Apéndices
2. Finster, Felix (2016). El límite continuo de los sistemas fermiónicos causales . Teorías fundamentales de la física. Vol. 186. Cham: Springer International Publishing. arXiv : 1605.04742 . doi :10.1007/978-3-319-42067-7. ISBN . 978-3-319-42066-0. ISSN  0168-1222. S2CID  119123208.
3. Finster, Felix (2014). "Teoría cuántica de campos perturbativa en el marco del proyector fermiónico". Journal of Mathematical Physics . 55 (4): 042301. arXiv : 1310.4121 . Bibcode :2014JMP....55d2301F. doi :10.1063/1.4871549. ISSN  0022-2488. S2CID  10515274.
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5. Finster, Felix; Grotz, Andreas (2012). "Una geometría cuántica lorentziana". Avances en física teórica y matemática . 16 (4): 1197–1290. arXiv : 1107.2026 . doi :10.4310/atmp.2012.v16.n4.a3. ISSN  1095-0761. S2CID  54886814.
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10. Finster, Felix; Kleiner, Johannes (2017). "Una formulación hamiltoniana de principios variacionales causales". Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . 56 (3): 73. arXiv : 1612.07192 . doi :10.1007/s00526-017-1153-5. ISSN  0944-2669. S2CID  8742665.
11. Finster, Felix; Kleiner, Johannes (2019). "Una clase de integrales de capa superficial conservadas para principios variacionales causales". Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . 58 : 38. arXiv : 1801.08715 . doi :10.1007/s00526-018-1469-9. ISSN  0944-2669. S2CID  54692714.
12. Finster, Felix (2010). "Entrelazamiento y segunda cuantificación en el marco del proyector fermiónico". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 43 (39): 395302. arXiv : 0911.0076 . Bibcode :2010JPhA...43M5302F. doi :10.1088/1751-8113/43/39/395302. ISSN  1751-8113. S2CID  33980400.

Lectura adicional

• Plataforma web sobre sistemas fermiónicos causales