En física teórica , la geometría cuántica es el conjunto de conceptos matemáticos que generalizan los conceptos de la geometría cuya comprensión es necesaria para describir los fenómenos físicos a escalas de distancia comparables a la longitud de Planck . A estas distancias, la mecánica cuántica tiene un profundo efecto sobre los fenómenos físicos.
Cada teoría de la gravedad cuántica utiliza el término "geometría cuántica" de una manera ligeramente diferente. La teoría de cuerdas , una de las principales candidatas a una teoría cuántica de la gravedad, utiliza el término geometría cuántica para describir fenómenos exóticos como la dualidad T y otras dualidades geométricas, la simetría especular , las transiciones que cambian la topología [ se necesita aclaración ] , la escala de distancia mínima posible y otros efectos que desafían la intuición. Más técnicamente, la geometría cuántica se refiere a la forma de una variedad de espacio-tiempo experimentada por las D-branas, que incluye correcciones cuánticas al tensor métrico , como los instantes de la hoja del mundo . Por ejemplo, el volumen cuántico de un ciclo se calcula a partir de la masa de una brana envuelta en este ciclo.
En un enfoque alternativo a la gravedad cuántica llamado gravedad cuántica de bucles (LQG), la frase "geometría cuántica" generalmente se refiere al formalismo dentro de LQG donde los observables que capturan la información sobre la geometría ahora son operadores bien definidos en un espacio de Hilbert . En particular, ciertos observables físicos , como el área, tienen un espectro discreto . También se ha demostrado que la geometría cuántica de bucles no es conmutativa . [1]
Es posible (pero se considera improbable) que esta comprensión estrictamente cuantificada de la geometría sea coherente con la imagen cuántica de la geometría que surge de la teoría de cuerdas.
Otro enfoque bastante exitoso que intenta reconstruir la geometría del espacio-tiempo a partir de "primeros principios" es la gravedad cuántica discreta de Lorentz .
Las formas diferenciales se utilizan para expresar estados cuánticos , utilizando el producto de cuña : [2]
donde el vector de posición es
el elemento de volumen diferencial es
y x 1 , x 2 , x 3 son un conjunto arbitrario de coordenadas, los índices superiores indican contravarianza , los índices inferiores indican covarianza , por lo que explícitamente el estado cuántico en forma diferencial es:
La integral de superposición viene dada por:
en forma diferencial esto es
La probabilidad de encontrar la partícula en alguna región del espacio R viene dada por la integral sobre esa región:
siempre que la función de onda esté normalizada . Cuando R es todo el espacio de posiciones 3d, la integral debe ser 1 si la partícula existe.
Las formas diferenciales son un enfoque para describir la geometría de curvas y superficies de forma independiente de las coordenadas. En mecánica cuántica , las situaciones idealizadas ocurren en coordenadas cartesianas rectangulares , como el pozo de potencial , la partícula en una caja , el oscilador armónico cuántico y aproximaciones más realistas en coordenadas polares esféricas , como los electrones en átomos y moléculas . Por motivos de generalidad, es útil un formalismo que pueda usarse en cualquier sistema de coordenadas.
