Espacio de Wiener abstracto

Construcción matemática relativa a espacios de dimensión infinita.

El concepto de espacio abstracto de Wiener es una construcción matemática desarrollada por Leonard Gross para comprender la estructura de las medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita. La construcción enfatiza el papel fundamental que desempeña el espacio de Cameron-Martin . El espacio clásico de Wiener es el ejemplo prototípico.

El teorema de estructura para medidas gaussianas establece que todas las medidas gaussianas pueden representarse mediante la construcción abstracta del espacio de Wiener.

Motivación

Sea un espacio de Hilbert real , que se supone que es de dimensión infinita y separable . En la literatura de física, uno se encuentra frecuentemente con integrales de la forma ${\displaystyle H}$

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,$

donde se supone que es una constante de normalización y donde se supone que es la medida de Lebesgue inexistente en . Tales integrales surgen, notablemente, en el contexto de la formulación de la integral de trayectoria euclidiana de la teoría cuántica de campos. A nivel matemático, dicha integral no se puede interpretar como una integración contra una medida en el espacio de Hilbert original . Por otro lado, supongamos que es un espacio de Banach que contiene como un subespacio denso . Si es "suficientemente mayor" que , entonces la integral anterior se puede interpretar como una integración contra una medida (gaussiana) bien definida en . En ese caso, el par se conoce como un espacio de Wiener abstracto. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Dv}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (H,B)}$

El ejemplo prototípico es el espacio de Wiener clásico, en el que es el espacio de Hilbert de funciones de valor real en un intervalo cuya primera derivada está en y satisface , con la norma dada por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

En ese caso, puede tomarse como el espacio de Banach de funciones continuas en con la norma suprema . En este caso, la medida en es la medida de Wiener que describe el movimiento browniano que comienza en el origen. El subespacio original se llama espacio de Cameron-Martin , que forma un conjunto de medida cero con respecto a la medida de Wiener. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$

Lo que significa el ejemplo anterior es que tenemos una expresión formal para la medida de Wiener dada por $${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$$

Aunque esta expresión formal sugiere que la medida de Wiener debería existir en el espacio de caminos para los cuales , en realidad este no es el caso. (Se sabe que los caminos brownianos no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad uno). ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

La construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross abstrae la situación del espacio de Wiener clásico y proporciona una condición necesaria y suficiente (aunque a veces difícil de comprobar) para que exista la medida gaussiana en . Aunque la medida gaussiana existe en en lugar de , es la geometría de en lugar de la que controla las propiedades de . Como dice el propio Gross ^[1] (adaptado a nuestra notación), "Sin embargo, sólo se hizo evidente con el trabajo de IE Segal que trata de la distribución normal en un espacio de Hilbert real, que el papel del espacio de Hilbert era de hecho central, y que en lo que respecta al análisis de , el papel de en sí mismo era auxiliar para muchos de los teoremas de Cameron y Martin, y en algunos casos incluso innecesario". Una de las características atractivas de la construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross es que toma como punto de partida y trata como un objeto auxiliar. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$

Aunque las expresiones formales para que aparecen antes en esta sección son expresiones puramente formales, de estilo físico, son muy útiles para ayudar a comprender las propiedades de . En particular, se pueden usar fácilmente estas expresiones para derivar la fórmula (¡correcta!) para la densidad de la medida trasladada relativa a , para . (Véase el teorema de Cameron–Martin ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d\mu (b+h)}$ ${\displaystyle d\mu (b)}$ ${\displaystyle h\in H}$

Descripción matemática

Juego de cilindros para mediryo

Sea un espacio de Hilbert definido sobre los números reales, asumidos como infinitamente dimensionales y separables. Un conjunto cilíndrico en es un conjunto definido en términos de los valores de una colección finita de funcionales lineales en . Específicamente, supongamos que son funcionales lineales continuos en y es un conjunto de Borel en . Entonces podemos considerar el conjunto ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$$

Cualquier conjunto de este tipo se denomina conjunto cilíndrico. La colección de todos los conjuntos cilíndricos forma un álgebra de conjuntos en , pero no es un -álgebra . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$

Hay una forma natural de definir una "medida" en conjuntos cilíndricos, como sigue. Por el teorema de representación de Riesz , los funcionales lineales se dan como el producto interno con vectores en . A la luz del procedimiento de Gram-Schmidt , es inofensivo asumir que son ortonormales. En ese caso, podemos asociar al conjunto cilíndrico definido anteriormente la medida de con respecto a la medida gaussiana estándar en . Es decir, definimos donde es la medida estándar de Lebesgue en . Debido a la estructura del producto de la medida gaussiana estándar en , no es difícil demostrar que está bien definido. Es decir, aunque el mismo conjunto se puede representar como un conjunto cilíndrico de más de una manera, el valor de es siempre el mismo. ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu (C)}$

Inexistencia de la medidayo

El conjunto funcional se denomina medida estándar del conjunto cilíndrico gaussiano en . Suponiendo (como lo hacemos) que es de dimensión infinita, no se extiende a una medida aditiva contable en el álgebra generada por la colección de conjuntos cilíndricos en . Se puede entender la dificultad considerando el comportamiento de la medida estándar gaussiana en dado por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$$

El valor esperado de la norma al cuadrado con respecto a esta medida se calcula como una integral gaussiana elemental como $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$$

Es decir, la distancia típica desde el origen de un vector elegido aleatoriamente según la medida gaussiana estándar en es Como tiende a infinito, esta distancia típica tiende a infinito, lo que indica que no existe una medida "gaussiana estándar" bien definida en . (La distancia típica desde el origen sería infinita, de modo que la medida no viviría realmente en el espacio .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Existencia de la medidaB

Supongamos ahora que es un espacio de Banach separable y que es una función lineal continua inyectiva cuya imagen es densa en . Entonces es inofensivo (y conveniente) identificarlo con su imagen interior y, por lo tanto, considerarlo como un subconjunto denso de . Podemos entonces construir una medida de conjunto de cilindros en definiendo la medida de un conjunto de cilindros como la medida de conjunto de cilindros previamente definida de , que es un conjunto de cilindros en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C\subset B}$ ${\displaystyle C\cap H}$ ${\displaystyle H}$

La idea de la construcción abstracta del espacio de Wiener es que si es suficientemente mayor que , entonces la medida del conjunto de cilindros en , a diferencia de la medida del conjunto de cilindros en , se extenderá a una medida aditiva numerable en el -álgebra generada. El artículo original de Gross ^[2] da una condición necesaria y suficiente en para que este sea el caso. La medida en se llama medida gaussiana y el subespacio se llama espacio Cameron–Martin . Es importante enfatizar que forma un conjunto de medida cero dentro de , enfatizando que la medida gaussiana vive solo en y no en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

El resultado de todo este debate es que las integrales gaussianas del tipo descrito en la sección de motivación tienen una interpretación matemática rigurosa, pero no viven en el espacio cuya norma se encuentra en el exponente de la expresión formal, sino en un espacio más grande.

Universalidad de la construcción

La construcción del espacio abstracto de Wiener no es simplemente un método para construir medidas gaussianas. Más bien, cada medida gaussiana en un espacio de Banach de dimensión infinita se produce de esta manera. (Véase el teorema de estructura para medidas gaussianas ). Es decir, dada una medida gaussiana en un espacio de Banach separable de dimensión infinita (sobre ), se puede identificar un subespacio de Cameron-Martin , en cuyo punto el par se convierte en un espacio abstracto de Wiener y es la medida gaussiana asociada. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle (H,B)}$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

• ${\displaystyle \mu }$es una medida de Borel : se define en el σ-álgebra de Borel generada por los subconjuntos abiertos de B.
• ${\displaystyle \mu }$es una medida gaussiana en el sentido de que f _∗ ( ) es una medida gaussiana en R para cada funcional lineal f ∈ B ^∗ , f ≠ 0 . ${\displaystyle \mu }$
• Por lo tanto, es estrictamente positivo y localmente finito. ${\displaystyle \mu }$
• El comportamiento de la subtraducción se describe mediante el teorema de Cameron-Martin . ${\displaystyle \mu }$
• Dados dos espacios abstractos de Wiener i ₁  : H ₁ → B ₁ e i ₂  : H ₂ → B ₂ , se puede demostrar que . En su forma completa: es decir, la medida abstracta de Wiener sobre el producto cartesiano B ₁ × B ₂ es el producto de las medidas abstractas de Wiener sobre los dos factores B ₁ y B ₂ . ${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$ $${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$$ ${\displaystyle \mu _{12}}$
• Si H (y B ) son de dimensión infinita, entonces la imagen de H tiene medida cero . Este hecho es una consecuencia de la ley cero-uno de Kolmogorov .

Ejemplo: Espacio de Wiener clásico

El ejemplo prototípico de un espacio de Wiener abstracto es el espacio de trayectorias continuas , y se conoce como espacio de Wiener clásico . Este es el espacio de Wiener abstracto en el que está dado por con producto interno dado por y es el espacio de aplicaciones continuas de en comenzando en 0, con la norma uniforme . En este caso, la medida gaussiana es la medida de Wiener , que describe el movimiento browniano en , comenzando desde el origen. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$$ $${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt,}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El resultado general que forma un conjunto de medida cero con respecto a en este caso refleja la rugosidad del camino browniano típico, que se sabe que no es diferenciable en ninguna parte . Esto contrasta con la diferenciabilidad supuesta de los caminos en . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$

Véase también

• Medida de Besov  – Generalización de la medida gaussiana utilizando la norma de Besov
• Teorema de Cameron-Martin  : Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.
• Teorema de Feldman-Hájek  - Teoría en teoría de la probabilidad
• Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático
• No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita  – Folclore matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Gross 1967 pág. 31
2. Bruto 1967

• Bell, Denis R. (2006). El cálculo de Malliavin . Mineola, NY: Dover Publications Inc. pág. x+113. ISBN 0-486-44994-7.Señor 2250060  .(Ver sección 1.1)
• Gross, Leonard (1967). "Espacios abstractos de Wiener". Actas del quinto simposio de Berkeley sobre matemáticas, estadística y probabilidad (Berkeley, California, 1965/66), vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, parte 1. Berkeley, California: Univ. California Press, págs. 31–42. MR  0212152.
• Kuo, Hui-Hsiung (1975). Medidas gaussianas en espacios de Banach . Berlín-Nueva York: Springer. pág. 232. ISBN 978-1419645808.