Secuencia equidistribuida

En matemáticas , se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está equidistribuida o uniformemente distribuida si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de ese subintervalo. Estas secuencias se estudian en la teoría de aproximación diofántica y tienen aplicaciones en la integración de Monte Carlo .

Definición

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está equidistribuida en un intervalo no degenerado [ a , b ] si para cada subintervalo [ c , d  ] de [ a , b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.}$

(Aquí, la notación |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d  ]| denota el número de elementos, de los primeros n elementos de la secuencia, que están entre c y d .)

Por ejemplo, si una secuencia está equidistribuida en [0, 2], puesto que el intervalo [0,5, 0,9] ocupa 1/5 de la longitud del intervalo [0, 2], a medida que n se hace grande, la proporción de los primeros n miembros de la secuencia que caen entre 0,5 y 0,9 debe acercarse a 1/5. En términos generales, se podría decir que cada miembro de la secuencia tiene la misma probabilidad de caer en cualquier lugar de su rango. Sin embargo, esto no quiere decir que ( s _n ) sea una secuencia de variables aleatorias ; más bien, es una secuencia determinada de números reales.

Discrepancia

Definimos la discrepancia D _N para una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) con respecto al intervalo [ a ,  b ] como

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .}$

Una secuencia está entonces equidistribuida si la discrepancia D _N tiende a cero cuando N tiende a infinito.

La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar el hecho de que una secuencia llena el segmento sin dejar espacios vacíos. Por ejemplo, los dibujos de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento estarán equidistribuidos en el segmento, pero habrá grandes espacios vacíos en comparación con una secuencia que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algunos ε pequeños, de una manera apropiadamente elegida, y luego continúa haciendo esto para valores cada vez más pequeños de ε. Para criterios más sólidos y para construcciones de secuencias que están distribuidas de manera más uniforme, consulte secuencia de baja discrepancia .

Criterio integral de Riemann para equidistribución

Recordemos que si f es una función que tiene una integral de Riemann en el intervalo [ a , b ], entonces su integral es el límite de las sumas de Riemann tomadas al muestrear la función f en un conjunto de puntos elegidos de una partición fina del intervalo. Por lo tanto, si alguna secuencia es equidistribuida en [ a , b ], se espera que esta secuencia pueda usarse para calcular la integral de una función integrable de Riemann. Esto conduce al siguiente criterio ^[1] para una secuencia equidistribuida:

Supongamos que ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) es una sucesión contenida en el intervalo [ a , b ]. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La secuencia está equidistribuida en [ a , b ].
2. Para cada función integrable de Riemann ( de valor complejo ) f  : [ a , b ] → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , se cumple el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Este criterio conduce a la idea de la integración de Monte Carlo , donde las integrales se calculan muestreando la función sobre una secuencia de variables aleatorias equidistribuidas en el intervalo.

No es posible generalizar el criterio integral a una clase de funciones más grande que las integrables por Riemann. Por ejemplo, si se considera la integral de Lebesgue y se toma f como en L 1 , entonces este criterio falla. Como contraejemplo, tomemos f como la función indicadora de alguna secuencia equidistribuida. Entonces en el criterio, el lado izquierdo es siempre 1, mientras que el lado derecho es cero, porque la secuencia es numerable , por lo que f es cero casi en todas partes .

De hecho, el teorema de Bruijn-Post establece el inverso del criterio anterior: si f es una función tal que el criterio anterior se cumple para cualquier secuencia equidistribuida en [ a , b ], entonces f es integrable según Riemann en [ a , b ]. ^[2]

Equidistribución módulo 1

Se dice que una secuencia ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...) de números reales está equidistribuida módulo 1 o uniformemente distribuida módulo 1 si la secuencia de las partes fraccionarias de a _n , denotada por ( a _n ) o por a _n  − ⌊ a _n ⌋, está equidistribuida en el intervalo [0, 1].

Ejemplos

Ilustración del llenado del intervalo unitario ( eje x ) utilizando los primeros n términos de la sucesión de Van der Corput, para n de 0 a 999 ( eje y ). La gradación del color se debe al aliasing.

• El teorema de equidistribución : La secuencia de todos los múltiplos de un α irracional ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

está equidistribuida módulo 1. ^[3]

• De manera más general, si p es un polinomio con al menos un coeficiente distinto del término constante irracional, entonces la secuencia p ( n ) está uniformemente distribuida módulo 1.

Esto fue demostrado por Weyl y es una aplicación del teorema de diferencia de van der Corput. ^[4]

• La secuencia log( n ) no está distribuida uniformemente módulo 1. ^[3] Este hecho está relacionado con la ley de Benford .
• La secuencia de todos los múltiplos de un α irracional por números primos sucesivos ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

está equidistribuido módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números , publicado por IM Vinogradov en 1948. ^[5]

• La secuencia de van der Corput está equidistribuida. ^[6]

Criterio de Weyl

El criterio de Weyl establece que la secuencia a _n está equidistribuida módulo 1 si y sólo si para todos los enteros distintos de cero ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

El criterio debe su nombre a Hermann Weyl , quien lo formuló por primera vez . ^[7] Permite reducir las cuestiones de equidistribución a límites en sumas exponenciales , un método fundamental y general.

Generalizaciones

• Una forma cuantitativa del criterio de Weyl está dada por la desigualdad de Erdős–Turán .
• El criterio de Weyl se extiende naturalmente a dimensiones superiores , asumiendo la generalización natural de la definición de equidistribución módulo 1:

La secuencia v _n de vectores en R ^k está equidistribuida módulo 1 si y solo si para cualquier vector distinto de cero ℓ ∈  Z ^k ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

Ejemplo de uso

El criterio de Weyl se puede utilizar para demostrar fácilmente el teorema de equidistribución , que establece que la secuencia de múltiplos 0, α , 2 α , 3 α , ... de algún número real α está equidistribuida módulo 1 si y solo si α es irracional. ^[3]

Supongamos que α es irracional y denotamos nuestra sucesión por a _j  =  jα (donde j empieza en 0, para simplificar la fórmula más adelante). Sea ℓ  ≠ 0 un entero. Como α es irracional, ℓα nunca puede ser un entero, por lo que nunca puede ser 1. Utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica finita , ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

un límite finito que no depende de n . Por lo tanto, después de dividir por n y dejar que n tienda a infinito, el lado izquierdo tiende a cero y se satisface el criterio de Weyl.

Por el contrario, observe que si α es racional , entonces esta secuencia no está equidistribuida módulo 1, porque solo hay un número finito de opciones para la parte fraccionaria de a _j  =  jα .

Distribución uniforme completa

Se dice que una secuencia de números reales está distribuida k-uniformemente módulo 1 si no solo la secuencia de partes fraccionarias está distribuida uniformemente en sino también la secuencia , donde se define como , está distribuida uniformemente en . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$ ${\displaystyle [0,1]^{k}}$

Se dice que una secuencia de números reales está completamente distribuida uniformemente módulo 1, es decir, está distribuida uniformemente para cada número natural . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Por ejemplo, la secuencia está distribuida uniformemente módulo 1 (o 1-uniformemente distribuida) para cualquier número irracional , pero nunca está distribuida uniformemente ni siquiera 2. Por el contrario, la secuencia está completamente distribuida uniformemente para casi todos (es decir, para todos excepto para un conjunto de medida 0). ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha }$

Teorema de la diferencia de van der Corput

Un teorema de Johannes van der Corput ^[8] establece que si para cada h la secuencia s _{n + h} − s _n está uniformemente distribuida módulo 1, entonces también lo está s _n . ^{[9] [10] [11]}

Un conjunto de van der Corput es un conjunto H de números enteros tales que si para cada h en H la secuencia s _{n + h} − s _n está uniformemente distribuida módulo 1, entonces también lo está s _n . ^{[10] [11]}

Teoremas métricos

Los teoremas métricos describen el comportamiento de una secuencia parametrizada para casi todos los valores de algún parámetro α : es decir, para valores de α que no se encuentran en algún conjunto excepcional de medida de Lebesgue cero.

• Para cualquier secuencia de números enteros distintos b _n , la secuencia ( b _n α ) está equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α . ^[12]
• La secuencia ( α ⁿ ) está equidistribuida módulo 1 para casi todos los valores de α > 1. ^[13]

No se sabe si las secuencias ( e ⁿ ) o ( π ⁿ ) están equidistribuidas mod 1. Sin embargo, se sabe que la secuencia ( α ⁿ ) no está equidistribuida mod 1 si α es un número PV .

Secuencia bien distribuida

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está bien distribuida en [ a , b ] si para cualquier subintervalo [ c , d  ] de [ a , b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}}$

uniformemente en k . Claramente, toda secuencia bien distribuida está uniformemente distribuida, pero no se cumple la recíproca. La definición de bien distribuida módulo 1 es análoga.

Sucesiones equidistribuidas con respecto a una medida arbitraria

Para un espacio de medida de probabilidad arbitrario , se dice que una secuencia de puntos está equidistribuida con respecto a si la media de las medidas de puntos converge débilmente a : ^[14] ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

En cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio separable y metrizable , existe una secuencia equidistribuida con respecto a la medida; de hecho, esto se deduce inmediatamente del hecho de que dicho espacio es estándar .

El fenómeno general de equidistribución aparece mucho en sistemas dinámicos asociados con grupos de Lie , por ejemplo en la solución de Margulis a la conjetura de Oppenheim .

Véase también

• Teorema de equidistribución
• Secuencia de baja discrepancia
• Desigualdad de Erdős-Turán

Notas

1. Kuipers y Niederreiter (2006) págs. 2-3
2. http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Teorema 8
3. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 8
4. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 27
5. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 129
6. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 127
7. Weyl, H. (septiembre de 1916). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [Sobre la distribución de números módulo uno] (PDF) . Matemáticas. Ana. (en alemán). 77 (3): 313–352. doi :10.1007/BF01475864. S2CID  123470919.
8. van der Corput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica , 56 , Springer Países Bajos: 373–456, doi : 10.1007/BF02545780 , ISSN  0001-5962, JFM  57.0230.05 , Zbl  0001.20102
9. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 26
10. Montgomery (1994) pág. 18
11. Montgomery, Hugh L. (2001). "Análisis armónico tal como se encuentra en la teoría analítica de números" (PDF) . En Byrnes, James S. (ed.). Análisis armónico del siglo XX: una celebración. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Il Ciocco, Italia, 2-15 de julio de 2000. NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. Vol. 33. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 271-293. doi :10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4.Zbl1001.11001  .​
12. Véase Bernstein, Felix (1911), "Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem", Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi :10.1007/BF01456856, S2CID  119558177.
13. Koksma, JF (1935), "Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins", Compositio Mathematica , 2 : 250–258, JFM  61.0205.01, Zbl  0012.01401
14. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 171

Referencias

• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Distribución uniforme de secuencias . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-45019-8.
• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (1974). Distribución uniforme de secuencias . ISBN de John Wiley & Sons Inc. 0-471-51045-9.Zbl 0281.10001  .
• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .

Lectura adicional

• Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribución en la teoría de números, una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre equidistribución en la teoría de números, Montreal, Canadá, 11-22 de julio de 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN. 978-1-4020-5403-7.Zbl 1121.11004  .
• Tao, Terence (2012). Análisis de Fourier de orden superior. Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 142. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 978-0-8218-8986-2.Zbl 1277.11010  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia equidistribuida". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "El criterio de Weyl". MathWorld .
• Criterio de Weyl en PlanetMath .
• Notas de clase de Charles Walkden con demostración del criterio de Weyl