Equicontinuidad

Relación entre funciones continuas

En análisis matemático , una familia de funciones es equicontinua si todas las funciones son continuas y tienen igual variación en una vecindad determinada , en el sentido preciso que se describe aquí. En particular, el concepto se aplica a familias contables y, por tanto, a secuencias de funciones.

La equicontinuidad aparece en la formulación del teorema de Ascoli , que establece que un subconjunto de C ( X ), el espacio de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff X , es compacto si y sólo si es cerrado, acotado puntualmente y equicontinuo. Como corolario, una secuencia en C ( X ) es uniformemente convergente si y sólo si es equicontinua y converge puntualmente a una función (no necesariamente continua a priori). En particular, el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas f _n en un espacio métrico o en un espacio localmente compacto ^[1] es continuo. Si, además, f _n son holomorfos , entonces el límite también es holomorfo.

El principio de acotación uniforme establece que una familia acotada puntualmente de operadores lineales continuos entre espacios de Banach es equicontinua. ^[2]

Equicontinuidad entre espacios métricos

Sean X e Y dos espacios métricos y F una familia de funciones de X a Y. Denotaremos por d las respectivas métricas de estos espacios.

La familia  F es equicontinua en un punto x ₀  ∈  X si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε para todo  ƒ  ∈  F y todo x tal que d ( x ₀ ,  x ) < δ. La familia es equicontinua puntualmente si es equicontinua en cada punto de X. ^[3]

La familia  F es uniformemente equicontinua si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₁ ),  ƒ ( x ₂ )) < ε para todo ƒ  ∈  F y todo x ₁ , x ₂  ∈  X tal que d ( x ₁ ,  x ₂ ) < δ. ^[4]

A modo de comparación, la afirmación 'todas las funciones ƒ en F son continuas' significa que para cada ε > 0, cada  ƒ  ∈  F y cada x ₀  ∈  X , existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε para todo x  ∈  X tal que d ( x ₀ ,  x ) < δ.

• Para la continuidad , δ puede depender de ε, ƒ y x ₀ .
• Para una continuidad uniforme , δ puede depender de ε y  ƒ .
• Para equicontinuidad puntual , δ puede depender de ε y x ₀ .
• Para equicontinuidad uniforme , δ puede depender sólo de ε.

De manera más general, cuando X es un espacio topológico, se dice que un conjunto F de funciones de X a Y es equicontinuo en x si para cada ε > 0, x tiene una vecindad U _x tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

para todo y ∈ U _x y ƒ  ∈  F . Esta definición suele aparecer en el contexto de espacios vectoriales topológicos .

Cuando X es compacto, un conjunto es uniformemente equicontinuo si y sólo si es equicontinuo en todos los puntos, esencialmente por la misma razón que la continuidad uniforme y la continuidad coinciden en espacios compactos. Utilizado por sí solo, el término "equicontinuidad" puede referirse a la noción puntual o uniforme, según el contexto. En un espacio compacto, estas nociones coinciden.

Algunas propiedades básicas se derivan inmediatamente de la definición. Todo conjunto finito de funciones continuas es equicontinuo. El cierre de un conjunto equicontinuo es nuevamente equicontinuo. Cada miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo , y todo conjunto finito de funciones uniformemente continuas es uniformemente equicontinuo.

Ejemplos

• Un conjunto de funciones con una constante de Lipschitz común es (uniformemente) equicontinua. En particular, este es el caso si el conjunto consta de funciones con derivadas acotadas por la misma constante.
• El principio de acotación uniforme proporciona una condición suficiente para que un conjunto de operadores lineales continuos sea equicontinuo.
• Una familia de iterados de una función analítica es equicontinua en el conjunto de Fatou . ^{[5] [6]}

Contraejemplos

• La secuencia de funciones f _n (x) = arctan(nx), no es equicontinua porque la definición se viola en x ₀ =0.

Equicontinuidad de mapas valorados en grupos topológicos.

Supongamos que T es un espacio topológico e Y es un grupo topológico aditivo (es decir, un grupo dotado de una topología que hace que sus operaciones sean continuas). Los espacios vectoriales topológicos son ejemplos destacados de grupos topológicos y cada grupo topológico tiene una uniformidad canónica asociada .

Definición : ^[7] Se dice que una familia H de aplicaciones de T a Y es equicontinua en t ∈ T si para cada vecindad V de 0 en Y , existe alguna vecindad U de t en T tal que h ( U ) ⊆ h ( t ) + V para cada h ∈ H . Decimos que H es equicontinuo si es equicontinuo en cada punto de T.

Tenga en cuenta que si H es equicontinuo en un punto, entonces cada aplicación en H es continua en el punto. Claramente, todo conjunto finito de funciones continuas de T a Y es equicontinuo.

Mapas lineales equicontinuos

Debido a que cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico, la definición de una familia equicontinua de mapas dada para grupos topológicos se transfiere a TVS sin cambios.

Caracterización de mapas lineales equicontinuos.

Se dice que una familia de mapas de la forma entre dos espacios vectoriales topológicos es equicontinua en un punto si para cada vecindad del origen en existe alguna vecindad del origen en tal que para todos ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Si es una familia de aplicaciones y es un conjunto entonces let Con notación, si y son conjuntos entonces para todos si y solo si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V.}$

Sean y espacios vectoriales topológicos (TVS) y una familia de operadores lineales desde dentro. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
2. ${\displaystyle H}$es equicontinuo en cada punto de ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle H}$es equicontinua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$es equicontinua en el origen.
   • es decir, para cada vecindad del origen en existe una vecindad del origen en tal que (o equivalentemente, para cada ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$
   ^[8]
5. para cada barrio del origen en es un barrio del origen en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
6. el cierre de in es equicontinuo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
   • ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$denota dotado de la topología de convergencia puntual. ${\displaystyle L(X;Y)}$
7. el casco equilibrado de es equicontinuo. ${\displaystyle H}$

mientras que si es localmente convexo , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle Y}$

8. la cáscara convexa de es equicontinua. ^[9] ${\displaystyle H}$
9. el casco equilibrado convexo de es equicontinuo. ^{[10] [9]} ${\displaystyle H}$

mientras que si y son localmente convexos , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

10. para cada seminorma continua existe una seminorma continua tal que para todos ^[9] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle h\in H.}$
    • Aquí, significa que para todos ${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle q(h(x))\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

mientras que si tiene forma de cañón y es localmente convexo, esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

11. ${\displaystyle H}$está limitado en ; ^[11] ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
12. ${\displaystyle H}$está limitado en ^[11] ${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$
    • ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$denota dotado de la topología de convergencia acotada (es decir, convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$

mientras que si y son espacios de Banach , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

13. ${\displaystyle \sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty }$(es decir, está uniformemente acotado en la norma del operador ). ${\displaystyle H}$

Caracterización de funcionales lineales equicontinuos.

Sea un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo con espacio dual continuo. Se dice que una familia de funcionales lineales es equicontinua en un punto si para cada vecindad del origen en existe alguna vecindad del origen en tal que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Para cualquier subconjunto, los siguientes son equivalentes: ^[9] ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo.
2. ${\displaystyle H}$es equicontinuo en el origen.
3. ${\displaystyle H}$es equicontinua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$está contenido en el polar de alguna vecindad del origen en ^[10] ${\displaystyle X}$
5. el (pre)polar de es una vecindad del origen en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$
6. el cierre débil* de in es equicontinuo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
7. el casco equilibrado de es equicontinuo. ${\displaystyle H}$
8. la cáscara convexa de es equicontinua. ${\displaystyle H}$
9. el casco equilibrado convexo de es equicontinuo. ^[10] ${\displaystyle H}$

mientras que si está normado entonces esta lista podrá ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

10. ${\displaystyle H}$es un subconjunto fuertemente acotado de ^[10] ${\displaystyle X^{\prime }.}$

mientras que si es un espacio con barriles , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología débil* en ^[11] ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. ${\displaystyle H}$es débil* acotado (es decir, está acotado en ). ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
13. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de la convergencia acotada (es decir, está acotado en ). ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Propiedades de mapas lineales equicontinuos.

El principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) establece que un conjunto de aplicaciones lineales entre espacios de Banach es equicontinuo si está acotado puntualmente; es decir, para cada El resultado se puede generalizar a un caso en el que es localmente convexo y es un espacio en forma de barril . ^[12] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades de los funcionales lineales equicontinuos.

El teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinuo de es compacto débil-*; por tanto, todo subconjunto equicontinuo es débil-* relativamente compacto. ^{[13] [9]} ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es un TVS localmente convexo, entonces la familia de todos los barriles y la familia de todos los subconjuntos de los que son convexos, equilibrados, cerrados y acotados se corresponden entre sí por polaridad (con respecto a ). ^[14] De ello se deduce que un TVS localmente convexo tiene forma de cañón si y sólo si cada subconjunto acotado de es equicontinuo. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

Teorema  :  supongamos que se trata de un TVS separable . Entonces cada subconjunto cerrado equicontinuo de es un espacio metrizable compacto (bajo la topología del subespacio). Si además es metrizable entonces es separable. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

Equicontinuidad y convergencia uniforme.

Sea X un espacio compacto de Hausdorff y equipe a C ( X ) con la norma uniforme , haciendo así de C ( X ) un espacio de Banach , por lo tanto, un espacio métrico. Entonces el teorema de Arzelà-Ascoli establece que un subconjunto de C ( X ) es compacto si y sólo si es cerrado, uniformemente acotado y equicontinuo. ^[15] Esto es análogo al teorema de Heine-Borel , que establece que los subconjuntos de R ⁿ son compactos si y sólo si son cerrados y acotados. ^[16] Como corolario, cada secuencia equicontinua uniformemente acotada en C ( X ) contiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función continua en X.

En vista del teorema de Arzelà-Ascoli, una secuencia en C ( X ) converge uniformemente si y sólo si es equicontinua y converge puntualmente. La hipótesis del enunciado puede debilitarse un poco: una secuencia en C ( X ) converge uniformemente si es equicontinua y converge puntualmente en un subconjunto denso a alguna función en X (no se supone continua).

Prueba

Supongamos que f j _es una secuencia equicontinua de funciones continuas en un subconjunto denso D de X. Sea ε  > 0. Por equicontinuidad, para cada z ∈ D , existe una vecindad U _z de z tal que

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3}$

para todo j y x ∈ U _z . Por densidad y compacidad, podemos encontrar un subconjunto finito D′ ⊂ D tal que X es la unión de U _z sobre z ∈ D′ . Dado que f _j converge puntualmente en D′ , existe N > 0 tal que

${\displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3}$

siempre que z ∈ D′ y j , k > N . Resulta que

${\displaystyle \sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon }$

para todo j , k > norte . De hecho, si x ∈ X , entonces x ∈ U _z para algún z ∈ D′ y entonces obtenemos:

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon }$.

Por lo tanto, f _j es Cauchy en C ( X ) y, por lo tanto, converge por completitud.

Esta versión más débil se utiliza normalmente para demostrar el teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos separables. Otra consecuencia es que el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas en un espacio métrico, o en un espacio localmente compacto, es continuo. (Véase un ejemplo a continuación). En lo anterior, la hipótesis de compacidad de X   no se puede relajar. Para ver eso, considere una función continua soportada compactamente g en R con g (0) = 1, y considere la secuencia equicontinua de funciones { ƒ _n } en R definida por ƒ _n ( x ) = g ( x − n ) . Entonces, ƒ _n converge puntualmente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Este criterio de convergencia uniforme suele ser útil en análisis reales y complejos. Supongamos que tenemos una secuencia de funciones continuas que converge puntualmente en algún subconjunto abierto G de R ⁿ . Como se señaló anteriormente, en realidad converge uniformemente en un subconjunto compacto de G si es equicontinuo en el conjunto compacto. En la práctica, mostrar la equicontinuidad no suele ser tan difícil. Por ejemplo, si la secuencia consta de funciones diferenciables o funciones con cierta regularidad (p. ej., las funciones son soluciones de una ecuación diferencial), entonces se puede utilizar el teorema del valor medio o algún otro tipo de estimaciones para demostrar que la secuencia es equicontinua. Entonces se deduce que el límite de la secuencia es continuo en cada subconjunto compacto de G ; por tanto, continua en G . Se puede presentar un argumento similar cuando las funciones son holomorfas. Se puede utilizar, por ejemplo, la estimación de Cauchy para mostrar la equicontinuidad (en un subconjunto compacto) y concluir que el límite es holomórfico. Tenga en cuenta que la equicontinuidad es esencial aquí. Por ejemplo, ƒ _n ( x ) = arctan n  x converge a un múltiplo de la función de signo discontinua .

Generalizaciones

Equicontinuidad en espacios topológicos.

El escenario más general en el que se puede definir la equicontinuidad es para espacios topológicos, mientras que la equicontinuidad uniforme requiere que el filtro de vecindad de un punto sea de alguna manera comparable con el filtro de vecindad de otro punto. Esto último generalmente se hace mediante una estructura uniforme , dando un espacio uniforme . Las definiciones apropiadas en estos casos son las siguientes:

Un conjunto A de funciones continuo entre dos espacios topológicos X e Y es topológicamente equicontinuo en los puntos x ∈ X e y ∈ Y si para cualquier conjunto abierto O alrededor de y , existen vecindades U de x y V de y tales que para cada f ∈ A , si la intersección de f [ U ] y V no está vacía, f [ U ] ⊆ O . Entonces se dice que A es topológicamente equicontinua en x ∈ X si es topológicamente equicontinua en xey para cada y ∈ Y . Finalmente, A es equicontinua si es equicontinua en x para todos los puntos x ∈ X .

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios uniformes X e Y es uniformemente equicontinuo si para cada elemento W de la uniformidad en Y , el conjunto

{ ( u,v ) ∈ X × X : para todo f ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

es miembro de la uniformidad en X

Introducción a los espacios uniformes.

Ahora describimos brevemente la idea básica que subyace a las uniformidades.

La uniformidad 𝒱 es una colección no vacía de subconjuntos de Y × Y donde, entre muchas otras propiedades, cada V ∈ 𝒱 , V contiene la diagonal de Y (es decir, {( y , y ) ∈ Y } ). Cada elemento de 𝒱 se llama séquito .

Las uniformidades generalizan la idea (tomada de espacios métricos ) de puntos que están " r -cerca" (para r > 0 ), lo que significa que su distancia es < r . Para aclarar esto, supongamos que ( Y , d ) es un espacio métrico (por lo que la diagonal de Y es el conjunto {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) = 0} ) Para cualquier r > 0 , dejar

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

denota el conjunto de todos los pares de puntos que son r -cercanos. Tenga en cuenta que si "olvidáramos" que d existía, entonces, para cualquier r > 0 , aún podríamos determinar si dos puntos de Y están r cerca o no usando solo los conjuntos U _r . De esta manera, los conjuntos U _r encapsulan toda la información necesaria para definir cosas como la continuidad uniforme y la convergencia uniforme sin necesidad de ninguna métrica. Axiomatizar las propiedades más básicas de estos conjuntos conduce a la definición de uniformidad . De hecho, los conjuntos U _r generan la uniformidad que está canónicamente asociada con el espacio métrico ( Y , d ) .

El beneficio de esta generalización es que ahora podemos extender algunas definiciones importantes que tienen sentido para espacios métricos (por ejemplo, completitud ) a una categoría más amplia de espacios topológicos. En particular, a grupos topológicos y espacios vectoriales topológicos .

Un concepto más débil es el de continuidad uniforme.

Se dice que un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es uniformemente continuo en x ∈ X e y ∈ Y si dado cualquier conjunto abierto O que contenga y hay vecindades U de x y V de y tales que f [ U ] ⊆ O siempre que f ( x ) ∈ V . Es uniformemente continua en x si es uniformemente continua en xey para cada y ∈ Y , y uniformemente continua si es uniformemente continua en x para cada x ∈ X .

Equicontinuidad estocástica

La equicontinuidad estocástica es una versión de la equicontinuidad utilizada en el contexto de secuencias de funciones de variables aleatorias y su convergencia . ^[17]

Ver también

• Continuidad absoluta  - Forma de continuidad para funciones.
• Clasificación de discontinuidades  – Análisis matemático de puntos discontinuos
• función gruesa
• Función continua  : función matemática sin cambios bruscos
• Función continua (teoría de conjuntos)  : secuencia de ordinales tal que los valores asumidos en las etapas límite son los límites (límite suprema y límite ínfima) de todos los valores en las etapas anteriores.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Proceso estocástico continuo  : proceso estocástico que es una función continua del tiempo o parámetro de índice.
• continuidad dini
• Función de conservación de dirección : análoga a una función continua en espacios discretos.
• Microcontinuidad  – Término matemático
• Función normal  - Función de ordinales en matemáticas
• Por partes  : función definida por múltiples subfunciones
• Función simétricamente continua
• Continuidad uniforme  : restricción uniforme del cambio de funciones.

Notas

1. De manera más general, en cualquier espacio generado de forma compacta ; por ejemplo, un primer espacio contable .
2. Rudin 1991, pag. 44 §2.5.
3. Reed y Simon (1980), pág. 29; Rudin (1987), pág. 245
4. Reed y Simon (1980), pág. 29
5. Alan F. Beardon, S. Axler, FW Gehring, KA Ribet: Iteración de funciones racionales: sistemas dinámicos analíticos complejos. Springer, 2000; ISBN  0-387-95151-2 , ISBN 978-0-387-95151-5 ; página 49 
6. Joseph H. Silverman: La aritmética de los sistemas dinámicos. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1 , ISBN 978-0-387-69903-5 ; página 22  
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 133-136.
8. Rudin 1991, pag. 44 Teorema 2.4.
9. Narici y Beckenstein 2011, págs.
10. Trèves 2006, págs. 335–345.
11. Trèves 2006, págs. 346–350.
12. Schaefer 1966, Teorema 4.2.
13. Schaefer 1966, Corolario 4.3.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 123-128.
15. Rudin 1991, pag. 394 Apéndice A5.
16. Rudin 1991, pag. 18 Teorema 1.23.
17. de Jong, Robert M. (1993). "Equicontinuidad estocástica para procesos de mezcla". Teoría asintótica de los métodos del espacio de parámetros en expansión y la dependencia de datos en econometría . Ámsterdam. págs. 53–72. ISBN 90-5170-227-2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Referencias

• "Equicontinuidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Caña, Michael; Simon, Barry (1980), Análisis funcional (edición revisada y ampliada), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill.
• Schaefer, Helmut H. (1966), Espacios vectoriales topológicos , Nueva York: The Macmillan Company
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.