Funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff

En el análisis matemático , y especialmente en el análisis funcional , un papel fundamental lo juega el espacio de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff con valores en números reales o complejos . Este espacio, denotado por, es un espacio vectorial con respecto a la suma puntual de funciones y la multiplicación escalar por constantes. Es, además, un espacio normado con norma definida por la norma uniforme . La norma uniforme define la topología de la convergencia uniforme de funciones en El espacio es un álgebra de Banach con respecto a esta norma (Rudin 1973, §11.3). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Propiedades

• Por el lema de Urysohn , separa puntos de : Si son puntos distintos, entonces existe tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
• El espacio es de dimensión infinita siempre que sea un espacio infinito (ya que separa puntos). Por lo tanto, en particular, generalmente no es localmente compacto . ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• El teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani da una caracterización del espacio dual continuo de Específicamente, este espacio dual es el espacio de medidas de radón en ( medidas regulares de Borel ), denotado por Este espacio, con la norma dada por la variación total de a medida, es también un espacio de Banach perteneciente a la clase de espacios ba . (Dunford y Schwartz 1958, §IV.6.3) ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {rca} (X).}$
• Los funcionales lineales positivos corresponden a medidas regulares (positivas) de Borel según una forma diferente del teorema de representación de Riesz. (Rudin 1966, Capítulo 2) ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Si es infinito, entonces no es reflexivo ni débilmente completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$
• El teorema de Arzelà-Ascoli se cumple: un subconjunto de es relativamente compacto si y sólo si está acotado en la norma de y equicontinuo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$
• El teorema de Stone-Weierstrass es válido para En el caso de funciones reales, si es un subanillo de que contiene todas las constantes y separa puntos, entonces el cierre de es En el caso de funciones complejas, el enunciado es válido con la hipótesis adicional de que está cerrado bajo conjugación compleja . ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle A}$
• Si y son dos espacios compactos de Hausdorff, y es un homomorfismo de álgebras que conmuta con conjugación compleja, entonces es continuo. Además, tiene la forma de alguna función continua. En particular, si y son isomórficos como álgebras, entonces y son espacios topológicos homeomórficos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(h)(y)=h(f(y))}$ ${\displaystyle f:Y\to X.}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Sea el espacio de ideales máximos en Entonces existe una correspondencia uno a uno entre Δ y los puntos de Además, se puede identificar con la colección de todos los homomorfismos complejos Equipado con la topología inicial con respecto a este emparejamiento con (es decir , la transformada de Gelfand ). Entonces es homeomorfo a Δ equipado con esta topología. (Rudin 1973, §11.13) ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Una secuencia en es débilmente de Cauchy si y sólo si está (uniformemente) acotada y convergente puntualmente. En particular, es sólo débilmente completo para un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• La topología vaga es la topología débil* en el dual de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$
• El teorema de Banach-Alaoglu implica que cualquier espacio normado es isométricamente isomorfo a un subespacio de para algunos ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Generalizaciones

El espacio de funciones continuas reales o de valores complejos se puede definir en cualquier espacio topológico. Sin embargo, en el caso no compacto, en general no es un espacio de Banach con respecto a la norma uniforme, ya que puede contener funciones ilimitadas. Por lo tanto, es más típico considerar el espacio, denotado aquí, de funciones continuas acotadas en Este es un espacio de Banach (de hecho, un álgebra de Banach conmutativa con identidad) con respecto a la norma uniforme. (Hewitt y Stromberg 1965, Teorema 7.9) ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{B}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

A veces es deseable, particularmente en la teoría de la medida , refinar aún más esta definición general considerando el caso especial de un espacio de Hausdorff localmente compacto . En este caso, es posible identificar un par de subconjuntos distinguidos de : (Hewitt & Stromberg 1965, §II.7) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{B}(X)}$

• ${\displaystyle C_{00}(X),}$el subconjunto de funciones que consta de soporte compacto . Esto se llama espacio de funciones que desaparecen en una vecindad del infinito . ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle C_{0}(X),}$el subconjunto de funciones tales que para cada existe un conjunto compacto tal que para todas. Esto se llama espacio de funciones que desaparecen en el infinito . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle |f(x)|<r}$ ${\displaystyle x\in X\backslash K.}$

Precisamente el cierre de este último es un espacio de Banach. ${\displaystyle C_{00}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X).}$

Referencias

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.