estimación de Cauchy

En matemáticas, específicamente en análisis complejo , la estimación de Cauchy da límites locales para las derivadas de una función holomorfa . Estos límites son óptimos.

Declaración y consecuencia

Sea una función holomorfa sobre la bola abierta en . Si es la suma de más , entonces la estimación de Cauchy dice: ^[1] para cada número entero , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(a,r)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle B(a,r)}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}M}$

¿Dónde está la n -ésima derivada compleja de ? es decir, y (ver Derivados de Wirtinger § Relación con diferenciación compleja ). ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'={\frac {\partial f}{\partial z}}}$ ${\displaystyle f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{'}}$

Además, la estimación anterior no se puede mejorar. ${\displaystyle f(z)=z^{n},a=0,r=1}$

Como corolario, por ejemplo, obtenemos el teorema de Liouville , que dice que una función completa acotada es constante (de hecho, incluyamos la estimación). De manera un poco más general, si una función completa está acotada por algunas constantes y algún número entero , entonces es una polinomio. ^[2] ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A+B|z|^{k}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle f}$

Prueba

Comenzamos con la fórmula integral de Cauchy aplicada a , que da por , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z-a|<r'}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

dónde . Por la diferenciación bajo el signo integral (en la variable compleja), ^[3] obtenemos: ${\displaystyle r'<r}$

${\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw.}$

De este modo,

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!M}{2\pi }}\int _{|w-a|=r'}{\frac {|dw|}{|w-a|^{n+1}}}={\frac {n!M}{{r'}^{n}}}.}$

Dejar terminar la prueba. ${\displaystyle r'\to r}$ ${\displaystyle \square }$

(La prueba muestra que no es necesario considerar el sup sobre todo el disco abierto, pero debido al principio máximo , restringir el sup al límite cercano no cambiaría ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Estimación relacionada

He aquí una estimación algo más general pero menos precisa. Dice: ^[4] dado un subconjunto abierto , un subconjunto compacto y un número entero , existe una constante tal que para cada función holomorfa en , ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sup _{K}|f^{(n)}|\leq C\int _{U}|f|\,d\mu }$

¿Dónde está la medida de Lebesgue? ${\displaystyle d\mu }$

Esta estimación se deriva de la fórmula integral de Cauchy (en la forma general) aplicada a donde es una función suave que está en una vecindad de y cuyo apoyo está contenido en . De hecho, al encogerse , se supone que está limitado y que su límite es suave por partes. Entonces, dado que , por la fórmula integral, ${\displaystyle u=\psi f}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle =1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \partial u/\partial {\overline {z}}=f\partial \psi /\partial {\overline {z}}}$

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial U}{\frac {u(z)}{w-z}}\,dw+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{U}{\frac {f(w)\partial \psi /\partial {\overline {w}}(w)}{w-z}}\,dw\wedge d{\overline {w}}}$

for in (dado que puede ser un punto, no podemos asumir que está in ). Aquí, el primer término de la derecha es cero ya que el soporte de se encuentra en . Además, el soporte de está contenido en . Por lo tanto, después de la diferenciación bajo el signo integral, se obtiene la estimación reivindicada. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \partial \psi /\partial {\overline {w}}}$ ${\displaystyle U-K}$

Como aplicación de la estimación anterior, podemos obtener el teorema de Stieltjes-Vitali, ^[5] que dice que una secuencia de funciones holomorfas en un subconjunto abierto que está acotado en cada subconjunto compacto tiene una subsecuencia que converge en cada subconjunto compacto (necesariamente a una función holomorfa ya que el límite satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann). De hecho, la estimación implica que dicha secuencia es equicontinua en cada subconjunto compacto; por tanto, el teorema de Ascoli y el argumento de la diagonal dan una subsecuencia pretendida. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

En varias variables

La estimación de Cauchy también es válida para funciones holomorfas en varias variables. Es decir, para una función holomorfa en un polidisco , tenemos: ^[6] para cada multiíndice , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\prod _{1}^{n}B(a_{j},r_{j})\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial }{\partial z}}^{\alpha }f\right)(a)\right|\leq {\frac {\alpha !}{r^{\alpha }}}\sup _{U}|f|}$

dónde y . ​ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \alpha !=\prod {\alpha }_{j}!}$ ${\displaystyle r^{\alpha }=\prod r_{j}^{\alpha _{j}}}$

Como en el caso de una variable, esto se desprende de la fórmula integral de Cauchy en polidiscos. § La estimación relacionada y su consecuencia también siguen siendo válidas en varias variables con las mismas pruebas. ^[7]

Ver también

• teorema de taylor

Referencias

1. Rudin 1986, Teorema 10.26.
2. Rudin 1986, capítulo 10. Ejercicio 4.
3. Este paso es el ejercicio 7 del cap. 10. de Rudin 1986
4. Hörmander 1990, Teorema 1.2.4.
5. Hörmander 1990, Corolario 1.2.6.
6. Hörmander 1990, Teorema 2.2.7.
7. Hörmander 1990, Teorema 2.2.3., Corolario 2.2.5.

• Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables (3.ª ed.), Holanda Septentrional, ISBN 978-1-493-30273-4
• Rudin, Walter (1986). Análisis Real y Complejo (Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.

Otras lecturas

• https://math.stackexchange.com/questions/114349/how-is-cauchys-estimate-derived/114363