Principio del módulo máximo

Teorema matemático en análisis complejo

Un gráfico del módulo de (en rojo) para en el disco unitario centrado en el origen (mostrado en azul). Como predice el teorema, el máximo del módulo no puede estar dentro del disco (por lo que el valor más alto en la superficie roja está en algún lugar a lo largo de su borde). ${\displaystyle \cos(z)}$ ${\displaystyle z}$

En matemáticas , el principio del módulo máximo en el análisis complejo establece que si es una función holomorfa , entonces el módulo no puede exhibir un máximo estricto que esté estrictamente dentro del dominio de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

En otras palabras, o bien es localmente una función constante o bien, para cualquier punto dentro del dominio de existen otros puntos arbitrariamente cercanos a los cuales toma valores mayores. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f|}$

Declaración formal

Sea una función holomorfa en algún subconjunto abierto conexo del plano complejo y que toma valores complejos. Si es un punto en tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle |f(z_{0})|\geq |f(z)|}$

para todos en algún vecindario de , entonces es constante en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Esta afirmación puede verse como un caso especial del teorema de aplicación abierta , que establece que una función holomorfa no constante aplica conjuntos abiertos a conjuntos abiertos: Si alcanza un máximo local en , entonces la imagen de un vecindario abierto suficientemente pequeño de no puede ser abierta, por lo que es constante. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$

Declaración relacionada

Supóngase que es un subconjunto abierto, conexo y no vacío acotado de . Sea la clausura de . Supóngase que es una función continua que es holomorfa en . Entonces alcanza un máximo en algún punto del límite de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle D}$

Esto se desprende de la primera versión de la siguiente manera. Como es compacta y no vacía, la función continua alcanza un máximo en algún punto de . Si no está en el límite, entonces el principio del módulo máximo implica que es constante, por lo que también alcanza el mismo máximo en cualquier punto del límite. ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|}$

Principio del módulo mínimo

Para una función holomorfa en un conjunto abierto conexo de , si es un punto en tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

para todos en algún vecindario de , entonces es constante en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Demostración: Aplicar el principio del módulo máximo a . ${\displaystyle 1/f}$

Bocetos de pruebas

Utilizando el principio de máximo para funciones armónicas

Se puede utilizar la igualdad

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

para los logaritmos naturales complejos se deduce que es una función armónica . Como también es un máximo local para esta función, se deduce del principio del máximo que es constante. Luego, utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann demostramos que = 0, y por lo tanto también es constante. Un razonamiento similar demuestra que solo puede tener un mínimo local (que necesariamente tiene valor 0) en un cero aislado de . ${\displaystyle \ln |f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle f(z)}$

Utilizando el teorema del valor medio de Gauss

Otra prueba consiste en utilizar el teorema del valor medio de Gauss para "obligar" a todos los puntos dentro de discos abiertos superpuestos a asumir el mismo valor que el máximo. Los discos se colocan de forma que sus centros formen una trayectoria poligonal desde el valor donde se maximiza hasta cualquier otro punto del dominio, mientras que están totalmente contenidos dentro del dominio. Por lo tanto, la existencia de un valor máximo implica que todos los valores del dominio son iguales, por lo tanto, es constante. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Utilizando la fórmula integral de Cauchy[1]

Como está abierta, existe (una bola cerrada centrada en con radio ) tal que . Definimos entonces el límite de la bola cerrada con orientación positiva como . Invocando la fórmula integral de Cauchy, obtenemos ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

Para todos , , entonces . Esto también es válido para todas las bolas de radio menor que centradas en . Por lo tanto, para todos . ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$ ${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$

Consideremos ahora la función constante para todos los . Luego se puede construir una secuencia de puntos distintos ubicados en donde la función holomorfa se anula. Como es cerrada, la secuencia converge a algún punto en . Esto significa que se anula en todas partes en lo que implica para todos los . ${\displaystyle g(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle g-f}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in D}$

Interpretación física

Una interpretación física de este principio proviene de la ecuación del calor . Es decir, como es armónica, es el estado estable de un flujo de calor en la región . Supongamos que se alcanzara un máximo estricto en el interior de , el calor en este máximo se dispersaría a los puntos que lo rodean, lo que contradiría la suposición de que esto representa el estado estable de un sistema. ${\displaystyle \log |f(z)|}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Aplicaciones

El principio del módulo máximo tiene muchos usos en el análisis complejo y puede utilizarse para demostrar lo siguiente:

• El teorema fundamental del álgebra .
• Lema de Schwarz , un resultado que a su vez tiene muchas generalizaciones y aplicaciones en el análisis complejo.
• El principio de Phragmén-Lindelöf , una extensión a dominios ilimitados.
• El teorema de Borel-Carathéodory , que acota una función analítica en términos de su parte real.
• El teorema de las tres líneas de Hadamard , un resultado sobre el comportamiento de funciones holomorfas acotadas en una línea entre otras dos líneas paralelas en el plano complejo.

Referencias

1. Conway, John B. (1978). Axler, S.; Gehring, F. W.; Ribet, KA (eds.). Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2.

• Titchmarsh, EC (1939). La teoría de funciones (2.ª ed.). Oxford University Press. (Véase el capítulo 5.)
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Principio del módulo máximo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Conway, John B. (1978). Axler, S.; Gehring, F. W.; Ribet, KA (eds.). Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Principio del módulo máximo". MundoMatemático .