En la teoría de conjuntos axiomática , una función f : Ord → Ord se llama normal (o una función normal ) si es continua (con respecto a la topología del orden ) y estrictamente monótonamente creciente . Esto equivale a las dos condiciones siguientes:
Una función normal simple viene dada por f ( α ) = 1 + α (ver aritmética ordinal ). Pero f ( α ) = α + 1 no es normal porque no es continua en ningún límite ordinal; es decir, la imagen inversa del conjunto abierto de un punto { λ + 1} es el conjunto { λ } , que no es abierto cuando λ es un ordinal límite. Si β es un ordinal fijo, entonces las funciones f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (para β ≥ 1 ) y f ( α ) = β α (para β ≥ 2 ) son todas normal.
Ejemplos más importantes de funciones normales los dan los números aleph , que conectan los números ordinales y cardinales , y los números beth .
Si f es normal, entonces para cualquier ordinal α ,
Prueba : si no, elija γ mínimo tal que f ( γ ) < γ . Dado que f aumenta estrictamente monótonamente, f ( f ( γ )) < f ( γ ) , contradice la minimalidad de γ .
Además, para cualquier conjunto S de ordinales no vacío , tenemos
Prueba : "≥" se deriva de la monotonía de f y de la definición del supremo . Para " ≤ ", establezca δ = sup S y considere tres casos:
Toda función normal f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes; consulte el lema de punto fijo para funciones normales para obtener una prueba. Se puede crear una función normal f ′ : Ord → Ord , llamada derivada de f , tal que f ′ ( α ) es el α -ésimo punto fijo de f . [2] Para obtener una jerarquía de funciones normales, consulte Funciones de Veblen .
