Lógica modal epistémica

Tipo de lógica modal

La lógica modal epistémica es un subcampo de la lógica modal que se ocupa del razonamiento sobre el conocimiento . Si bien la epistemología tiene una larga tradición filosófica que se remonta a la Antigua Grecia , la lógica epistémica es un desarrollo mucho más reciente con aplicaciones en muchos campos, incluida la filosofía , la informática teórica , la inteligencia artificial , la economía y la lingüística . Si bien los filósofos desde Aristóteles han discutido la lógica modal, y los filósofos medievales como Avicena , Ockham y Duns Scotus desarrollaron muchas de sus observaciones, fue C. I. Lewis quien creó el primer enfoque simbólico y sistemático del tema, en 1912. Continuó madurando como campo, alcanzando su forma moderna en 1963 con el trabajo de Kripke .

Desarrollo histórico

En la década de 1950 se escribieron muchos artículos que hablaban de una lógica del conocimiento de pasada, pero el artículo de 1951 del filósofo finlandés GH von Wright titulado Un ensayo sobre lógica modal se considera un documento fundador. No fue hasta 1962 que otro finlandés, Hintikka , escribiría Conocimiento y creencia , el primer trabajo extenso que sugería el uso de modalidades para capturar la semántica del conocimiento en lugar de las afirmaciones aléticas que se discuten típicamente en la lógica modal. Este trabajo sentó gran parte de las bases para el tema, pero desde entonces se ha realizado una gran cantidad de investigación. Por ejemplo, la lógica epistémica se ha combinado recientemente con algunas ideas de la lógica dinámica para crear la lógica epistémica dinámica , que se puede utilizar para especificar y razonar sobre el cambio de información y el intercambio de información en sistemas multiagente . Los trabajos seminales en este campo son de Plaza, Van Benthem y Baltag, Moss y Solecki.

Modelo estándar de mundos posibles

La mayoría de los intentos de modelar el conocimiento se han basado en el modelo de los mundos posibles . Para ello, debemos dividir el conjunto de mundos posibles entre aquellos que son compatibles con el conocimiento de un agente y aquellos que no lo son. Esto generalmente se ajusta al uso común. Si sé que es viernes o sábado, entonces sé con certeza que no es jueves. No existe ningún mundo posible compatible con mi conocimiento en el que sea jueves, ya que en todos estos mundos es viernes o sábado. Si bien analizaremos principalmente el enfoque basado en la lógica para realizar esta tarea, vale la pena mencionar aquí el otro método principal en uso, el enfoque basado en eventos . En este uso particular, los eventos son conjuntos de mundos posibles y el conocimiento es un operador sobre los eventos. Aunque las estrategias están estrechamente relacionadas, hay dos distinciones importantes que deben hacerse entre ellas:

• El modelo matemático subyacente del enfoque basado en la lógica es la semántica de Kripke , mientras que el enfoque basado en eventos emplea las estructuras de Aumann relacionadas basadas en la teoría de conjuntos .
• En el enfoque basado en eventos se eliminan por completo las fórmulas lógicas, mientras que el enfoque basado en la lógica utiliza el sistema de lógica modal.

Por lo general, el enfoque basado en la lógica se ha utilizado en campos como la filosofía, la lógica y la inteligencia artificial, mientras que el enfoque basado en eventos se utiliza con más frecuencia en campos como la teoría de juegos y la economía matemática . En el enfoque basado en la lógica, se ha construido una sintaxis y una semántica utilizando el lenguaje de la lógica modal, que describiremos a continuación.

Sintaxis

El operador modal básico de la lógica epistémica, usualmente escrito K , puede leerse como "se sabe que", "es epistémicamente necesario que" o "es inconsistente con lo que se sabe que no". Si hay más de un agente cuyo conocimiento se va a representar, se pueden agregar subíndices al operador ( , , etc.) para indicar de qué agente se está hablando. So puede leerse como "El agente sabe que ". Por lo tanto, la lógica epistémica puede ser un ejemplo de lógica multimodal aplicada para la representación del conocimiento . ^[1] El dual de K , que estaría en la misma relación con K que con , no tiene un símbolo específico, pero puede representarse por , que puede leerse como " no sabe que no " o "Es consistente con el conocimiento de que es posible". La declaración " no sabe si o no " puede expresarse como . ${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$

Para dar cabida a las nociones de conocimiento común (por ejemplo, en el Muddy Children Puzzle ) y conocimiento distribuido , se pueden añadir al lenguaje otros tres operadores modales. Estos son , que dice "cada agente del grupo G sabe" ( conocimiento mutuo ); , que dice "es conocimiento común para cada agente en G"; y , que dice "es conocimiento distribuido para todo el grupo G". Si es una fórmula de nuestro lenguaje, entonces también lo son , , y . Así como el subíndice después de se puede omitir cuando solo hay un agente, el subíndice después de los operadores modales , , y se puede omitir cuando el grupo es el conjunto de todos los agentes. ${\displaystyle {\mathit {E}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {C}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {D}}_{\mathit {G}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {E}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$ ${\displaystyle {\mathit {K}}}$ ${\displaystyle {\mathit {E}}}$ ${\displaystyle {\mathit {C}}}$ ${\displaystyle {\mathit {D}}}$

Semántica

Como se mencionó anteriormente, el enfoque basado en la lógica se basa en el modelo de mundos posibles, cuya semántica a menudo se da en forma definida en las estructuras de Kripke, también conocidas como modelos de Kripke. Una estructura de Kripke para n agentes sobre , el conjunto de todas las proposiciones primitivas, es una -tupla, donde es un conjunto no vacío de estados o mundos posibles , es una interpretación , que asocia con cada estado una asignación de verdad a las proposiciones primitivas en , y son relaciones binarias en para n números de agentes. Es importante aquí no confundir , nuestro operador modal, y , nuestra relación de accesibilidad. ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle S,\pi ,K_{1},\dots ,K_{n}\rangle }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (n+2)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

La asignación de verdad nos dice si una proposición es verdadera o falsa en un estado determinado. Por lo tanto, nos dice si es verdadera en el estado en el modelo . La verdad no solo depende de la estructura, sino también del mundo actual. El hecho de que algo sea verdadero en un mundo no significa que lo sea en otro. Para afirmar que una fórmula es verdadera en un mundo determinado, se escribe , que normalmente se lee como " es verdadera en " o " satisface ". ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (s)(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)\models \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Es útil pensar en nuestra relación binaria como una relación de posibilidad , porque está destinada a capturar qué mundos o estados el agente i considera posibles; en otras palabras, si y solo si , y tales 's se llaman alternativas epistémicas para el agente i . En las explicaciones idealizadas del conocimiento (por ejemplo, describiendo el estado epistémico de los razonadores perfectos con capacidad de memoria infinita), tiene sentido que sea una relación de equivalencia , ya que esta es la forma más fuerte y es la más apropiada para el mayor número de aplicaciones. Una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva . La relación de accesibilidad no tiene que tener estas cualidades; ciertamente hay otras opciones posibles, como las que se usan cuando se modela la creencia en lugar del conocimiento. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ ${\displaystyle w{\mathcal {K}}_{i}v}$ ${\displaystyle \forall \varphi [(w\models K_{i}\varphi )\implies (v\models \varphi )]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Las propiedades del conocimiento

Suponiendo que se trata de una relación de equivalencia y que los agentes son razonadores perfectos, se pueden derivar algunas propiedades del conocimiento. Las propiedades que se enumeran aquí se conocen a menudo como "Propiedades S5", por las razones que se describen en la sección Sistemas de axiomas que aparece a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

El axioma de distribución

Este axioma se conoce tradicionalmente como K. En términos epistémicos, establece que si un agente sabe y sabe que , entonces el agente también debe saber . Por lo tanto, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \implies \psi }$ ${\displaystyle \,\psi }$

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

Este axioma es válido en cualquier marco de la semántica relacional . Este axioma establece lógicamente el modus ponens como regla de inferencia para todo mundo epistémicamente posible.

La regla de generalización del conocimiento

Otra propiedad que podemos derivar es que si es válida (es decir, una tautología ), entonces . Esto no significa que si es verdadera, entonces el agente i sabe . Lo que significa es que si es verdadera en cada mundo que un agente considera como un mundo posible, entonces el agente debe saber en cada mundo posible. Este principio se llama tradicionalmente N (regla de necesidad). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{i}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

Esta regla siempre preserva la verdad en la semántica relacional .

El axioma del conocimiento o verdad

Este axioma también se conoce como T. Dice que si un agente conoce hechos, estos deben ser verdaderos. Esto se ha considerado a menudo como la principal característica distintiva entre conocimiento y creencia. Podemos creer que una afirmación es verdadera cuando es falsa, pero sería imposible saber si una afirmación es falsa.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

Este axioma también puede expresarse en su contraposición , ya que los agentes no pueden conocer una afirmación falsa:

${\displaystyle \varphi \implies \neg K_{i}\neg \varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco reflexivo .

El axioma de la introspección positiva

Esta propiedad y la siguiente establecen que un agente tiene introspección sobre su propio conocimiento, y se conocen tradicionalmente como 4 y 5 , respectivamente. El axioma de introspección positiva, también conocido como axioma KK, dice específicamente que los agentes saben que saben lo que saben . Este axioma puede parecer menos obvio que los enumerados anteriormente, y Timothy Williamson ha argumentado enérgicamente en contra de su inclusión en su libro, Knowledge and Its Limits .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

De manera equivalente, este axioma modal 4 dice que los agentes no saben lo que no saben que saben.

${\displaystyle \neg K_{i}K_{i}\varphi \implies \neg K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco transitivo .

El axioma de la introspección negativa

El axioma de introspección negativa dice que los agentes saben que no saben lo que no saben .

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

O, equivalentemente, este axioma modal 5 dice que los agentes saben lo que no saben que no saben.

${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco euclidiano .

Sistemas de axiomas

Se pueden derivar diferentes lógicas modales tomando diferentes subconjuntos de estos axiomas, y estas lógicas normalmente se nombran según los axiomas importantes que se emplean. Sin embargo, este no es siempre el caso. KT45, la lógica modal que resulta de la combinación de K , T , 4 , 5 y la Regla de Generalización del Conocimiento, se conoce principalmente como S5 . Es por esto que las propiedades del conocimiento descritas anteriormente a menudo se denominan Propiedades S5. Sin embargo, se puede demostrar que el axioma modal B es un teorema en S5 (a saber, ), que dice que lo que un agente no sabe que no sabe es verdadero: . El axioma modal B es verdadero en cualquier marco simétrico, pero es muy contraintuitivo en la lógica epistémica: ¿Cómo puede la ignorancia sobre la propia ignorancia implicar verdad? Por lo tanto, es discutible si S4 describe mejor la lógica epistémica, en lugar de S5. ${\displaystyle S5\vdash \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies \varphi }$

La lógica epistémica también se ocupa de la creencia, no sólo del conocimiento. El operador modal básico suele escribirse B en lugar de K. Sin embargo, en este caso, el axioma del conocimiento ya no parece correcto (los agentes sólo creen en la verdad a veces), por lo que suele sustituirse por el axioma de consistencia, tradicionalmente llamado D :

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

que establece que el agente no cree en una contradicción o en algo que es falso. Cuando D reemplaza a T en S5, el sistema resultante se conoce como KD45. Esto también da como resultado diferentes propiedades para . Por ejemplo, en un sistema en el que un agente "cree" que algo es cierto, pero en realidad no lo es, la relación de accesibilidad sería no reflexiva. La lógica de la creencia se llama lógica doxástica . ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Sistemas multiagente

Cuando hay múltiples agentes en el dominio del discurso donde cada agente i corresponde a un operador modal epistémico separado , además de los esquemas axiomáticos para cada agente individual enumerados anteriormente para describir la racionalidad de cada agente, generalmente también se supone que la racionalidad de cada agente es de conocimiento común . ${\displaystyle K_{i}}$

Problemas con el modelo del mundo posible y el modelo modal del conocimiento

Si adoptamos el enfoque de los mundos posibles para el conocimiento, se deduce que nuestro agente epistémico a conoce todas las consecuencias lógicas de sus creencias (lo que se conoce como omnisciencia lógica ^[2] ). Si es una consecuencia lógica de , entonces no hay un mundo posible donde es verdadero pero no lo es. Por lo tanto, si a sabe que es verdadero, se deduce que todas las consecuencias lógicas de son verdaderas de todos los mundos posibles compatibles con las creencias de a . Por lo tanto, a sabe . No es epistémicamente posible que a no lo sea, dado su conocimiento de que . Esta consideración fue parte de lo que llevó a Robert Stalnaker a desarrollar el bidimensionalismo , que podría explicar cómo podríamos no conocer todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias incluso si no hay mundos donde las proposiciones que conocemos resulten verdaderas pero sus consecuencias falsas. ^[3] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Incluso cuando ignoramos la semántica del mundo posible y nos atenemos a los sistemas axiomáticos, esta característica peculiar se mantiene. Con K y N (la Regla de Distribución y la Regla de Generalización del Conocimiento, respectivamente), que son axiomas que son mínimamente verdaderos de todas las lógicas modales normales, podemos probar que conocemos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias. Si es una consecuencia lógica de (es decir, tenemos la tautología ), entonces podemos derivar con N , y usando una prueba condicional con el axioma K , podemos derivar con K . Cuando traducimos esto a términos epistémicos, esto dice que si es una consecuencia lógica de , entonces a sabe que lo es, y si a sabe , a sabe . Es decir, a conoce todas las consecuencias lógicas de cada proposición. Esto es necesariamente cierto de todas las lógicas modales clásicas. Pero entonces, por ejemplo, si a sabe que los números primos son divisibles solo por ellos mismos y el número uno, entonces a sabe que 8683317618811886495518194401279999999 es primo (ya que este número solo es divisible por sí mismo y el número uno). Es decir, bajo la interpretación modal del conocimiento, cuando a conoce la definición de un número primo, a sabe que este número es primo. Esto se generaliza a cualquier teorema demostrable en cualquier teoría axiomática (es decir, si a conoce todos los axiomas de una teoría, entonces a conoce todos los teoremas demostrables en esa teoría). Debería estar claro en este punto que a no es humano (de lo contrario no habría ninguna conjetura sin resolver en matemáticas, como el problema P versus NP o la conjetura de Goldbach ). Esto muestra que la lógica modal epistémica es una explicación idealizada del conocimiento y explica el conocimiento objetivo, en lugar del subjetivo (en todo caso). ^[4] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \models (P\rightarrow Q)}$ ${\displaystyle K_{a}(P\rightarrow Q)}$ ${\displaystyle K_{a}P\rightarrow K_{a}Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Falacia epistémica (falacia del hombre enmascarado)

En lógica filosófica , la falacia del hombre enmascarado (también conocida como falacia intensional o falacia epistémica) se comete cuando se hace un uso ilícito de la ley de Leibniz en un argumento. La falacia es "epistémica" porque postula una identidad inmediata entre el conocimiento que un sujeto tiene de un objeto y el objeto mismo, sin reconocer que la ley de Leibniz no es capaz de dar cuenta de los contextos intensionales .

Ejemplos

El nombre de la falacia proviene del ejemplo:

• Premisa 1 : Sé quién es Bob.
• Premisa 2 : No sé quién es el hombre enmascarado.
• Conclusión : Por lo tanto, Bob no es el hombre enmascarado.

Las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa si Bob es el hombre enmascarado y el hablante no lo sabe. Por lo tanto, el argumento es falaz.

En forma simbólica, los argumentos anteriores son

• Premisa 1: Sé quién es X.
• Premisa 2: No sé quién es Y.
• Conclusión: Por lo tanto, X no es Y.

Nótese, sin embargo, que este silogismo ocurre en el razonamiento del hablante "yo"; por lo tanto, en la forma de lógica modal formal , será

• Premisa 1: El hablante cree que sabe quién es X.
• Premisa 2: El hablante cree que no sabe quién es Y.
• Conclusión: Por lo tanto, el hablante cree que X no es Y.

La premisa 1 es muy fuerte, ya que es lógicamente equivalente a . Es muy probable que se trate de una creencia falsa : es probable que sea una proposición falsa, ya que la ignorancia sobre la proposición no implica la negación de su veracidad. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}\forall t(t=X\rightarrow K_{s}(t=X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{s}}}\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$ ${\displaystyle \forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$ ${\displaystyle t=X}$

Otro ejemplo:

• Premisa 1: Lois Lane cree que Superman puede volar.
• Premisa 2: Lois Lane cree que Clark Kent no puede volar.
• Conclusión: Por lo tanto, Superman y Clark Kent no son la misma persona.

Expresado en lógica doxástica, el silogismo anterior es:

• Premisa 1: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}{\text{Fly}}_{\text{(Superman)}}}$
• Premisa 2: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}\neg {\text{Fly}}_{\text{(Clark)}}}$
• Conclusión: ${\displaystyle {\text{Superman}}\neq {\text{Clark}}}$

El razonamiento anterior no es válido (no preserva la verdad). La conclusión válida que se puede extraer es . ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}({\text{Superman}}\neq {\text{Clark}})}$

Véase también

• Portal de filosofía

• Cierre epistémico
• Epistemología
• Lógica epistémica dinámica
• Lógica en informática
• Explicaciones filosóficas

Notas

1. pág. 257 en: Ferenczi, Miklós (2002). Matematikai logika (en húngaro). Budapest: Műszaki könyvkiadó. ISBN 963-16-2870-1.

   257

2. Rendsvig, Rasmus; Symons, John (2021), "Epistemic Logic", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2021), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 6 de marzo de 2022
3. Stalnaker, Robert. "Proposiciones". Cuestiones de filosofía del lenguaje . Yale UP, 1976. pág. 101.
4. Véase Logic for Philosophy de Ted Sider. Actualmente en la página 230, pero sujeto a cambios posteriores a las actualizaciones.

Referencias

• Anderson, A. y ND Belnap. Implicación: la lógica de la relevancia y la necesidad. Princeton: Princeton University Press , 1975. ASIN B001NNPJL8.
• Brown, Benjamin, Pensamientos y formas de pensar: teoría de las fuentes y sus aplicaciones. Londres: Ubiquity Press , 2017. [1].
• van Ditmarsch Hans, Halpern Joseph Y., van der Hoek Wiebe y Kooi Barteld (eds.), Handbook of Epistemic Logic , Londres: College Publications, 2015.
• Fagin, Ronald; Halpern, Joseph; Moses, Yoram; Vardi, Moshe (2003). Razonamiento sobre el conocimiento . Cambridge: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3.. Una referencia clásica.
• Ronald Fagin, Joseph Halpern, Moshe Vardi. "Un enfoque no estándar para el problema de la omnisciencia lógica". Inteligencia artificial , volumen 79, número 2, 1995, págs. 203-40.
• Hendricks, VF . Epistemología formal y convencional. Nueva York: Cambridge University Press , 2007.
• Hintikka, Jaakko (1962). Conocimiento y creencia: una introducción a la lógica de las dos nociones . Ithaca: Cornell University Press . ISBN 978-1-904987-08-6..
• Meyer, JJ C., 2001, "Lógica epistémica", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell .
• Montague, R. "Gramática universal". Theoretica , Volumen 36, 1970, págs. 373-398.
• Rescher, Nicolas (2005). Lógica epistémica: un estudio de la lógica del conocimiento . University of Pittsburgh Press . ISBN 978-0-8229-4246-7..
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos algorítmicos, lógicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Ver capítulos 13 y 14; descargables gratuitamente en línea.

Enlaces externos

• "Lógica epistémica dinámica". Enciclopedia de filosofía en Internet .
• Hendricks, Vincent; Symons, John. "Lógica epistémica". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Garson, James. "Lógica modal". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Vanderschraaf, Peter. "El conocimiento común". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Lógica modal epistémica en PhilPapers
• "Lógica modal epistémica"—Ho Ngoc Duc.