Geometría elíptica

La geometría elíptica es un ejemplo de geometría en la que el postulado de las paralelas de Euclides no se cumple. En cambio, como en la geometría esférica , no hay líneas paralelas, ya que dos líneas cualesquiera deben intersecar. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, se suele suponer que dos líneas se intersecan en un único punto (en lugar de dos). Debido a esto, la geometría elíptica descrita en este artículo a veces se denomina geometría elíptica simple , mientras que la geometría esférica a veces se denomina geometría elíptica doble .

La aparición de esta geometría en el siglo XIX estimuló el desarrollo de la geometría no euclidiana en general, incluida la geometría hiperbólica .

La geometría elíptica tiene una variedad de propiedades que difieren de las de la geometría clásica del plano euclidiano. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es mayor que 180°.

Definiciones

La geometría elíptica se puede derivar de la geometría esférica mediante la identificación de puntos antípodas de la esfera con respecto a un único punto elíptico. Las líneas elípticas corresponden a círculos máximos reducidos mediante la identificación de puntos antípodas. Como dos círculos máximos cualesquiera se intersecan, no hay líneas paralelas en la geometría elíptica.

En geometría elíptica, dos líneas perpendiculares a una línea dada deben intersecarse. De hecho, todas las perpendiculares a una línea dada se intersecan en un único punto llamado polo absoluto de esa línea.

Cada punto corresponde a una línea polar absoluta de la que es el polo absoluto. Cualquier punto de esta línea polar forma un par conjugado absoluto con el polo. Tal par de puntos es ortogonal y la distancia entre ellos es un cuadrante . ^[1]^{: 89}

La distancia entre un par de puntos es proporcional al ángulo entre sus polares absolutos. ^[1]^{: 101}

Como lo explicó HSM Coxeter :

El nombre "elíptico" puede ser engañoso. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía bastante inverosímil. Una cónica central se llama elipse o hipérbola según que no tenga asíntotas o tenga dos asíntotas . Análogamente, un plano no euclidiano se dice que es elíptico o hiperbólico según que cada una de sus líneas no contenga ningún punto en el infinito o dos puntos en el infinito. ^[2]

Dos dimensiones

Plano elíptico

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica . Kepler y Desargues usaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O como centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que interseca el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que interseca el hemisferio en la mitad de un gran círculo . El hemisferio está limitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ. Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en cambio, una línea en el infinito se añade a σ . Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O , y dado que cualquier par de tales planos se interseca en una línea que pasa por O , se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se intersecan: el punto de intersección se encuentra donde la intersección del plano se encuentra con σ o la línea en el infinito. De esta forma se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que exige que todos los pares de líneas en un plano se intersequen. ^[3]

Dados P y Q en σ , la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , usualmente tomado en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". ^[4]^{: 82} Esta incursión en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann dando lugar a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .

Comparación con la geometría euclidiana

En la geometría euclidiana, una figura puede ampliarse o reducirse indefinidamente y las figuras resultantes son similares, es decir, tienen los mismos ángulos y las mismas proporciones internas. En la geometría elíptica, esto no es así. Por ejemplo, en el modelo esférico podemos ver que la distancia entre dos puntos cualesquiera debe ser estrictamente menor que la mitad de la circunferencia de la esfera (porque se identifican los puntos antípodas). Por lo tanto, un segmento de línea no puede ampliarse indefinidamente.

Gran parte de la geometría euclidiana se traslada directamente a la geometría elíptica. Por ejemplo, el primero y el cuarto postulados de Euclides, que sostienen que existe una única línea entre dos puntos cualesquiera y que todos los ángulos rectos son iguales, se cumplen en la geometría elíptica. El postulado 3, que sostiene que se puede construir un círculo con cualquier centro y radio dados, falla si se toma "cualquier radio" como "cualquier número real", pero se cumple si se toma como "la longitud de cualquier segmento de línea dado". Por lo tanto, cualquier resultado en la geometría euclidiana que se desprenda de estos tres postulados se cumplirá en la geometría elíptica, como la proposición 1 del libro I de los Elementos , que establece que dado cualquier segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero con el segmento como base.

La geometría elíptica también es como la geometría euclidiana en que el espacio es continuo, homogéneo, isótropo y sin límites. La isotropía está garantizada por el cuarto postulado, que establece que todos los ángulos rectos son iguales. Como ejemplo de homogeneidad, nótese que la proposición I.1 de Euclides implica que el mismo triángulo equilátero puede construirse en cualquier posición, no sólo en posiciones que sean especiales de algún modo. La falta de límites se desprende del segundo postulado, la extensibilidad de un segmento de línea.

Una de las diferencias entre la geometría elíptica y la euclidiana es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. En el modelo esférico, por ejemplo, se puede construir un triángulo con vértices en los puntos donde los tres ejes cartesianos positivos intersecan la esfera, y sus tres ángulos interiores miden 90 grados, lo que suma 270 grados. En el caso de triángulos suficientemente pequeños, el exceso sobre 180 grados se puede hacer arbitrariamente pequeño.

El teorema de Pitágoras falla en la geometría elíptica. En el triángulo de 90°–90°–90° descrito anteriormente, los tres lados tienen la misma longitud y, en consecuencia, no satisfacen . El resultado de Pitágoras se recupera en el límite de triángulos pequeños. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

La relación entre la circunferencia de un círculo y su área es menor que en la geometría euclidiana. En general, el área y el volumen no se escalan como la segunda y tercera potencias de las dimensiones lineales.

Espacio elíptico (caso 3D)

Nota: En esta sección se utiliza el término "espacio elíptico" para referirse específicamente a la geometría elíptica tridimensional. Esto contrasta con la sección anterior, que trataba sobre la geometría elíptica bidimensional. Los cuaterniones se utilizan para explicar este espacio.

El espacio elíptico se puede construir de una manera similar a la construcción del espacio vectorial tridimensional: con clases de equivalencia . Se utilizan arcos dirigidos sobre círculos máximos de la esfera. Así como los segmentos de línea dirigidos son equipolentes cuando son paralelos, de la misma longitud y orientados de manera similar, los arcos dirigidos que se encuentran sobre círculos máximos son equipolentes cuando tienen la misma longitud, orientación y círculo máximo. Estas relaciones de equipolencia producen el espacio vectorial 3D y el espacio elíptico, respectivamente.

El acceso a la estructura del espacio elíptico se proporciona a través del álgebra vectorial de William Rowan Hamilton : él imaginó una esfera como un dominio de raíces cuadradas de menos uno. Luego, la fórmula de Euler (donde r está en la esfera) representa el círculo máximo en el plano que contiene 1 y r . Los puntos opuestos r y – r corresponden a círculos con direcciones opuestas. Un arco entre θ y φ es equipolento con uno entre 0 y φ – θ. En el espacio elíptico, la longitud del arco es menor que π, por lo que los arcos pueden parametrizarse con θ en [0, π) o (–π/2, π/2]. ^[5] $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$

Se dice que el módulo o norma de z es uno (Hamilton lo llamó el tensor de z). Pero como r se extiende sobre una esfera en el espacio tridimensional, exp(θ r) se extiende sobre una esfera en el espacio cuatridimensional, ahora llamada 3-esfera , ya que su superficie tiene tres dimensiones. Hamilton llamó a su álgebra cuaterniones y rápidamente se convirtió en una herramienta útil y célebre de las matemáticas. Su espacio de cuatro dimensiones se desarrolla en coordenadas polares con t en los números reales positivos . $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ $t\exp(\theta r),$

Al hacer trigonometría en la Tierra o en la esfera celeste , los lados de los triángulos son arcos de círculo máximo. El primer éxito de los cuaterniones fue la aplicación de la trigonometría esférica al álgebra. ^{[6] Hamilton llamó}versor a un cuaternión de norma uno , y estos son los puntos del espacio elíptico.

Con $r$ fija, los versores

e^{ar},\quad 0\leq a<\pi

forman una línea elíptica . La distancia de a 1 es $a$ . Para un versor $u$ arbitrario , la distancia será aquella θ para la cual $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $)/2$ ya que esta es la fórmula para la parte escalar de cualquier cuaternión. $e^{ar}$

Un movimiento elíptico se describe mediante el mapeo de cuaterniones

q\mapsto uqv,

donde

u

v

son versores fijos.

Las distancias entre puntos son las mismas que entre puntos de imagen de un movimiento elíptico. En el caso de que $u$ y $v$ sean conjugados cuaterniones entre sí, el movimiento es una rotación espacial y su parte vectorial es el eje de rotación. En el caso de $u = 1$ el movimiento elíptico se denomina traslación de Clifford derecha o parataxia . El caso de $v$ $= 1$ corresponde a una traslación de Clifford izquierda.

Las líneas elípticas que pasan por el versor $u$ pueden tener la forma

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

o para un

r

fijo .

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

Son las traslaciones de Clifford derecha e izquierda de $u$ a lo largo de una línea elíptica que pasa por 1. El espacio elíptico se forma a partir de $S 3$ identificando puntos antípodas. ^[7]

El espacio elíptico tiene estructuras especiales llamadas paralelos de Clifford y superficies de Clifford .

Los puntos versores del espacio elíptico se mapean mediante la transformada de Cayley para obtener una representación alternativa del espacio. $\mathbb {R} ^{3}$

Espacios de dimensiones superiores

Modelo hiperesférico

El modelo hiperesférico es la generalización del modelo esférico a dimensiones superiores. Los puntos del espacio elíptico n -dimensional son los pares de vectores unitarios $(x, - x)$ en R ^{n +1} , es decir, pares de puntos antípodas en la superficie de la bola unitaria en el espacio ( n + 1) -dimensional (la hiperesfera n -dimensional). Las líneas en este modelo son círculos máximos , es decir, intersecciones de la hiperesfera con hipersuperficies planas de dimensión n que pasan por el origen.

Geometría elíptica proyectiva

En el modelo proyectivo de la geometría elíptica, los puntos del espacio proyectivo real de n dimensiones se utilizan como puntos del modelo. Esto modela una geometría elíptica abstracta que también se conoce como geometría proyectiva .

Los puntos del espacio proyectivo n -dimensional se pueden identificar con líneas que pasan por el origen en el espacio ( n + 1) -dimensional, y se pueden representar de forma no unívoca mediante vectores distintos de cero en R ^{n +1} , con el entendimiento de que $u$ y $λ u$ $, para cualquier escalar λ$ distinto de cero , representan el mismo punto. La distancia se define utilizando la métrica

d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);

es decir, la distancia entre dos puntos es el ángulo entre sus líneas correspondientes en R ^{n +1} . La fórmula de la distancia es homogénea en cada variable, con $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ si $λ$ y $μ$ son escalares distintos de cero, por lo que sí define una distancia en los puntos del espacio proyectivo.

Una propiedad notable de la geometría elíptica proyectiva es que, para dimensiones pares, como el plano, la geometría no es orientable . Borra la distinción entre rotación en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario al de las agujas del reloj al identificarlas.

Modelo estereográfico

Se puede obtener un modelo que represente el mismo espacio que el modelo hiperesférico mediante proyección estereográfica . Sea E ⁿR ⁿ ∪ {∞}, es decir, el espacio real $n$ -dimensional extendido por un único punto en el infinito. Podemos definir una métrica, la métrica cordal , sobre E ⁿ mediante

\delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}

donde $u$ y $v$ son dos vectores cualesquiera en R ⁿ y es la norma euclidiana habitual. También definimos $\|\cdot \|$

\delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.

El resultado es un espacio métrico en E ⁿ , que representa la distancia a lo largo de una cuerda de los puntos correspondientes en el modelo hiperesférico, al que se asigna biyectivamente mediante proyección estereográfica. Obtenemos un modelo de geometría esférica si utilizamos la métrica

d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).

La geometría elíptica se obtiene a partir de esto identificando los puntos antípodas $u$ y $- u / ‖ u ‖ 2$ , y tomando la distancia desde $v$ a este par como el mínimo de las distancias desde $v$ a cada uno de estos dos puntos.

Consistencia propia

Como la geometría elíptica esférica puede modelarse, por ejemplo, como un subespacio esférico de un espacio euclidiano, se deduce que si la geometría euclidiana es autoconsistente, también lo es la geometría elíptica esférica. Por lo tanto, no es posible demostrar el postulado de las paralelas basándose en los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.

Tarski demostró que la geometría euclidiana elemental es completa : hay un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrar que es verdadera o falsa. ^[8] (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que el teorema se aplique. ^[9] ) Por lo tanto, se deduce que la geometría elíptica elemental también es autoconsistente y completa.

Véase también

Notas

^ de Duncan Sommerville (1914) Los elementos de la geometría no euclidiana , capítulo 3 Geometría elíptica, págs. 88 a 122, George Bell & Sons
^ Coxeter 1969 94
^ HSM Coxeter (1965) Introducción a la geometría, página 92
^ Cayley, Arthur (1859), "Una sexta memoria sobre la cuántica", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90, doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614, JSTOR 108690
^ Rafael Artzy (1965) Geometría lineal , Capítulo 3-8 Cuaterniones y espacio tridimensional elíptico, págs. 186-94, Addison-Wesley
^ WR Hamilton (1844 a 1850) Sobre cuaterniones o un nuevo sistema de imaginarios en álgebra, Philosophical Magazine , enlace a la colección de David R. Wilkins en Trinity College, Dublín
^ Lemaître, Georges (1948), "Quaternions et espace elliptique", Pontificia Academia Scientiarum, Acta , 12 : 57–78, ISSN 0370-2138
^ Tarski (1951)
^ Franzén 2005, págs. 25-26.

Referencias

Alan F. Beardon, La geometría de los grupos discretos , Springer-Verlag, 1983
HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , capítulos 5, 6 y 7: Geometría elíptica en 1, 2 y 3 dimensiones, University of Toronto Press , reeditado en 1998 por Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-522-4 .
HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , §6.9 El plano elíptico, págs. 92–95. John Wiley & Sons .
"Geometría elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Felix Klein (1871) "Sobre la llamada geometría no euclidiana" Mathematische Annalen 4:573–625, traducido e introducido en John Stillwell (1996) Fuentes de geometría hiperbólica , American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .
Boris Odehnal "Sobre congruencias isótropas de líneas en el espacio tridimensional elíptico"
Eduard Study (1913) Traductor DH Delphenich, "Fundamentos y objetivos de la cinemática analítica", página 20.
Alfred Tarski (1951) Un método de decisión para álgebra elemental y geometría . Univ. de California Press.
Franzén, Torkel (2005). Teorema de Gödel: una guía incompleta sobre su uso y abuso . AK Peters. ISBN 1-56881-238-8.
Alfred North Whitehead (1898) Álgebra universal Archivado el 3 de septiembre de 2014 en Wayback Machine , Libro VI Capítulo 2: Geometría elíptica, pp 371–98.

Enlaces externos

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