Elasticidad de sustitución constante

Concepto en economía

La elasticidad de sustitución constante ( CES ), en economía , es una propiedad de algunas funciones de producción y funciones de utilidad . Varios economistas han intervenido en el tema y han contribuido al hallazgo final de la constante. Entre ellos se incluyen Tom McKenzie, John Hicks y Joan Robinson . El elemento económico vital de la medida es que proporcionó al productor una imagen clara de cómo moverse entre diferentes modos o tipos de producción.

Específicamente, surge en un tipo particular de función agregadora que combina dos o más tipos de bienes de consumo, o dos o más tipos de insumos de producción en una cantidad agregada. Esta función agregadora exhibe una elasticidad de sustitución constante .

Función de producción CES

A pesar de tener varios factores de producción en sustituibilidad, los más comunes son las formas de elasticidad de sustitución. Al contrario de restringir la evaluación empírica directa, la elasticidad de sustitución constante es fácil de utilizar y, por tanto, se utiliza ampliamente. ^[1] McFadden afirma que;

El supuesto de ES constante es una restricción a la forma de las posibilidades de producción, y se puede caracterizar la clase de funciones de producción que tienen esta propiedad. Esto lo ha hecho Arrow-Chenery-Minhas-Solow para el caso de producción de dos factores. ^[1]

La función de producción CES es una función de producción neoclásica que muestra una elasticidad de sustitución constante . En otras palabras, la tecnología de producción tiene un cambio porcentual constante en las proporciones de los factores (por ejemplo, trabajo y capital ) debido a un cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica . La función de producción CES de dos factores (capital, trabajo) introducida por Solow , ^[2] y luego popularizada por Arrow , Chenery , Minhas y Solow es: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad de los factores
• ${\displaystyle a}$= Compartir parámetro
• ${\displaystyle K}$, = Cantidades de factores de producción primarios (Capital y Trabajo) ${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle \rho }$= = Parámetro de sustitución ${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$
• ${\displaystyle \sigma }$= = Elasticidad de sustitución ${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$
• ${\displaystyle \upsilon }$= grado de homogeneidad de la función de producción. Donde = 1 (Retorno de escala constante) , < 1 (Retorno de escala decreciente) , > 1 (Retorno de escala creciente) . ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \upsilon }$

Como sugiere su nombre, la función de producción CES exhibe una elasticidad de sustitución constante entre capital y trabajo. Las funciones de Leontief, lineal y Cobb-Douglas son casos especiales de la función de producción CES. Eso es,

• Si se aproxima a 1, tenemos una función de sustitutos lineal o perfecto; ${\displaystyle \rho }$
• Si tiende a cero en el límite, obtenemos la función de producción Cobb-Douglas ; ${\displaystyle \rho }$
• Si se acerca a infinito negativo obtenemos la función de producción de complementos perfectos o de Leontief . ${\displaystyle \rho }$

La forma general de la función de producción CES, con n entradas, es: ^[7]

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad de los factores
• ${\displaystyle a_{i}}$= Compartir parámetro de la entrada i, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$= Cantidades de factores de producción (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$= Elasticidad de sustitución.

Ampliar la forma funcional CES (Solow) para dar cabida a múltiples factores de producción crea algunos problemas. Sin embargo, no existe una forma completamente general de hacer esto. Uzawa demostró que las únicas funciones de producción de n factores posibles (n>2) con elasticidades parciales de sustitución constantes requieren que todas las elasticidades entre pares de factores sean idénticas o, si alguna difiere, todas deben ser iguales entre sí y todas las elasticidades restantes deben ser iguales. unidad. ^[8] Esto es cierto para cualquier función de producción. Esto significa que el uso de la forma funcional CES para más de 2 factores generalmente significará que no hay una elasticidad de sustitución constante entre todos los factores.

Las funciones CES anidadas se encuentran comúnmente en modelos de equilibrio parcial y de equilibrio general . Diferentes nidos (niveles) permiten la introducción de la elasticidad de sustitución adecuada.

Función de utilidad CES

La misma forma funcional CES surge como función de utilidad en la teoría del consumidor . Por ejemplo, si existen tipos de bienes de consumo , entonces el consumo agregado podría definirse utilizando el agregador CES: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}$

Nuevamente, los coeficientes son parámetros de participación y la elasticidad de sustitución. Por tanto, los bienes de consumo son sustitutos perfectos cuando tiende a infinito y complementos perfectos cuando tiende a cero. En el caso de que se acerque uno, nuevamente se trata de un caso límite en el que se aplica la regla de L'Hôpital . El agregador CES también se denomina a veces agregador Armington , que fue analizado por Armington (1969). ^[9] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

Las funciones de utilidad CES son un caso especial de preferencias homotéticas .

El siguiente es un ejemplo de una función de utilidad CES para dos bienes, y , con partes iguales: ^{[10] : 112} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

La función de gasto en este caso es:

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

La función de utilidad indirecta es su inversa:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

Las funciones de demanda son:

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

Una función de utilidad CES es uno de los casos considerados por Dixit y Stiglitz (1977) en su estudio de la diversidad óptima de productos en un contexto de competencia monopolística . ^[11]

Tenga en cuenta la diferencia entre utilidad CES y utilidad isoelástica : la función de utilidad CES es una función de utilidad ordinal que representa preferencias sobre paquetes de bienes de consumo seguros, mientras que la función de utilidad isoelástica es una función de utilidad cardinal que representa preferencias sobre loterías. Se ha utilizado una función de utilidad indirecta (dual) CES para derivar sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad donde las demandas de categoría están determinadas endógenamente por una función de utilidad indirecta (dual) CES de múltiples categorías. También se ha demostrado que las preferencias CES son autoduales y que tanto las preferencias CES primarias como las duales producen sistemas de curvas de indiferencia que pueden exhibir cualquier grado de convexidad. ^[12]

Referencias

1. McFadden, Daniel (junio de 1963). "Elasticidad constante de las funciones de producción de sustitución". La Revista de Estudios Económicos . 30 (2): 73–83. doi :10.2307/2295804. ISSN  0034-6527. JSTOR  2295804.
2. Solow, RM (1956). "Una contribución a la teoría del crecimiento económico". La revista trimestral de economía . 70 (1): 65–94. doi :10.2307/1884513. hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR  1884513.
3. Flecha, KJ; Chenery, HB; Minhas, BS; Solow, RM (1961). "Sustitución capital-trabajo y eficiencia económica". Revista de Economía y Estadística . 43 (3): 225–250. doi :10.2307/1927286. JSTOR  1927286.
4. Jorgensen, Dale W. (2000). Econometría, vol. 1: Modelización econométrica del comportamiento del productor . Cambridge, MA: MIT Press. pag. 2.ISBN​ 978-0-262-10082-3.
5. Klump, R; McAdam, P; Willman, A. (2007). "Progreso técnico de sustitución de factores y aumento de factores en los EE. UU.: un enfoque de sistema normalizado del lado de la oferta". Revista de Economía y Estadística . 89 (1): 183-192. doi : 10.1162/rest.89.1.183. hdl : 10419/152801 . S2CID  57570638.
6. de La Grandville, Olivier (2016). Crecimiento económico: un enfoque unificado . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/9781316335703. ISBN 9781316335703.
7. http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/elasticity%20of%20substitutionrevised.tex.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
8. Uzawa, H (1962). "Funciones de producción con elasticidades de sustitución constantes". Revista de Estudios Económicos . 29 (4): 291–299. doi :10.2307/2296305. JSTOR  2296305.
9. Armington, PS (1969). "Una teoría de la demanda de productos distinguidos por lugar de producción". Documentos del personal técnico del FMI . 16 (1): 159-178. doi :10.2307/3866403. JSTOR  3866403.
10. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
11. Dixit, Avinash; Stiglitz, José (1977). "Competencia monopolística y óptima diversidad de productos". Revista económica estadounidense . 67 (3): 297–308. JSTOR  1831401.
12. Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad con consumo de categoría endógena: principios y aplicaciones de marketing". Ciencias de la decisión . 32 (3): 399–421. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x.

Enlaces externos

• Anatomía de las funciones de producción tipo CES en 3D
• Solución de forma cerrada para una empresa con tecnología CES N-dimensional
• Función de ingresos de los monopolistas